【数学】福建省安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学2019-2020学年高二下学期期末联考试题

【数学】福建省安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学2019-2020学年高二下学期期末联考试题

福建省安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学 ‎2019-2020学年高二下学期期末联考试题 一、单项选择题：本小题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请把答案填在答题卡的相应位置.‎ ‎1．若集合，，则.‎ A． B． C． D．‎ ‎2．已知命题：，．则为.‎ A．， B．，‎ C．， D．， ‎ ‎3．若实数满足，则的最小值为.　‎ A． B． C． D．‎ ‎4．孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一，2013华人数学家张益唐证明了孪生素数猜想是一个弱化形式，问题可以描述为：存在无穷多个素数，使得是素数，素数对称为孪生素数对，问：如果从30以内的素数组成的孪生素数对中随机抽取一对，这对孪生素数的积超过20的概率为.‎ A． B． C． D．‎ ‎5．2020年初疫情期间，全国学校停课，学校布置学生在家上网课，小明在上网课之余，常到6个不同直播间观看中学各科视频教学讲座，已知当天6个直播间有2个直播间在直播数学课，若小明这时随机进入一个直播间，若在直播数学课，则认真听课，否则就进行换直播间，那么，小明所进的第三个直播间恰好在直播数学课的不同情况有.‎ A．6种 B．24种 C．36种 D．42种 ‎6．如图，某几何体的三视图是由三个边长为1的正方形和其内部的一些虚线构成的，则该几何体的体积为.‎ A． B． C． D．与点的位置有关 ‎7．已知函数，则的图象大致为.‎ ‎ ‎ A B C D ‎ ‎8．已知奇函数满足，当时，，‎ 则 A． B． C． D． ‎ ‎9．已知函数为上的偶函数，当时，，则关于的不等式的解集为.‎ A． B． C． D．‎ ‎10．函数、分别是定义在上的偶函数、奇函数，且，若存在，，使不等式成立，则实数的最小值为.‎ A．4 B． C．8 D．‎ 二、多项选择题：本小题共2小题，每小题5分，共10分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部答对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.请把答案填在答题卡的相应位置.‎ ‎11．若正实数a，b满足a+b＝1，则下列选项中正确的是.‎ A．ab有最大值 B．有最大值 C． D．有最小值 ‎12．已知函数，下列是关于函数的零点个数的4个判断，其中正确的.‎ A．当时，有3个零点 B．当时，有2个零点 ‎ C．当时，有4个零点 D．当时，有1个零点 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，其中第16题为多填题，第一空2分，第二空3分，满分20分.请把答案写在答题卡的相应位置.‎ ‎13．函数的定义域为 .‎ ‎14．某市一次高二年数学统考，经过抽样分析，成绩近似服从正态分布，且.该市某校有800人参加此次统考，估计该校数学成绩不低于分的人数为 ‎ ‎15．世卫组织就新型冠状病毒感染的肺炎疫情称，新型病毒可能造成“持续人传人”．通俗点说就是存在A传B，B又传C，C又传D，这就是“持续人传人”．那么A、B、C就会被称为第一代、第二代、第三代传播者．假设一个身体健康的人被被第一代、第二代、第三代传播者感染的概率分别为0.9，0.8，0.7，健康的小明参加了一次多人宴会，事后知道，参加宴会的人有5名第一代传播者，3名第二代传播者，2名第三代传播者，试计算，小明参加聚会，仅和感染的10个人其中一个接触，感染的概率有多大________．‎ ‎16．已知函数，则 ，若方程有且只有一个实根，则实数的取值范围是 .