【数学】湖北省荆门市2019-2020学年高一下学期期末考试试题

【数学】湖北省荆门市2019-2020学年高一下学期期末考试试题

湖北省荆门市2019-2020学年高一下学期期末考试试题 一．选择题（本大题共12小题，每小题5分, 共60分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）‎ ‎1. 设集合，，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎2. 要完成下列2项调查，应采用的抽样方法是（ ）‎ ‎①从某社区125户高收入家庭，280户中等收入家庭，95户低收入家庭中选出100户调查社会购买力的某项指标；‎ ‎②从某中学高一年级的12名体育特长生中选出3人调查学习负担情况.‎ A. ①用简单随机抽样法 ②用分层抽样法 B. ①用分层抽样法 ②用简单随机抽样法 C. ①、②都用简单随机抽样法 D. ①、②都用分层抽样法 ‎3．已知一个奇函数的定义域为，则（ ）‎ A． B．3 C． D．1 ‎ 第4题图 ‎4. 如图，在正方体中，，分别是 ‎，的中点，则下列说法错误的是（ ）‎ A. 与垂直 ‎ B. 与平面垂直 C. 与平面平行 ‎ D. 与平面平行 ‎5. 华人数学家张益唐证明了孪生素数（注：素数也叫做质数）猜想的一个弱化形式,孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一，可以这样描述：存在无穷多个素数使得是素数，素数对称为孪生素数.从15以内的素数中任取两个，其中能构成孪生素数的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎6. 设是两条不同的直线，是三个不重合的平面，则下列结论正确的个数为（ ） ‎ ① ② ‎ ③ ④‎ A．1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎7．已知，则（ ）‎ A. -2 B. 2 C. D. ‎ 第8题图 ‎8. 已知函数的部分图象如图所示，则 ‎（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎9．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中 ‎（1）BM∥ED （2）CN与BE是异面直线 ‎（3）CN与BM成角 （4）DM⊥BN ‎ ‎（5）BN⊥平面DEM 以上五个命题中，正确命题的序号是（ ） ‎ A. (3)(4)(5) B. (2)(4)(5) ‎ C. (1)(2)(3) D. (2) (3) (4) ‎ ‎10. 已知，则等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．函数(e为自然对数的底数)，则不等式解集为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎12．在三棱锥中，是边长为2的正三角形，，，与平面所成的角为60°，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） ‎ ‎13. 已知则在方向上的投影为 . ‎ ‎14．一支医疗队有男医生45人，女医生人，用分层抽样抽出一个容量为的样本，在这个样本中随机取一人担任队长，每个个体被抽到的概率为，且样本中的男医生比女医 生多5人，则＝ .‎ ‎15. 如图，在△ABC中，E为边AC上一点，且，P 为BE上一点，且满足，则 的最小值为 ．‎ ‎16. 已知，若方程有四个根且 ‎，则的取值范围是 . ‎ 三、解答题：(本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)‎ ‎17. (本小题满分10分) 已知关于的不等式：‎ ‎（1）若不等式的解集为，求的值； ‎ ‎（2）若不等式的解集为，求的取值范围．‎ ‎18．(本小题满分12分)已知 ‎（1）求函数取最大值时x的取值集合；‎ ‎（2）设锐角△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，求△ABC的面积S的最大值.‎ ‎19. （本小题满分12分）如图，已知是边长为4的正三角形，D，E分别为AC，AB的中点，把沿DE折起，使点A到达点P的位置，且平面PDE平面BCDE. ‎ ‎（1）求PB与平面BCDE所成角的正弦值；‎ ‎（2）求点E到平面PBC的距离.‎ ‎20. (本小题满分12分)“己亥末，庚子春，荆楚大疫，染者数万。众惶恐，举国防，皆闭户，道无车舟，万巷空寂。幸，医无私，警无畏，民齐心，能者竭力，万民同心。”为了响应教育部门“停课不停学”的号召，各学校纷纷开展网络授课活动。某学校为了解该校高一年级学生“停课不停学”期间学习情况，对某次考试成绩进行分析，从中抽取了名学生的成绩作为样本进行统计。该校全体学生的成绩均在[60，140），按照[60，70），[70，80），[80，90），[90，100），[100，110），[110，120），[120，130），[130，140）的分组作出频率分布直方图如图（1）所示，样本中分数在[70，90）内的所有数据的茎叶图如图（2）所示． ‎ ‎（1）求和频率分布直方图中的x，y的值； ‎ ‎（2）在选取的样本中，从[60，70）和[130，140）两个分数段的学生中随机抽取2名学生进行调研，求抽取的两名学生的分数都在[130，140）内的概率.