【数学】2021届一轮复习北师大版（理）第2章第8节函数的图像学案

【数学】2021届一轮复习北师大版（理）第2章第8节函数的图像学案

第八节　函数的图像 ‎[最新考纲]　1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图像法、列表法、解析法)表示函数.2.会运用基本初等函数的图像分析函数的性质，并运用函数的图像解简单的方程(不等式)问题．‎ ‎1．利用描点法作函数的图像 方法步骤：(1)确定函数的定义域；‎ ‎(2)化简函数的解析式；‎ ‎(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、最值等)；‎ ‎(4)描点连线．‎ ‎2．利用图像变换法作函数的图像 ‎(1)平移变换 ‎(2)对称变换 ‎①y＝f(x)的图像y＝－f(x)的图像；‎ ‎②y＝f(x)的图像y＝f(－x)的图像；‎ ‎③y＝f(x)的图像y＝－f(－x)的图像；‎ ‎④y＝ax(a＞0且a≠1)的图像y＝logax(a＞0且a≠1)的图像．‎ ‎(3)伸缩变换 ‎①y＝f(x)的图像 y ‎＝f(ax)的图像；‎ ‎②y＝f(x)的图像 y＝af(x)的图像．‎ ‎(4)翻转变换 ‎①y＝f(x)的图像y＝|f(x)|的图像；‎ ‎②y＝f(x)的图像y＝f(|x|)的图像．‎ ‎1．关于对称的三个重要结论 ‎(1)函数y＝f(x)与y＝f(‎2a－x)的图像关于直线x＝a对称．‎ ‎(2)函数y＝f(x)与y＝2b－f(‎2a－x)的图像关于点(a，b)中心对称． ‎ ‎(3)若函数y＝f(x)的定义域内任意自变量x满足：f(a＋x)＝f(a－x)，则函数y＝f(x)的图像关于直线x＝a对称．‎ ‎2．函数图像平移变换八字方针 ‎(1)“左加右减”，要注意加减指的是自变量．‎ ‎(2)“上加下减”，要注意加减指的是函数值．‎ 一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)函数y＝f(1－x)的图像，可由y＝f(－x)的图像向左平移1个单位得到．(　　)‎ ‎(2)函数y＝f(x)的图像关于y轴对称即函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图像关于y轴对称．(　　)‎ ‎(3)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝f(|x|)的图像与y＝|f(x)|的图像相同．(　　)‎ ‎(4)若函数y＝f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则函数f(x)的图像关于直线x＝1对称．(　　)‎ ‎[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√‎ 二、教材改编 ‎1．函数f(x)＝－x的图像关于(　　)‎ A．y轴对称 B．直线y＝－x对称 C．坐标原点对称 D．直线y＝x对称 C　[∵f(x)＝－x是奇函数，‎ ‎∴图像关于原点对称．]‎ ‎2．李明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶．则与以上事件吻合最好的图像是(　　)‎ A　　　 　 　　B C　　　　　 　　D C　[距学校的距离应逐渐减小，由于李明先是匀速运动，故前段是直线段，途中停留时距离不变，后段加速，后段比前段下降得快．]‎ ‎3．如图，函数f(x)的图像为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是________．‎ ‎(－1,1]　[在同一坐标系内作出y＝f(x)和y＝log2(x＋1)的图像(如图)．由图像知不等式的解集是(－1,1]．‎ ‎]‎ 考点1　作函数的图像 ‎　函数图像的常用画法 ‎(1)直接法：当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征描出图像的关键点，进而直接作出图像．‎ ‎(2)转化法：含有绝对值符号的函数，可脱掉绝对值符号，转化为分段函数来画图像．‎ ‎(3)图像变换法：若函数图像可由某个基本函数的图像经过平移、伸缩、翻折、对称得到，则可利用图像变换作出．‎ ‎　作出下列函数的图像：‎ ‎(1)y＝|x|；(2)y＝|log2(x＋1)|；‎ ‎(3)y＝；(4)y＝x2－2|x|－1.