高中数学必修一至必修五知识点总结

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必修 1 第一章 集合与函数概念 一、集合有关概念 1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。 2、集合的中元素的三个特性： 1.元素的确定性；2.元素的互异性；3.元素的无序性 非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集 N*或 N+ 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R 关于“属于”的概念 集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合 A的元素，就说 a 属于集合 A 记作 a∈A ， 相反，a不属于集合 A 记作 aA 二、集合间的基本关系 任何一个集合是它本身的子集。A A ②真子集:如果 A B,且 B A 那就说集合 A 是集合 B 的真子集，记作 A B(或 B A) 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。 三、集合的运算 1．交集的定义：一般地，由所有属于 A 且属于 B 的元素所组成的集合,叫做 A,B 的交集．(即找公 共部分)记作 A∩B(读作”A交 B”)，即 A∩B={x|x∈A，且 x∈B}． 2、并集的定义：一般地，由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合，叫做 A,B 的并集。 （即 A 和 B 中所有的元素）记作：A∪B(读作”A 并 B”)，即 A∪B={x|x∈A，或 x∈B}． 4、全集与补集 （1）补集：设 S 是一个集合，A 是 S 的一个子集（即 ），由 S 中所有不属于 A的元素组成的集合， 叫做 S 中子集 A 的补集（或余集）（即除去 A 剩下的元素组成的集合） 四、函数的有关概念 定义域补充 能使函数式有意义的实数 x的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是： (1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、 对数式的底必须大于零且不等于 1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的 定义域是使各部分都有意义的 x的值组成的集合.（6）指数为零底不可以等于零 (6)实际问题中的函数的 定义域还要保证实际问题有意义. (又注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域。) 构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域 4．了解区间的概念 （1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示． 7．函数单调性 （1）．增函数 设函数 y=f(x)的定义域为 I，如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 a，b，当 a1 01 0 L α A∈α B∈α 公理 1 作用：判断直线是否在平面内. （2）公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 符号表示为：A、B、C三点不共线 => 有且只有一个平面α， 使 A∈α、B∈α、C∈α。 公理 2 作用：确定一个平面的依据。 （3）公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 L A ·α P · α L β 符号表示为：P∈α∩β =>α∩β=L，且 P∈L 公理 3 作用：判定两个平面是否相交的依据. 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系： 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 平行直线： 同一平面内，没有公共点； 异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。 2 公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为：设 a、b、c 是三条直线 a∥b c∥b 强调：公理 4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。 公理 4 作用：判断空间两条直线平行的依据。 3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. 4 注意点： ① a'与 b'所成的角的大小只由 a、b的相互位置来确定，与 O 的选择无关， 为了简便，点 O 一般取在两直线中的一条上； ② 两条异面直线所成的角θ∈(0， 2  )； ③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作 a⊥b； ④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形； ⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。 2.1.3 — 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 1、直线与平面有三种位置关系： （1）直线在平面内 —— 有无数个公共点 （2）直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点 （3）直线在平面平行 —— 没有公共点 指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用 a α来表示 a α a∩α=A a∥α 2.2.直线、平面平行的判定及其性质 2.2.1 直线与平面平行的判定 1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平 行。 简记为：线线平行，则线面平行。 