【数学】2019届高考一轮复习北师大版理4-3两角和与差的正弦、余弦和正切公式学案

【数学】2019届高考一轮复习北师大版理4-3两角和与差的正弦、余弦和正切公式学案

第3讲　两角和与差的正弦、余弦和正切公式 ‎1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β；‎ cos(α∓β)＝cos_αcos_β±sin__αsin_β；‎ tan(α±β)＝.‎ ‎2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝2sin__αcos____α；‎ cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；‎ tan 2α＝.‎ ‎[提醒]　三角函数公式的变形 ‎(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)；‎ ‎(2)cos2α＝，sin2α＝；‎ ‎(3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，sin α±cos α＝sin.‎ ‎3．三角函数公式关系 ‎ 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意角．(　　)‎ ‎(2)两角和与差的正切公式中的角α，β是任意角．(　　)‎ ‎(3)cos 80°cos 20°－sin 80°sin 20°＝cos(80°－20°)＝cos 60°＝.(　　)‎ ‎(4)公式tan(α＋β)＝可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．(　　)‎ ‎(5)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.(　　)‎ 答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√‎ ‎ (教材习题改编)已知cos α＝－，α是第三象限角，则cos(＋α)为(　　)‎ A.　　　 B．－ C. D．－ 解析：选A.因为cos α＝－，α是第三象限的角，‎ 所以sin α＝－＝－ ＝－，‎ 所以cos(＋α)＝cos cos α－sin sin α＝·(－)－·(－)＝.‎ ‎ (2017·高考江苏卷)若tan＝，则tan α＝________．‎ 解析：tan α＝tan＝＝＝.‎ 答案： ‎ sin 15°＋sin 75°的值是________．‎ 解析：sin 15°＋sin 75°＝sin 15°＋cos 15°＝sin(15°＋45°)＝sin 60°＝.‎ 答案： ‎　　　　　　三角函数公式的直接应用 ‎ [典例引领]‎ ‎ (1)(2017·高考全国卷Ⅰ)已知α∈，tan α＝2，则cos＝________．‎ ‎(2)(2018·广州市综合测试(一))已知f(x)＝sin，若sin α＝，则f＝________．‎ ‎【解析】　(1)因为α∈，且tan α＝＝2，所以sin α＝2cos α，又sin2α＋cos2α＝1，所以sin α＝，cos α＝，则cos＝cos αcos ＋sin αsin ＝×＋×＝.‎ ‎(2)因为sin α＝，所以cos α＝－，所以f＝sin＝sin＝sin α＋cos α＝－.‎ ‎【答案】　(1)　(2)－ 利用三角函数公式应注意的问题 ‎(1)使用公式求值，首先要注意公式的结构特点和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”．‎ ‎(2)使用公式求值，应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用．‎ ‎(3)使用公式求值，应注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用．　 ‎ ‎[通关练习]‎ ‎1．已知sin α＝，α∈，tan(π－β)＝，则tan(α－β)的值为(　　)‎ A．－　　　　　　　　　 B. C. D．