‎ 四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17．（本小题10分）已知集合，或．‎ ‎（I）当时，求；‎ ‎（II）若，且“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．‎ ‎18．（本小题12分）若将函数表示为，其中为实数.‎ ‎（I）求；‎ ‎（II）求的值.‎ ‎19．（本小题12分）中央电视台“国家品牌计划”栏目组为了做好新能源汽车的品牌推介，利用网络平台对年龄（单位：岁）在，内的人群进行了调查，并从参与调查者中随机选出600人，把这600人分为对新能源汽车比较关注和不太关注两类，并制成如下表格：‎ 年龄岁 ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 性别 男 女 男 女 男 女 男 女 人数 ‎40‎ ‎10‎ ‎120‎ ‎70‎ ‎160‎ ‎100‎ ‎80‎ ‎20‎ 比较关注所占的比例 ‎（I）填写列联表，并根据列联表判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为性别与对新能源汽车关注度有关；‎ 比较关注 不太关注 总计 男 女 总计 ‎（2）为了进一步了解不同性别的消费者对新能源汽车的关注情况，采用分层抽样的方法从这600人中选出6人进行访谈，最后从这6人中随机选出3人参与电视直播节目，记3人中女性的人数为，求的分布列与期望．‎ 附：‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎，其中．‎ ‎20．(本小题12分)某省级示范高中高三年级对各科考试的评价指标中，有“难度系数“和“区分度“两个指标中，难度系数，区分度．‎ ‎（I）某次数学考试（满分为150分），随机从实验班和普通班各抽取三人，实验班三人的成绩分别为147，142，137；普通班三人的成绩分别为97，102，113．通过样本估计本次考试的区分度（精确．‎ ‎（II）如下表格是该校高三年级6次数学考试的统计数据：‎ 难度系数 ‎0.64‎ ‎0.71‎ ‎0.74‎ ‎0.76‎ ‎0.77‎ ‎0.82‎ 区分度 ‎0.18‎ ‎0.23‎ ‎0.24‎ ‎0.24‎ ‎0.22‎ ‎0.15‎ ① 计算相关系数，时，认为相关性弱；时，认为相关性强．通过计算说明，能否利用线性回归模型描述与的关系（精确到．‎ ‎②，2，，,求出关于的线性回归方程,并预测时的值（系数精确到．‎ 附注：参考数据：‎ 参考公式：相关系数，回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计分别为 ‎21．（本小题12分）学生考试中答对但得不了满分的原因多为答题不规范，具体表现为：解题结果正确，无明显推理错误，但语言不规范、缺少必要文字说明、卷面字迹不清、得分要点缺失等，记此类解答为“B类解答”。为评估此类解答导致的失分情况，某市教研室做了一项试验：从某次考试的数学试卷中随机抽取若干属于“B类解答”的题目，扫描后由近百名数学老师集体评阅，统计发现，满分12分的题，阅卷老师所评分数及各分数所占比例大约如下表：‎ 教师评分 ‎11‎ ‎10‎ ‎9‎ 各分数所占比例 某次数学考试试卷评阅采用“双评+仲裁”的方式，规则如下：两名老师独立评分，称为一评和二评，当两者所评分数之差的绝对值小于或等于1分时，取两者平均分为该题得分；当两者所评分数之差的绝对值大于1分时，再由第三位老师评分，称之为仲裁，取仲裁分数和一、二评中与之接近的分数的平均分为该题得分；当一、二评分数和仲裁分数差值的绝对值相同时，取仲裁分数和前两评中较高的分数的平均分为该题得分.假设本次考试阅卷老师对满分为12分的题目中的“B类解答”所评分数及比例均如上表的所示，比例视为概率，且一、二评与仲裁三位老师评分互不影响）.‎ ‎（I）本次数学考试中甲同学某题（满分12分）的解答属于“B类解答”，求甲同学此题需要仲裁的概率.‎ ‎（II）本次数学考试中甲同学某题（满分12分）的解答属于“B类解答”，求甲同学此题得分的分布列及数学期望；‎ ‎（III）本次数学考试有6个解答题，每题满分均为12分，同学乙6个题的解答均为“B类解答”，记该同学6个题中得分为的题目个数为，‎ ‎，计算事件的概率．