符号表示： a α b β => a∥α a∥b 2.2.2 平面与平面平行的判定 1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。 共面直线 =>a∥c 符号表示： a β b β a∩b = P =>β∥α a∥α b∥α 2、判断两平面平行的方法有三种： （1）用定义； （2）判定定理； （3）垂直于同一条直线的两个平面平行。 2.2.3 — 2.2.4 直线与平面、平面与平面平行的性质 1、直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交 线与该直线平行。 简记为：线面平行则线线平行。 符号表示： a ∥α a β => a∥b α∩β= b 作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。 2、两个平面平行的性质定理：如果两个平行的平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。 符号表示： α∥β α∩γ= a => a∥b β∩γ= b 作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行 2.3 直线、平面垂直的判定及其性质 2.3.1 直线与平面垂直的判定 1、定义：如果直线 L与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线 L 与平面α互相垂直，记作 L ⊥α，直线 L 叫做平面α的垂线，平面α叫做直线 L的垂面。如图，直线与平面垂直时,它们唯一公共点 P 叫做垂足。 P a L 2、直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面 垂直。 注意点： a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视； b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。 2.3.2 平面与平面垂直的判定 1、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形 A 梭 l β B α 2、二面角的记法：二面角α-l-β或α-AB-β 3、两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。 2.3.3 — 2.3.4 直线与平面、平面与平面垂直的性质 1、直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。 2、两个平面垂直的性质定理： 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。 第三章 直线与方程 （1）直线的倾斜角 定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与 x轴平行或重合时, 我们规定它的倾斜角为 0 度。因此，倾斜角的取值范围是 0°≤α＜180° （2）直线的斜率 ①定义：倾斜角不是 90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用 k表示。 即 tank  。斜率反映直线与轴的倾斜程度。 当直线 l与 x轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0; 当直线 l与 x轴垂直时, α= 90°, k 不存在. 当   90,0 时， 0k ； 当   180,90 时， 0k ； 当 90 时， k不存在。 ②过两点的直线的斜率公式： )( 21 12 12 xx xx yy k     （ P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2） 注意下面四点：(1)当 21 xx  时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为 90°； (2)k 与 P1、P2的顺序无关； (3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得； (4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。 （3）直线方程 ①点斜式： )( 11 xxkyy  直线斜率 k，且过点  11, yx 注意：当直线的斜率为 0°时，k=0，直线的方程是 y=y1。 当直线的斜率为 90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因 l 上每一点的横坐标 都等于 x1，所以它的方程是 x=x1。 ②斜截式： bkxy  ，直线斜率为 k，直线在 y轴上的截距为 b ③两点式： 1 1 2 1 2 1 y y x x y y x x      （ 1 2 1 2,x x y y  ）直线两点  11, yx ，  22 , yx ④截矩式： 1x y a b   其中直线 l 与 x轴交于点 ( ,0)a ,与 y轴交于点 (0, )b ,即 l 与 x轴、 y轴的截距分 别为 ,a b。 ⑤一般式： 0 CByAx （A，B不全为 0） 注意：○1各式的适用范围 ○2 特殊的方程如： 平行于 x轴的直线： by  （b为常数）； 平行于 y轴的直线： ax  （a 为常数）； （6）两直线平行与垂直 当 111 : bxkyl  ， 222 : bxkyl  时， 212121 ,// bbkkll  ； 12121  kkll 注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。 （7）两条直线的交点 0: 1111  CyBxAl 0: 2222  CyBxAl 相交 交点坐标即方程组      0 0 222 111 CyBxA CyBxA 的一组解。 