‎ ‎21. (本小题满分12分) 如图，是单位圆（圆心在坐标原点）上一点，，作轴于，轴于，的两边交正方形的边PM，PN于，两点，且，设，‎ ‎（1）若，求的值；‎ ‎（2）求的取值范围．‎ ‎22. (本小题满分12分)一块边长为8的正方形纸片，按如图所示将阴影部分剪下，将剩余的四个底边长为2x的全等的等腰三角形作为侧面制作一个正四棱锥S-ABCD (注：底面为正方形，顶点在底面上的射影是底面中心的四棱锥），F为底边CD的中点.‎ ‎（1）过棱锥的高及点F作棱锥的截面（如图），设截面三角形面积为y, 求y的最大值及y取最大值时对应的x值；‎ ‎（2）在（1）中y取最大值时，是否存在动点Q，它在该棱锥的表面（包含底面ABCD）运动，且FQSC?若存在，计算其运动轨迹的长度；若不存在，说明理由.‎ 参考答案 一、选择题：（每小题5分，共60分） ‎ ‎1-12. DBACB CBCAA DB 二、填空题：（每小题5分，共20分）‎ ‎13. 14.30 15. 16. ‎ 三、解答题：（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17. 解：（1）因为关于的不等式：的解集为，‎ 所以和1是方程的两个实数根，…………………………………3分 由韦达定理可得:，得． ………………………5分 ‎（2）因为关于的不等式的解集为． ‎ 当时，-3<0恒成立. ……………………………………………7分 当时，由，解得： ……………………………9分 故的取值范围为． …………………………………10分 ‎18. 解（1）‎ ‎. ……3分 令，k∈Z，即时，取最大值. ………………5分 所以，所求的取值集合是； ………………………………6分 ‎（2）由，得，‎ 因为，所以，所以， …………8分 在中，由余弦定理，‎ 得，‎ 即，当且仅当时取等号，……………………10分 所以的面积 因此的面积的最大值为.………………………………………………12分 ‎（利用正弦定理亦可酌情给分）‎ ‎19.解：（1）如图，设DE的中点为O,BC的中点为F,连接OP,OF,OB,则OPDE.‎ 平面PDE平面BCDE，平面PDE平面BCDE=DE，‎ ‎ OP平面BCDE …………………………………………………………2分 故即为PB与平面BCDE所成的角. ……………………………………3分 又OB平面BCDE, OPOB 在中，OP=OF=,OB=, 故PB=‎ sin=……………………………………………………………6分 ‎ (2) 如图，因为D,E分别为AC,AB边的中点，故DE//BC 又 DE平面PBC，BC平面PBC DE//平面PBC,故E到平面PBC的距离即为O到平面PBC的距离. ………………7分 PODE, OFDE, DE 平面POF 又DE//BC, BC平面POF 又 BC平面PBC, 平面PBC平面POF且交线为PF，‎ 过O做OGPF,则OG平面PBC,故OG即为O到平面PBC的距离. …………9分 在中，PO=OF=,PF=，……………………………………………11分 故OG==, 故点E到平面PBC的距离为. ……………12分 ‎20解:（1）由题意可知，的人数为3人，频率为：0.00610=0.06，‎ 故样本容量， ……………………………………………………2分 解得， ……………………………………………………………4分 ‎． …………………………6分 ‎（2）在选取的样本中，分数在的人数为：500.00410=2人，记为：A,B, …7分 分数在的人数为：500.00610=3人，记为：a,b,c, ……………………8分 从这5个人中抽取2人的所有情况有：‎ 其中，两名学生的分数都在的所有情况有：………10分 故两名学生的分数都在内的概率为 ………………………………12分 ‎21解：（1）由得，，‎ ‎ ……………………………………………………………2分 ‎ 故 ‎……………………………………………………4分 故时，…………………………………………………6分 ‎（2）法1： 由（1）得： ‎ ‎…………8分 又 …………10分 故． ………………………………………………12分 法2：由（1）得：‎ 令，则，‎ 故=………8分 ‎ …………………………10分 故 ……………………………………………………12分 法3：‎ ‎ （下同法1）‎ ‎22解：（1）由题意，平面ABCD,故EF……………………………………1分 ‎………3分 当且仅当即时等号成立. …………………………………4分 ‎(2) ABCD为正方形， BDAC又平面ABCD，BD平面ABCD，‎ 故BD又SOAC=O, ‎ 平面SAC，…………………………………………………6分 过F作FG//BD则平面SAC，‎ 又SC平面SAC，故SC 过F作SC则SC平面FGT …………………………………………………8分 故只要Q在平面FGT内运动，都有FQSC Q点的轨迹即为平面FGT与棱锥表面的交线，即 .……………………10分 在中，,‎ 的周长即点Q的轨迹长度为4+.………………………………………12分