‎ ‎22．（本小题12分）设函数．（I）当时，试讨论函数的单调性；‎ ‎（II）设，记，当时，若函数与函数有两个不同交点，，，，设线段的中点为，试问是否为的根？说明理由．‎ 参考答案 一、单项选择题：本小题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请把答案填在答题卡的相应位置.‎ ‎1．D，2．C，3．A，4．B，5．B，6．C，7．D，8．A，9．C，10．B 二、多项选择题：本小题共2小题，每小题5分，共10分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部答对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.请把答案填在答题卡的相应位置.‎ ‎11．ABC，12． CD 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，其中第16题为多填题，第一空2分，第二空3分，满分20分.请把答案写在答题卡的相应位置.‎ ‎13．或； 14．160； 15．； 16．8；‎ 四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17．（本小题10分）‎ 解：（I）∵当时，，或，‎ ‎∴；‎ ‎（II）∵或，∴，‎ 由“”是“”的充分不必要条件得A是的真子集，且，‎ 又，∴，∴．‎ ‎18．（本小题12分）‎ 解：（I）由于，那么其展开式通项为，‎ 故.‎ ‎（II）令，则，又令，则两式相减，则，所以.‎ ‎19．（本小题12分）‎ 解：（1）根据题意，填充二维联表如下：‎ 比较关注 不太关注 总计 男 ‎240‎ ‎160‎ ‎400‎ 女 ‎150‎ ‎50‎ ‎200‎ 总计 ‎390‎ ‎210‎ ‎600‎ 由，‎ 故有的把握认为性别与对新能源汽车关注度有关；‎ ‎（II）根据（1），男女比例为，6人中女性的人数为2人，男性为4人，‎ 记3人中女性的人数为，，1，2，‎ ‎；；；‎ 的分布列如下：‎ ‎ ‎ ‎ 0‎ ‎ 1‎ ‎ 2‎ ‎ ‎ ‎ 0.2‎ ‎ 0.6‎ ‎ 0.2‎ ‎．‎ ‎20．(本小题12分) ‎ 解：（I）实验班三人成绩的平均值为，‎ 普通班三人成绩的平均值为，‎ 故估计本次考试的区分度为，‎ ‎（II）①由题中的表格可知，‎ ‎，‎ 故．‎ 因为，所以相关性弱，故不能利用线性回归模型描述与的关系；‎ ‎②与的值如下表 ‎ ‎ ‎0.10‎ ‎0.03‎ ‎0‎ ‎0.02‎ ‎0.03‎ ‎0.08‎ 区分度 ‎0.18‎ ‎0.23‎ ‎0.24‎ ‎0.24‎ ‎0.22‎ ‎0.15‎ 因为，所以，‎ 所以所求回归直线方程，当时，此时，则 ‎21．（本小题12分）‎ 解：（I）设一评、二评、仲裁所打分数分别为，则甲同学此题需要仲裁的概率 ‎；‎ ‎（II）随机变量的可能取值为，‎ 设一评、二评、仲裁所打分数分别为，‎ 所以随机变量分布列如下：‎ 可能取值 概率 所以数学期望 ‎（III）由第一问可知，依次为，计算事件“”的概率等于计算事件“”的概率，即得分为共两道的概率，‎ ‎，，‎ ‎，‎ 即.‎ ‎22．（本小题12分）‎ 解：（I）由可知，，‎ 所以当时，因为函数的定义域为，所以 当时，，函数单调递减，‎ 当时，，函数单调递增；‎ ‎（II）证明：由题可知，，‎ ‎，当时，，当时，，且，‎ 欲证，只需证明，‎ 设，是方程的两个不相等的实根，不妨设，‎ 则，两式相减并整理得，‎ 从而，故只需证明，‎ 即，‎ 式可转化为，即，‎ 因为，所以，不妨令，即证成立，‎ 记，则，当且仅当时等号成立，‎ 在上单调递增，又（1），，，故，‎ 即不成立，故不是的根．‎ 当时，，当时，，且，‎ 欲证，只需证明，‎ 设，是方程的两个不相等的实根，不妨设，‎ 则，两式相减并整理得，‎ 从而，故只需证明，‎ 即，‎ 式可转化为，即，‎ 因为，所以，不妨令，即证成立，‎ 记，则，当且仅当时等号成立，‎ 在上单调递增，又（1），，，故，‎ 即不成立，故不是的根．‎