方程组无解 21 // ll ； 方程组有无数解 1l 与 2l 重合 （8）两点间距离公式：设 1 1 2 2( , ) ,A x y B x y，（ ）是平面直角坐标系中的两个点， 则 2 2 2 1 2 1| | ( ) ( )AB x x y y    （9）点到直线距离公式：一点  00 , yxP 到直线 0:1  CByAxl 的距离 22 00 BA CByAx d    （10）两平行直线距离公式 已知两条平行线直线 1l 和 2l 的一般式方程为 1l ： 01  CByAx ， 2l ： 02  CByAx ，则 1l 与 2l 的距离为 22 21 BA CC d    第四章 圆与方程 1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。 2、圆的方程 （1）标准方程     222 rbyax  ，圆心  ba, ，半径为 r； 点 0 0( , )M x y 与圆 2 2 2( ) ( )x a y b r    的位置关系： 当 2 2 0 0( ) ( )x a y b   > 2r ，点在圆外 当 2 2 0 0( ) ( )x a y b   = 2r ，点在圆上 当 2 2 0 0( ) ( )x a y b   < 2r ，点在圆内 （2）一般方程 022  FEyDxyx 当 0422  FED 时，方程表示圆，此时圆心为        2 , 2 ED ，半径为 FEDr 4 2 1 22  （3）求圆方程的方法： 一般都采用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出 a， b，r；若利用一般方程，需要求出 D，E，F； 另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。 3、直线与圆的位置关系： 直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况： （1）设直线 0:  CByAxl ，圆     222: rbyaxC  ，圆心  baC , 到 l 的距离为 22 BA CBbAa d    ，则有 相离与Clrd  ； 相切与Clrd  ； 相交与Clrd  （2）过圆外一点的切线：①k不存在，验证是否成立②k存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离 =半径，求解 k，得到方程【一定两解】 (3)过圆上一点的切线方程：圆(x-a)2+(y-b)2=r2 ，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为 (x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r2 必修三 ：辗转相除法与更相减损术（1）辗转相除法。也叫欧几里德算法，用辗转相除法求最大公约数的步 骤如下： ①用较大的数 m 除以较小的数 n 得到一个商 0S 和一个余数 0R ； ②若 0R ＝0，则 n 为 m，n 的最大公 约数；若 0R ≠0，则用除数 n 除以余数 0R 得到一个商 1S 和一个余数 1R ；③若 1R ＝0，则 1R 为 m，n的最大 公约数；若 1R ≠0，则用除数 0R 除以余数 1R 得到一个商 2S 和一个余数 2R ；…… 依次计算直至 nR ＝0，此时所得到的 1nR  即为所求的最大公约数。 （2）更相减损术 ①任意给出两个正数；判断它们是否都是偶数。若是，用 2约简；若不是，执行第二步。②以较大的 数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的数相等 为止，则这个数（等数）就是所求的最大公约数。 （3）辗转相除法与更相减损术的区别： ①都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数上辗 转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显。 ②从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除余数为 0 则得到，而更相减损术则以减数与差 相等而得到 8：秦九韶算法与排序 （1）秦九韶算法概念： f(x)=anx n +an-1x n-1 +….+a1x+a0求值问题 f(x)=anx n +an-1x n-1 +….+a1x+a0=( anx n-1 +an-1x n-2 +….+a1)x+a0 =(( anx n-2 +an-1x n-3 +….+a2)x+a1)x+a0 =......=(...( anx+an-1)x+an-2)x+...+a1)x+a0 求多项式的值时，首先计算最内层括号内依次多项式的值，即 v1=anx+an-1然后由内向外逐层计算一次 多项式的值，即 v2=v1x+an-2 v3=v2x+an-3 ...... vn=vn-1x+a0 这样，把 n 次多项式的求值问题转化成求 n 个一次多项式的值的问题。 第二章：统计 1：简单随机抽样 类别 共同点 各自特点 相互关系 适用范围 简单随 机抽样 抽样过程 中每个个体被 抽取的机会相 等 从总体中逐个抽取 总体中的 个体数较少 系统抽 样 将总体均匀分成几部分，按 事先确定的规则在各部分抽取 再起时部分抽样时 采用简单随机抽样 总体中的 个数较多 分成抽 样 经总体分成几层，分层进行 抽取 各层抽样时采用简 单随机抽样 总体由差 异明显的几部 分组成 4：用样本的数字特征估计总体的数字特征 （1）样本均值： n xxxx n  21 （2）样本标准差： n xxxxxx ss n 22 2 2 12 )()()(    用样本估计总体时，如果抽样的方法比较合理，那么样本可以反映总体的信息，但从样本得到的信息 会有偏差。在随机抽样中，这种偏差是不可避免的。 （3）众数：在样本数据中，频率分布最大值所对应的样本数据（可以是多个）。 （4）中位数：在样本数据中，累计频率为 1.5 时所对应的样本数据值（只有一个）。 第三章：概 率 2：概率的基本性质 （1）必然事件概率为 1，不可能事件概率为 0，因此 0≤P(A)≤1 （2）事件的包含、并事件、交事件、相等事件 （3）若 A∩B为不可能事件，即 A∩B=，那么称事件 A 与事件 B 互斥； （4）若 A∩B为不可能事件，A∪B 为必然事件，那么称事件 A 与事件 B 互为对立事件； （5）当事件 A 与 B 互斥时，满足加法公式：P(A∪B)= P(A)+ P(B)； 若事件 A与 B为对立事件，则 A∪B为必然事件，所以 P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有 P(A)=1—P(B) （6）互斥事件与对立事件的区别与联系，互斥事件是指事件 A 与事件 B 在一次试验中不会同时发生， 其具体包括三种不同的情形：① 事件 A 发生且事件 B 不发生；②事件 A 不发生且事件 B 发生；③事件 A 与事件 B同时不发生，而对立事件是指事件 A与事件 B有且仅有一个发生，其包括两种情形；④事件 A发 生 B不发生；⑤事件 B发生事件 A 不发生，对立事件互斥事件的特殊情形。 