人教新课标A版高二数学导数及其应用练习题

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人教新课标A版高二数学导数及其应用练习题

高二上学期《导数及其应用》 单元测试(数学文) (满分:150 分 时间:120 分钟) 一、选择题(本大题共 10 小题,共 50 分,只有一个答案正确) 1.函数  22)( xxf  的导数是( ) (A) xxf 4)(  (B) xxf 24)(  (C) xxf 28)(  (D) xxf 16)(  2.函数 xexxf )( 的一个单调递增区间是( ) (A) 0,1 (B)  8,2 (C)  2,1 (D)  2,0 3 . 已 知 对 任 意 实 数 x , 有 ( ) ( ) ( ) ( )f x f x g x g x    , , 且 0x  时 , ( ) 0 ( ) 0f x g x  , ,则 0x  时( ) A. ( ) 0 ( ) 0f x g x  , B. ( ) 0 ( ) 0f x g x  , C. ( ) 0 ( ) 0f x g x  , D. ( ) 0 ( ) 0f x g x  , 4.若函数 bbxxxf 33)( 3  在  1,0 内有极小值,则( ) (A) 10 b (B) 1b (C) 0b (D) 2 1b 5.若曲线 4y x 的一条切线l 与直线 4 8 0x y   垂直,则l 的方程为( ) A. 4 3 0x y   B. 4 5 0x y   C. 4 3 0x y   D. 4 3 0x y   6.曲线 xy e 在点 2(2 )e, 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( ) A. 29 4 e B. 22e C. 2e D. 2 2 e 7.设 ( )f x 是函数 ( )f x 的导函数,将 ( )y f x 和 ( )y f x 的图象画在同一个直角坐标系 中,不可能正确的是( ) 8.已知二次函数 2( )f x ax bx c   的导数为 '( )f x , '(0) 0f  ,对于任意实数 x 都有 ( ) 0f x  ,则 (1) '(0) f f 的最小值为( ) A.3 B. 5 2 C. 2 D. 3 2 9.设 2: ( ) e ln 2 1xp f x x x mx     在 (0 ) , 内单调递增, : 5q m ≥ ,则 p 是 q 的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 10. 函数 )(xf 的图像如图所示,下列数值排序正确的是( ) (A) )2()3()3()2(0 // ffff  y (B) )2()2()3()3(0 // ffff  (C) )2()3()2()3(0 // ffff  (D) )3()2()2()3(0 // ffff  O 1 2 3 4 x 二.填空题(本大题共 4 小题,共 20 分) 11.函数 ( ) ln ( 0)f x x x x  的单调递增区间是____. 12.已知函数 3( ) 12 8f x x x   在区间 [ 3,3] 上的最大值与最小值分别为 ,M m ,则 M m  __. 13.点 P 在曲线 3 23  xxy 上移动,设在点 P 处的切线的倾斜角为为 ,则 的取值 范围是 14.已知函数 53 1 23  axxxy (1)若函数在   , 总是单调函数,则 a 的取值范围 是 . (2)若函数在 ),1[  上总是单调函数,则 a 的取值范围 . (3)若函数在区间(-3,1)上单调递减,则实数 a 的取值范围是 . 三.解答题(本大题共 4 小题,共 12+12+14+14+14+14=80 分) 15.用长为 18 cm 的钢条围成一个长方体形状的框架,要求长方体的长与宽之比为 2:1, 问该长方体的长、宽、高各为多少时,其体积最大?最大体积是多少? 16.设函数 3 2( ) 2 3 3 8f x x ax bx c    在 1x  及 2x  时取得极值. (1)求 a、b 的值; (2)若对于任意的 [0 3]x , ,都有 2( )f x c 成立,求 c 的取值范围. 17.设函数 3( ) 3 2f x x x    分别在 1 2x x、 处取得极小值、极大值. xoy 平面上点 A B、 的 坐标分别为 1 1( )x f x( , )、 2 2( )x f x( , ),该平面上动点 P 满足 • 4PA PB   ,点 Q 是点 P 关于直 线 2( 4)y x  的对称点,.求 (Ⅰ)求点 A B、 的坐标; (Ⅱ)求动点 Q 的轨迹方程. 18. 已知函数 3 2( ) 2 3 3.f x x x   (1)求曲线 ( )y f x 在点 2x  处的切线方程; (2)若关于 x 的方程   0f x m  有三个不同的实根,求实数 m 的取值范围. 19.已知  Raxxaaxxf  14)1(3)( 2 3 (1)当 1a 时,求函数的单调区间。 (2)当 Ra  时,讨论函数的单调增区间。 (3)是否存在负实数 a ,使  0,1x ,函数有最小值-3? 