－ 解析：选A.因为sin α＝，α∈，‎ 所以cos α＝－＝－，‎ 所以tan α＝＝－.‎ 因为tan(π－β)＝＝－tan β，所以tan β＝－，‎ 则tan(α－β)＝＝－.‎ ‎2．(2018·湖南省东部六校联考)已知角α为锐角，若cos＝，则sin的值为(　　)‎ A. B. C．－ D．－ 解析：选B.因为α为锐角，cos＝>0，所以α＋为锐角，sin＝＝，所以sin＝2sincos＝，故选B.‎ ‎　　　　　　三角函数公式的活用(高频考点) ‎ 三角函数公式的活用是高考的热点，高考多以选择题或填空题的形式出现，研究三角函数的性质和解三角形常应用三角函数公式．高考对三角函数公式的考查主要有以下两个命题角度：‎ ‎(1)两角和与差公式的逆用及变形应用；‎ ‎(2)二倍角公式的活用．‎ ‎[典例引领]‎ 角度一　两角和与差公式的逆用及变形应用 ‎ (1)已知sin α＋cos α＝，则sin2(－α)＝(　　)‎ A. B. C. D. ‎(2)在△ABC中，若tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，则cos C的值为(　　)‎ A．－ B. C. D．－ ‎【解析】　(1)由sin α＋cos α＝两边平方得1＋sin 2α＝，‎ 解得sin 2α＝－，‎ 所以sin2(－α)＝ ‎＝＝＝.‎ ‎(2)由tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，可得＝－1，即tan(A＋B)＝－1，又A＋B∈(0，π)，‎ 所以A＋B＝，则C＝，cos C＝.‎ ‎【答案】　(1)B　(2)B 角度二　二倍角公式的活用 ‎ ＝________．‎ ‎【解析】　法一：原式＝ ‎＝＝tan 30°＝.‎ 法二：原式＝ ‎＝＝＝.‎ 法三：因为＝＝.‎ 又＞0，‎ 所以＝.‎ ‎【答案】　 三角函数公式的应用技巧 运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多种变形等．‎ 公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力，只有熟悉了公式的逆用和变形应用后，才能真正掌握公式的应用．　 ‎ ‎[通关练习]‎ ‎1．(1－tan215°)cos215°的值等于(　　)‎ A.　　 B．1‎ C. D. 解析：选C.(1－tan215°)cos215°＝cos215°－sin215°＝cos 30°＝.‎ ‎2．(2018·河北衡水中学三调考试)若α∈，且3cos 2α＝sin，则sin 2α的值为(　　)‎ A．－ B. C．－ D. 解析：选C.由3cos 2α＝sin可得3(cos2α－sin2α)＝(cos α－sin α)，又由α∈ 可知cos α－sin α≠0，于是3(cos α＋sin α)＝，所以1＋2sin α·cos α＝，故sin 2α＝－.故选C.‎ ‎　　　　　　角的变换 ‎ [典例引领]‎ ‎ (1)(2018·四川成都摸底)已知sin 2α＝，tan(α－β)＝，则tan(α＋β)等于(　　)‎ A．－2 B．－1‎ C．－ D. ‎(2)(2018·六盘水质检)已知cos α＝，cos(α＋β)＝－，且α、β∈，则cos(α－β)的值等于(　　)‎ A．－ B. C．－ D. ‎【解析】　(1)因为sin 2α＝，2α∈，‎ 所以cos 2α＝－，‎ tan 2α＝－，‎ tan(α＋β)＝tan[2α－(α－β)]＝‎ ＝－2.‎ ‎(2)因为α∈，所以2α∈(0，π)．‎ 因为cos α＝，所以cos 2α＝2cos2α－1＝－，‎ 所以sin 2α＝＝，‎ 而α，β∈，所以α＋β∈(0，π)，‎ 所以sin(α＋β)＝＝，‎ 所以cos(α－β)＝cos[2α－(α＋β)]‎ ‎＝cos 2αcos(α＋β)＋sin 2αsin(α＋β)‎ ‎＝×＋×＝.‎ ‎【答案】　(1)A　(2)D ‎ 若本例(2)条件不变，求cos 2β的值．