【数学】辽宁省沈阳二中2019-2020学年高一下学期期末考试试题

【数学】辽宁省沈阳二中2019-2020学年高一下学期期末考试试题

辽宁省沈阳二中2019-2020学年 高一下学期期末考试试题 说明：1．测试时间：120分钟，总分：150分 ‎2．客观题涂在答题卡上，主观题答在答题纸上．‎ 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．复数为纯虚数，则的值为（ ）‎ A． B． ‎ C．或 D．‎ ‎2．如果的终边过点，则的值等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．若向量，，，满足条件，则x等于（ ）‎ A．6 B．2 C．4 D．3‎ ‎4．关于直线m﹑n与平面﹑，有下列四个命题，其中真命题的序号是（ ）‎ ‎①，且，则； ②，且，则；‎ ‎③，且，则； ④，且，则．‎ A．①② B．③④ C．①④ D．②③‎ ‎5．在中，，则的形状一定是（ ）‎ A．等边三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形 ‎6．设函数与的图像在y轴右侧的第一个交点为A，过点A作y轴的平行线交函数的图像于点B，则线段AB的长度为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．已知的三个内角为A，B，C，向量，．若，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．《九章算术》问题十：今有方亭，下方五丈，上方四丈．高五丈．问积几何（今译：已知正四棱台体建筑物（方亭）如图，下底边长丈，上底边长丈．高丈．问它的体积是多少立方丈？（ ）‎ A．75 B． C． D．‎ ‎9．已知复数（i为虚数单位）是关于x的方程（p，q为实数）的一个根，则的值为（ ）‎ A．4 B．2 C．0 D．‎ ‎10．已知的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．的外接圆的面积为，且 ，则的最大边长为（ ）‎ A．2 B．3 C． D．‎ ‎11．在四面体P-ABC中，三角形ABC为等边三角形，边长为3，，，，则四面体P-ABC外接球表面积为（ ）‎ A．12π B．25π C． D．‎ ‎12．如图，已知OPQ是半径为1，圆心角为的扇形．点A，B，C分别是半径OP，OQ及扇形弧上的三个动点（不同于O，P，Q三点），则周长的最小值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．若，且，则的最小值为_________．‎ ‎14．如图．在中，，，，则_________．‎ ‎15．已知中，D是BC上的点，AD平分，且，，，则_________．‎ ‎16．已知：平面，，，，，，，，，直线AC与BD的夹角是，则线段CD的长为_________．‎ 三、解答题：（本大题共6小题，满分70分，写出必要文字说明和演算步骤）‎ ‎17．（本小题满分10分）‎ 已知函数的图像关于直线对称，且图像上相邻两个最高点的距离为．‎ ‎（1）求和的值；‎ ‎（2）若，求的值．‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 如图．甲船以每小时海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于处时，乙船位于甲船的北偏西方向的处，此时两船相距20海里．当甲船航行20min到达处时，乙船航行到甲船的北偏西方向的处，此时两船相距 海里，问乙船每小时航行多少海里？‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 已知，，是同一平面内的三个向量，其中．‎ ‎（1）若，且，求c的坐标；‎ ‎（2）若，且，求与的夹角．‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 如图，四棱锥P-ABCD中，平面PCD，，，E，F分别 为线段AD，PC的中点．‎ ‎（1）求证：平面BEF；‎ ‎（2）求证：平面PAC．‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知．‎ ‎（I）求A的值：‎ ‎（Ⅱ）若，点D在边BC上．且，求AD的最大值．‎ ‎22．（本小题满分12分）‎ 如图所示的圆锥，顶点为O，底面半径是5cm，用一与底面平行的平面截得一圆台，圆台的上底半径为2.5cm，这个平面与母线OA交于点B，线段AB的长为10cm．‎ ‎（提示：本题的数据有长度单位）‎ ‎（1）求圆台的体积和圆台的侧面积；‎ ‎（2）把一根绳从线段AB的中点M开始到点A，沿着侧面卷绕．使它成为最短时候，求这根绳的长度；‎ ‎（3）在（2）的条件下，这根绳上的点和圆台上底面上的点的距离中，最短的距离是多少？‎ 参考答案 一、选择题：‎ BCBDD CCBCC DB 二、填空题：‎ ‎13．3 14． 15． 16．5或 三、解答题：‎ ‎17．解析：（1）因为的图像上相邻两个最高点的距离为，‎ 所以的最小正周期，从而．‎ 又的图像关于直线对称，‎ 所以．‎ 因为，所以．‎ 所以．‎ ‎（2）由（1）得，所以 由，得，‎ 所以，‎ ‎．‎ ‎18．【解析】解法一：如图，连接，‎ 由已知，，，‎ ‎∴，‎ 又．‎ ‎∴是等边三角形，．‎ 由已知，．‎ 在中，由余弦定理，得：‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎∴‎ 因此乙船的速度的大小为（海里）．‎ 答：乙船每小时航行海里．‎ 解法二：如图，连结．‎ 由已知．，，‎ 在中，由余弦定理，得 ‎．‎ ‎∴.‎ 由正弦定理，得 ‎．‎ ‎∴，即．‎ ‎．‎ 在中，由已知，，‎ 由余弦定理，得 ‎．‎ ‎∴，乙船速度的大小为海里．‎ 答：乙船每小时航行海里．‎ ‎19．解：（1）由于，，是同一平面内的三个向量，其中，‎ 若，且，可设．‎ 则由，可得，‎ ‎∴，或．‎ ‎（2）∵，且与垂直，‎ ‎∴，‎ 化简可得，即，‎ ‎∴，故与的夹角．‎ ‎20．证明：（1）设，连结OF，EC，‎ 由已知可得：，，‎ 四边形ABCE是菱形，O为AC中点，‎ 因为F为PC中点，所以，‎ 平面BEF，OF⊂平面BEF，所以AP∥平面BEF．‎ ‎（2）由题意知，，，‎ 所以四边形BCDE为平行四边形．因此．‎ 又平面PCD．所以，因此．‎ 因为四边形ABCE为菱形．所以．‎ 又，AP，平面PAC，‎ 所以平面PAC．‎ ‎21．（1）由已知及正弦定理得 ‎．‎ 又，且，‎ ‎∴，，即．‎ ‎（2）解法一：设外接圆的圆心为，半径为R，‎ 则由正弦定理得，‎ 如图所示，取BC的中点M，‎ 在中，，‎ ‎；‎ 在中，，‎ ‎．‎ ‎，‎ 当且仅当圆心O在AD上时取等号，‎ 所以AD的最大值是．‎ 解法二：在中，由正弦定理得：‎ ‎，‎ 因为，所以，‎ 又因为，所以；‎ 由正弦定理得：，，‎ 在中，‎ 在中，‎ 所以，‎ 整理得，‎ 所以 ‎，‎ 当，即时，取得最大值．‎ 所以AD的最大值为．‎ ‎22．（1）作出圆锥的轴截面和侧面展开图，如下图 由底面半径是5cm，上底半径为2.5cm，可得：‎ 所以，圆锥的高为：，因此圆锥的体积为：‎ ‎，侧面积为：．‎ ‎（2）由圆锥的底面周长可得侧面展开图的弧长为，‎ 所以，侧面展开图的圆心角为，‎ 在直角三角形MOA中可得，所以最短时候，绳长为25cm ‎（3）由侧面展开图可知，距离最短时，就是O到直线AM的距离减OB长．‎ 解得：2cm．‎