20.已知函数   2af x x x   ,   lng x x x  ,其中 0a  . (1)若 1x  是函数      h x f x g x  的极值点,求实数 a 的值; (2)若对任意的  1 2, 1x x e , ( e 为自然对数的底数)都有  1f x ≥  2g x 成立,求 实数 a 的取值范围. 高二上学期《导数及其应用》 单元测试(数学文)答案 一、选择题 1.    ,42)( 222 xxxf   xxf 242)(  xxf 28)(  ; 2.   .)( x x e xexxf    2 1)( x xx e exexf ,     1,01 2  x e ex x x 选(A) 3.(B)数形结合 4.A 由  bxbxxf  22 333)( ,依题意,首先要求 b>0, 所以   bxbxxf  3)( 由单调性分析, bx  有极小值,由  1,0 bx 得. 5.解:与直线 4 8 0x y   垂直的直线l 为 4 0x y m   ,即 4y x 在某一点的导数为 4,而 34y x  ,所以 4y x 在(1,1)处导数为 4,此点的切线为 4 3 0x y   ,故选 A 6.(D) 7.(D) 8.(C) 9.(B) 10.B 设 x=2,x=3 时曲线上的点为 AB,点 A 处的切线为 AT 点 B 处的切线为 BQ, T  )2()3( ff ABkff   23 )2()3( y B ,)3( BQkf  ,)2( ATkf  A 如图所示,切线 BQ 的倾斜角小于 直线 AB 的倾斜角小于 Q 切线 AT 的倾斜角  BQk ABk ATk O 1 2 3 4 x 所以选 B 二、填空题 11. 1 ,e    12.32 13.           ,4 3 2,0 14. (1) .3)3(;3)2(;1  aaa 三、解答题 15. 解:设长方体的宽为 x(m),则长为 2x(m),高为      2 30(m)35.44 1218 <<xxxh . 故长方体的体积为 ).2 30()(m69)35.4(2)( 3322 <<xxxxxxV  从而 ).1(18)35.4(1818)( 2 xxxxxxV  令 V′(x)=0,解得 x=0(舍去)或 x=1,因此 x=1. 当 0<x<1 时,V′(x)>0;当 1<x< 3 2 时,V′(x)<0, 故在 x=1 处 V(x)取得极大值,并且这个极大值就是 V(x)的最大值。 从而最大体积 V=V′(x)=9×12-6×13(m3),此时长方体的长为 2 m,高为 1.5 m. 答:当长方体的长为 2 m 时,宽为 1 m,高为 1.5 m 时,体积最大,最大体积为 3 m3。 16.解:(1) 2( ) 6 6 3f x x ax b    , 因为函数 ( )f x 在 1x  及 2x  取得极值,则有 (1) 0f   , (2) 0f   . 即 6 6 3 0 24 12 3 0 a b a b        , . 解得 3a   , 4b  . (2)由(Ⅰ)可知, 3 2( ) 2 9 12 8f x x x x c    , 2( ) 6 18 12 6( 1)( 2)f x x x x x       . 当 (01)x , 时, ( ) 0f x  ; 当 (1 2)x , 时, ( ) 0f x  ; 当 (2 3)x , 时, ( ) 0f x  . 所以,当 1x  时, ( )f x 取得极大值 (1) 5 8f c  ,又 (0) 8f c , (3) 9 8f c  . 则当  0 3x , 时, ( )f x 的最大值为 (3) 9 8f c  . 因为对于任意的  0 3x , ,有 2( )f x c 恒成立, 所以 29 8c c  , 解得 1c   或 9c  , 因此 c 的取值范围为 ( 1) (9 )   , , . 17.解: (1)令 033)23()( 23  xxxxf 解得 11  xx 或 当 1x 时, 0)(  xf , 当 11  x 时, 0)(  xf ,当 1x 时, 0)(  xf 所 以 , 函 数 在 1x 处 取 得 极 小 值 , 在 1x 取 得 极 大 值 , 故 1,1 21  xx , 4)1(,0)1(  ff 所以, 点 A、B 的坐标为 )4,1(),0,1( BA  . (2) 设 ),( nmp , ),( yxQ ,     4414,1,1 22  nnmnmnmPBPA 2 1PQk ,所以 2 1  mx ny ,又 PQ 的中点在 )4(2  xy 上,所以       4222 mxny 消去 nm, 得     928 22  yx . 另法:点 P 的轨迹方程为   ,92 22  nm 其轨迹为以(0,2)为圆心,半径为 3 的圆; 设点(0,2)关于 y=2(x-4)的对称点为(a,b),则点 Q 的轨迹为以(a,b),为圆心,半径为 3 的圆, 由 2 1 0 2   a b ,       42 022 2 ab 得 a=8,b=-2 18.