‎ ‎[解]　(1)先作出y＝x的图像，保留y＝x图像中x≥0的部分，再作出y＝x的图像中x＞0部分关于y轴的对称部分，即得y＝|x|的图像，如图①实线部分．‎ ‎①　　　 　　　②‎ ‎(2)将函数y＝log2x的图像向左平移一个单位，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数y＝|log2(x＋1)|的图像，如图②.‎ ‎(3)∵y＝＝2＋，故函数图像可由y＝图像向右平移1个单位，‎ 再向上平移2个单位得到，如图③.‎ ‎　　　　　　 ③　　　 　　　　④‎ ‎(4)∵y＝ 且函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图像，,再根据对称性作出(－∞，0)上的图像，得图像如图④.‎ ‎　(1)画函数的图像一定要注意定义域．(2)‎ 利用图像变换法时要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．‎ 考点2　函数图像的辨识,‎ ‎　辨析函数图像的入手点 ‎(1)从函数的定义域，判断图像的左右位置；从函数的值域，判断图像的上下位置．‎ ‎(2)从函数的单调性，判断图像的变化趋势．‎ ‎(3)从函数的奇偶性，判断图像的对称性．‎ ‎(4)从函数的周期性，判断图像的循环往复．‎ ‎(5)从函数的特征点，排除不合要求的图像．‎ ‎　(1)(2019·全国卷Ⅰ)函数f(x)＝在[－π，π]的图像大致为(　　),‎ A　　　 　　　　　　　B C　　　 　　　　　　　D ‎(2)已知定义在区间[0,2]上的函数y＝f(x)的图像如图所示，则y＝－f(2－x)的图像为(　　)‎ A　　　　　　　B C　　　　　　　D ‎(3)如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝‎6 cm，BC＝‎8 cm，点P以‎1 cm/s的速度沿A→B→C的路径向C移动，点Q以‎2 cm/s的速度沿B→C→A 的路径向A移动，当点Q到达A点时，P，Q两点同时停止移动．记△PCQ的面积关于移动时间t的函数为S＝f(t)，则f(t)的图像大致为(　　)‎ A　　　　B　　　　C　　　　D ‎(1)D　(2)B　(3)A　[(1)∵f(－x)＝ ‎＝－＝－f(x)，‎ ‎∴f(x)是奇函数．又∵f(π)＝＝＞0，∴选D.‎ ‎(2)当x＝0时，－f(2－x)＝－f(2)＝－1；‎ 当x＝1时，－f(2－x)＝－f(1)＝－1.‎ 观察各选项可知，应选B.‎ ‎(3)当0≤t≤4时，点P在AB上，点Q在BC上，此时PB＝6－t，CQ＝8－2t，则S＝f(t)＝QC×BP＝(8－2t)×(6－t)＝t2－10t＋24；当4＜t≤6时，点P在AB上，点Q在CA上，此时AP＝t，P到AC的距离为t，CQ＝2t－8，则S＝f(t)＝QC×t＝(2t－8)×t＝(t2－4t)；当6＜t≤9时，点P在BC上，点Q在CA上，此时 CP＝14－t，QC＝2t－8，则S＝f(t)＝QC×CPsin∠ACB＝(2t－8)(14－t)×＝(t－4)(14－t)．综上，函数f(t)对应的图像是三段抛物线，依据开口方向得图像是A，故选A.]‎ ‎　由实际情景探究函数图像，关键是将问题转化为熟悉的数学问题求解，要注意实际问题中的定义域问题．‎ ‎　1.(2019·全国卷Ⅲ)函数y＝在[－6,6]的图像大致为(　　)‎ A　　 　　B　　 　　C　　 　　 D B　[设f(x)＝(x∈[－6,6])，则f(－x)＝＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，排除选项C；当x＝－1时，f(－1)＝－＜0，排除选项D；当x＝4时，f(4)＝≈7.97，排除选项A.故选B.]‎ ‎2.如图，圆与两坐标轴分别切于A，B两点，圆上一动点P从A开始沿圆周按逆时针方向匀速旋转回到A点，则与△OBP的面积随时间变化的图像相符合的是(　　)‎ A　　　 　B　　　　　C　　　 　D A　[当P从A运动到B的过程中，△OBP的面积逐渐减小，在点B处，△OBP的面积为零，当P从B运动到圆的最高点的过程中，△OBP的面积又逐渐增大，且当P位于圆的最高点时，△OBP的面积达到最大值，当P从最高点运动到A点的过程中，△OBP的面积又逐渐减小，故选A.]‎ 考点3　函数图像的应用,‎ ‎　利用函数图像的直观性求解相关问题，关键在于准确作出函数图像，根据函数解析式的特征和图像的直观性确定函数的相关性质，特别是函数图像的对称性等，然后解决相关问题．