‎ 解：因为cos α＝，cos(α＋β)＝－，且α，β∈，所以α＋β∈(0，π)，‎ 所以sin α＝，sin(α＋β)＝，‎ cos β＝cos[(α＋β)－α]‎ ‎＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ‎＝－×＋×＝.‎ 所以cos 2β＝2cos2β－1＝2×－1＝.‎ 角的变换技巧 ‎(1)当“已知角”有两个时，一般把“所求角”表示为两个“已知角”的和或差的形式；‎ ‎(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．‎ ‎(3)常用拆分方法：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝－，α＝＋，＝－等．　 ‎ ‎[通关练习]‎ ‎1．已知tan(α＋β)＝1，tan＝，则tan 的值为(　　)‎ A.　　　　　　　　　　 B. C. D. 解析：选B.tan＝tan＝＝＝.‎ ‎2．(2018·湖南郴州模拟)已知α∈，sin＝，则tan α＝________．‎ 解析：因为α∈，sin＝，‎ 所以α＋∈，‎ 所以cos＝＝，‎ 所以tan＝，‎ 所以tan α＝tan＝＝.‎ 答案： ‎ 运用三角函数公式时，不但要熟悉公式的直接应用，还要熟悉公式的逆用及变形，如tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tanαtanβ)和二倍角的余弦公式的多种变形等．公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力．‎ ‎ 易错防范 ‎(1)在使用两角和与差的余弦或正切公式时运算符号易错．‎ ‎(2)在(0，π)范围内，sin(α＋β)＝所对应的角α＋β不是唯一的．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ‎ ‎1．计算－sin 133°cos 197°－cos 47°cos 73°的结果为(　　)‎ A.　　　　　　　　　　 B. C. D. 解析：选A.－sin 133°cos 197°－cos 47°cos 73°‎ ‎＝－sin 47°(－cos 17°)－cos 47°sin 17°‎ ‎＝sin(47°－17°)＝sin 30°＝.‎ ‎2．已知sin＝cos，则tan α＝(　　)‎ A．－1 B．0‎ C. D．1‎ 解析：选A.因为sin＝cos，‎ 所以cos α－sin α＝cos α－sin α，‎ 所以sin α＝cos α，‎ 所以sin α＝－cos α，所以tan α＝－1.‎ ‎3．若α∈，tan＝，则sin α等于(　　)‎ A. B. C．－ D．－ 解析：选A.因为tan＝＝，‎ 所以tan α＝－＝，所以cos α＝－sin α.‎ 又因为sin2α＋cos2α＝1，所以sin2α＝.‎ 又因为α∈，所以sin α＝.‎ ‎4．已知cos＝，则sin的值为(　　)‎ A. B．－ C. D．－ 解析：选B.sin＝sin ‎＝cos＝2cos2－1＝2×－1＝－.‎ ‎5．(2018·兰州市实战考试)sin 2α＝，0<α<，则cos的值为(　　)‎ A．－ B. C．－ D. 解析：选D.cos＝＝sin α＋cos α，又因为(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝1＋sin 2α＝，0<α<，所以sin α＋cos α＝，故选D.‎ ‎6．(2018·贵州省适应性考试)已知α是第三象限角，且cos＝，则tan 2α ‎＝________．‎ 解析：由cos(π＋α)＝－cos α＝，得cos α＝－，又α是第三象限角，所以sin α＝－，tan α＝，故tan 2α＝＝.‎ 答案： ‎7．已知sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α＝，β是第三象限角，则sin＝________．‎ 解析：依题意可将已知条件变形为 sin[(α－β)－α]＝－sin β＝，sin β＝－.‎ 又β是第三象限角，因此有cos β＝－.‎ sin＝－sin(β＋)＝－sin βcos －cos βsin ＝.