解(1) 2( ) 6 6 , (2) 12, (2) 7,f x x x f f     ………………………2 分 ∴曲线 ( )y f x 在 2x  处的切线方程为 7 12( 2)y x   ,即12 17 0x y   ;……4 分 (2)记 3 2 2( ) 2 3 3, ( ) 6 6 6 ( 1)g x x x m g x x x x x        令 ( ) 0, 0g x x   或 1. …………………………………………………………6 分 则 , ( ), ( )x g x g x 的变化情况如下表 x ( ,0) 0 (0,1) 1 (1, ) ( )g x  0  0  ( )g x  极大  极小  当 0, ( )x g x 有极大值 3; 1, ( )m x g x  有极小值 2m  . ………………………10 分 由 ( )g x 的简图知,当且仅当 (0) 0,(1) 0 g g    即 3 0, 3 22 0 m mm         时, 函数 ( )g x 有三个不同零点,过点 A 可作三条不同切线. 所以若过点 A 可作曲线 ( )y f x 的三条不同切线, m 的范围是 ( 3, 2)  .…………14 分 19.(1)  ,2,x 或  ,,2 x )(xf 递减;  ,2,2x )(xf 递增; (2)1、当 ,0a  ,2,x )(xf 递 增 ;2 、 当 ,0a ,2,2    ax )(xf 递 增 ;3 、 当 ,10  a  ,2,x 或 ,,2       ax )(xf 递增; 当 ,1a  ,,x )(xf 递增;当 ,1a ,2,       ax 或  ,,2 x )(xf 递增;(3)因 ,0a 由②分两类(依据:单调性,极小值点是否在区间[-1,0]上是分类“契 机”: 1、当 ,2,12  aa   ,2,20,1    ax )(xf 递增, 3)1()( min fxf ,解得 ,24 3 a 2、当 ,2,12  aa 由单调性知: 3)2()( min  afxf ,化简得: 0133 2  aa ,解得 ,26 213 a 不合要求;综上, 4 3a 为所求。 20.(1)解法1:∵   2 2 lnah x x xx    ,其定义域为 0  , , ∴   2 2 12 ah x x x     . ∵ 1x  是函数  h x 的极值点,∴  1 0h  ,即 23 0a  . ∵ 0a  ,∴ 3a  . 经检验当 3a  时, 1x  是函数  h x 的极值点, ∴ 3a  . 解法2:∵   2 2 lnah x x xx    ,其定义域为 0  , , ∴   2 2 12 ah x x x     . 令   0h x  ,即 2 2 12 0a x x    ,整理,得 2 22 0x x a   . ∵ 21 8 0a    , ∴   0h x  的两个实根 2 1 1 1 8 4 ax    (舍去), 2 2 1 1 8 4 ax    , 当 x 变化时,  h x ,  h x 的变化情况如下表: x  20, x 2x  2 ,x   h x — 0 +  h x  极小值  依题意, 21 1 8 14 a    ,即 2 3a  , ∵ 0a  ,∴ 3a  . ( 2 ) 解 : 对 任 意 的  1 2, 1x x e , 都 有  1f x ≥  2g x 成 立 等 价 于 对 任 意 的  1 2, 1x x e , 都有   minf x   ≥   maxg x   . 当 x [1, e ]时,   11 0g x x     . ∴函数   lng x x x  在 1 e, 上是增函数. ∴    max 1g x g e e     . ∵     2 2 21 x a x aaf x x x      ,且  1,x e , 0a  . ①当 0 1a  且 x [1, e ]时,      2 0x a x af x x     , ∴函数   2af x x x   在[1, e ]上是增函数, ∴     2 min 1 1f x f a     . 由 21 a ≥ 1e  ,得 a ≥ e , 又 0 1a  ,∴ a 不合题意. ②当1≤ a ≤ e 时, 若1≤ x < a ,则      2 0x a x af x x     , 若 a < x ≤ e ,则      2 0x a x af x x     . ∴函数   2af x x x   在 1,a 上是减函数,在 a e, 上是增函数. ∴    min 2f x f a a    . 由 2a ≥ 1e  ,得 a ≥ 1 2 e  , 又1≤ a ≤ e ,∴ 1 2 e  ≤ a ≤ e . ③当 a e 且 x [1, e ]时,      2 0x a x af x x     , ∴函数   2af x x x   在 1 e, 上是减函数. ∴     2 min af x f e e e      . 由 2ae e  ≥ 1e  ,得 a ≥ e , 又 a e ,∴ a e . 综上所述, a 的取值范围为 1,2 e    .
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