‎ ‎　研究函数的性质,‎ ‎　(1)已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是(　　)‎ A.f(x)是偶函数，递增区间是(0，＋∞)‎ B.f(x)是偶函数，递减区间是(－∞，1)‎ C.f(x)是奇函数，递减区间是(－1,1)‎ D.f(x)是奇函数，递增区间是(－∞，0)‎ ‎(2)对a，b∈R，记max{a，b}＝函数f(x)＝max{|x＋1|，|x－2|}(x∈R)的最小值是________．‎ ‎(1)C　(2)　[(1)将函数f(x)＝x|x|－2x去掉绝对值得f(x)＝画出函数f(x)的图像，如图，观察图像可知，函数f(x)的图像关于原点对称，故函数f(x)为奇函数，且在(－1,1)上单调递减．‎ ‎(2)函数f(x)＝max{|x＋1|，|x－2|}(x∈R)的图像如图所示，由图像可得，其最小值为.‎ ‎]‎ ‎　利用函数的图像研究函数的性质，一定要注意其对应关系．如：图像的左右范围对应定义域，上下范围对应值域，上升、下降趋势对应单调性，对称性对应奇偶性．‎ ‎　解不等式 ‎　设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝0，则不等式＜0的解集为(　　)‎ A．(－1,0)∪(1，＋∞)‎ B．(－∞，－1)∪(0,1)‎ C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)‎ D．(－1,0)∪(0,1)‎ D　[因为f(x)为奇函数，所以不等式＜0可化为＜0，即xf(x)＜0，f(x)的大致图像如图所示．所以xf(x)＜0的解集为(－1,0)∪(0,1)．]‎ ‎　当不等式问题不能用代数法求解，但其对应函数的图像可作出时，常将不等式问题转化为两函数图像的上、下关系问题，从而利用数形结合求解．‎ ‎　求参数的取值范围 ‎　(1)已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝k有两个不等的实数根，则实数k的取值范围是________．‎ ‎(2)设函数f(x)＝|x＋a|，g(x)＝x－1，对于任意的x∈R，不等式f(x)≥g(x)恒成立，则实数a的取值范围是________．‎ ‎(1)(0,1]　(2)[－1，＋∞)　[(1)作出函数y＝f(x)与y＝k的图像，如图所示，‎ 由图可知k∈(0,1]．‎ ‎(2)如图作出函数f(x)＝|x＋a|与g(x)＝x－1的图像，观察图像可知，当且仅当－a≤1，即a≥－1时，不等式f(x)≥g(x)恒成立，因此a的取值范围是[－1，＋∞)．]‎ ‎　当参数的不等关系不易找出时，可将函数(或方程)等价转化为方便作图的两个函数，再根据题设条件和图像的变化确定参数的取值范围．‎ ‎　1.(2019·贵阳市监测考试)已知函数f(x)＝，则下列结论正确的是(　　)‎ A．函数f(x)的图像关于点(1,2)中心对称 B．函数f(x)在(－∞，1)上是增函数 C．函数f(x)的图像上至少存在两点A，B，使得直线AB∥x轴 D．函数f(x)的图像关于直线x＝1对称 A　[因为y＝＝＝＋2，所以该函数图像可以由y＝的图像向右平移1个单位长度，向上平移2个单位长度得到，所以函数f(x)的图像关于点(1,2)中心对称，A正确，D错误；易知函数f(x)在(－∞，1)上单调递减，故B错误；易知函数f(x)的图像是由y＝的图像平移得到的，所以不存在两点A，B使得直线AB∥x轴，C错误．故选A.]‎ ‎2．已知函数y＝f(x)的图像是圆x2＋y2＝2上的两段弧，如图所示，则不等式f(x)＞f(－x)－2x的解集是________．‎ ‎(－1,0)∪(1，]　[由图像可知，函数f(x)为奇函数，‎ 故原不等式可等价转化为f(x)＞－x.‎ 在同一直角坐标系中分别画出y＝f(x)与y＝－x的图像，‎ 由图像可知不等式的解集为(－1,0)∪(1，]．‎ ‎]‎ ‎3．已知函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx.若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是________．‎ 　[先作出函数f(x)＝|x－2|＋1的图像，如图所示，当直线g(x)＝kx与直线AB平行时斜率为1，当直线g(x)＝kx过A点时斜率为，故f(x)＝g(x)有两个不相等的实根时，‎ k的取值范围为.]‎