‎ 答案： ‎8．(2018·兰州市高考实战模拟)若sin α－sin β＝1－，cos α－cos β＝，则cos(α－β)＝________．‎ 解析：由sin α－sin β＝1－，得(sin α－sin β)2＝，即sin2α＋sin2β－2sin αsin β＝－，①‎ 由cos α－cos β＝，得cos2α＋cos2β－2cos αcos β＝，②‎ ‎①＋②得，2sin αsin β＋2cos αcos β＝，即cos(α－β)＝.‎ 答案： ‎9．已知tan α＝2.‎ ‎(1)求tan的值；‎ ‎(2)求的值．‎ 解：(1)tan＝＝＝－3.‎ ‎(2)＝‎ ＝＝＝1.‎ ‎10．已知函数f(x)＝Asin，x∈R，且f＝.‎ ‎(1)求A的值；‎ ‎(2)若f(θ)－f(－θ)＝，θ∈，求cos θ的值．‎ 解：(1)f＝Asin＝Asin ＝A＝，‎ 所以A＝3.‎ ‎(2)f(θ)－f(－θ)＝3sin－3sin ‎＝3 ‎＝6sin θcos ＝3sin θ＝，‎ 所以sin θ＝.又因为θ∈，‎ 所以cos θ＝＝＝.‎ ‎1．(2018·山西太原五中模拟)已知角α为锐角，若sin＝，则cos＝(　　)‎ A.　　　　　　　　　　 B. C. D. 解析：选A.由于角α为锐角，且sin＝，则 cos＝，则cos ‎＝cos＝coscos ＋sinsin ＝×＋×＝.‎ ‎2．(2018·河南百校联盟联考)已知α为第二象限角，且tan α＋tan ＝2tan αtan －2，则sin等于(　　)‎ A．－ B. C．－ D. 解析：选C.tan α＋tan ＝2tan αtan －2⇒＝－2⇒tan＝－2，因为α为第二象限角，所以sin＝，cos＝－，则sin＝－sin＝－sin＝cossin －sincos ＝－.‎ ‎3．(2018·安徽重点中学联考)若α∈，cos＝2cos 2α，则sin 2α＝________．‎ 解析：由已知得(cos α＋sin α)＝2(cos α－sin α)·(cos α＋sin α)，‎ 所以cos α＋sin α＝0或cos α－sin α＝.‎ 由cos α＋sin α＝0得tan α＝－1，‎ 因为α∈，所以tan α＞0，‎ 所以cos α＋sin α＝0不满足条件；‎ 由cos α－sin α＝两边平方得1－sin 2α＝，‎ 所以sin 2α＝.‎ 答案： ‎4．(2018·郑州第一次质量预测)△ABC的三个内角为A、B、C，若＝tan，则tan A＝_______________________________________________________________.‎ 解析：＝＝‎ ‎－＝－tan＝tan ‎＝tan，所以－A－＝kπ－(k∈Z)，所以A＝－kπ＋－＝－kπ＋＝－kπ＋，又在△ABC中，‎ A∈(0，π)，所以tan A＝tan＝1.‎ 答案：1‎ ‎5．已知coscos＝－，α∈.‎ ‎(1)求sin 2α的值；‎ ‎(2)求tan α－的值．‎ 解：(1)coscos ‎＝cossin＝sin＝－，即sin＝－.‎ 因为α∈，所以2α＋∈，‎ 所以cos＝－，‎ 所以sin 2α＝sin ‎＝sincos －cossin ＝.‎ ‎(2)因为α∈，所以2α∈，‎ 又由(1)知sin 2α＝，所以cos 2α＝－.‎ 所以tan α－＝－＝ ‎＝＝－2×＝2.‎ ‎6．已知sin α＋cos α＝，α∈，sin＝，β∈.‎ ‎(1)求sin 2α和tan 2α的值；‎ ‎(2)求cos(α＋2β)的值．‎ 解：(1)由题意得(sin α＋cos α)2＝，‎ 即1＋sin 2α＝，所以sin 2α＝.‎ 又2α∈，所以cos 2α＝＝，‎ 所以tan 2α＝＝.‎ ‎(2)因为β∈，β－∈，‎ sin＝，‎ 所以cos＝，‎ 于是sin 2＝2sin·cos＝.‎ 又sin 2＝－cos 2β，所以cos 2β＝－，‎ 又2β∈，所以sin 2β＝，‎ 又cos2α＝＝，α∈，‎ 所以cos α＝，sin α＝.‎ 所以cos(α＋2β)＝cos αcos 2β－sin αsin 2β ‎＝×－× ‎＝－.‎