3：基本事件 （1）基本事件：基本事件是在一次试验中所有可能发生的基本结果中的一个，它是试验中不能再分 的最简单的随机事件。 （2）基本事件的特点：①任何两个基本事件是互斥的②任何事件（除不可能事件外）都可以表示成 基本事件的和。 4：古典概型： （1）古典概型的条件：古典概型是一种特殊的数学模型，这种模型满足两个条件： ①试验结果的有限性和所有结果的等可能性。②所有基本事件必须是有限个。 （2）古典概型的解题步骤； ①求出总的基本事件数； ②求出事件 A所包含的基本事件数，然后利用公式 A( )p A  所包含的基本事件的个数 总的基本事件个数 5：几何概型 （1）几何概率模型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例， 则称这样的概率模型为几何概率模型； （2）几何概型的概率公式： 积）的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成 积）的区域长度（面积或体构成事件AAp )( ； （3）几何概型的特点：①试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；②每个基本事件出 P x y AO M T 现的可能性相等． 注意：几何概型也是一种概率模型，它与古典概型的区别是试验的可能结果不是有限个。其特点是在 一个区域内均匀分布，所以随机事件的概率大小与随机事件所在区域的形状位置无关，值域该区域的大小 有关。如果随即事件所在区域是一个单点，由于单点的长度、面积、体积均为 0，则它出现的概率为 0， 但它不是不可能事件；如果一个随机事件所在区域是全部区域扣除一个单点，则它出现的概率为 1，但他 不是必然事件。 综上可得：必然事件的概率为 1；不可能事件的概率为 0。 概率为 1 的事件不一定为必然事件；概率为 0 的事件不一定为不可能事件。 必修 4 第一章 三角函数（初等函数二）      正角:按逆时针方向旋转形成的角 1、任意角 负角:按顺时针方向旋转形成的角 零角:不作任何旋转形成的角 3、与角 终边相同的角的集合为 360 ,k k      7、弧度制与角度制的换算公式： 2 360   ，1 180   ， 1801 57.3          ． 8、若扇形的圆心角为   为弧度制 ，半径为 r，弧长为 l，周长为C，面积为 S ，则 l r  ， 2C r l  ， 21 1 2 2 S lr r  ． 9、设 是一个任意大小的角， 的终边上任意一点 的坐标是  ,x y ，它与原点的距离是  2 2 0r r x y   ，则 sin y r   ， cos x r   ，  tan 0y x x    ． 10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限 余弦为正． 11、三角函数线： sin  ， cos  ， tan  ． 12、同角三角函数的基本关系：   2 21 sin cos 1    2 2 2 2sin 1 cos ,cos 1 sin       ；   sin2 tan cos     15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质： siny x cosy x tany x函 数性 质 图 象 定 义 域 R R , 2 x x k k        值 域  1,1  1,1 R 最 值 当 2 2 x k    k 时， max 1y  ；当 2 2 x k    k 时 ， min 1y   ． 当  2x k k  时， max 1y  ； 当 2x k    k 时 ， min 1y   ． 既无最大值也无最 小值 周 期性 2 2  奇 偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单 调性 在 2 ,2 2 2 k k        k 上是增函数； 在 32 ,2 2 2 k k        k 上是减函数． 在   2 ,2k k k    上 是 增 函 数 ； 在  2 ,2k k    k 上是减函数． 在 , 2 2 k k         k 上 是 增 函 数． 对 称性 对称中心    ,0k k  对称轴   2 x k k    对称中心  , 0 2 k k       对称轴  x k k  对称中心  , 0 2 k k       无对称轴 第二章 平面向量 16、向量：既有大小，又有方向的量． 数量：只有大小，没有方向的量． 有向线段的三要素：起点、方向、长度． 零向量：长度为0的向量． 单位向量：长度等于1个单位的向量． 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行． 相等向量：长度相等且方向相同的向量． 17、向量加法运算： ⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点． ⑶ 三 角 形 不 等 式 ： a b a b a b          ． ⑷运算性质： ① 交 换 律 ： a b b a      ； ②结合律：    a b c a b c          ； ③ 0 0a a a        ． ⑸ 坐 标 运 算 ： 设  1 1,a x y  ，  2 2,b x y  ， 则  1 2 1 2,a b x x y y     ． 18、向量减法运算： ⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向 量． ⑵ 坐 标 运 算 ： 设  1 1,a x y  ，  2 2,b x y  ， 则  1 2 1 2,a b x x y y     ． 设、两点的坐标分别为  1 1,x y ，  2 2,x y ，则  1 2 1 2,x x y y     ． 23、平面向量的数量积： ⑴  cos 0, 0,0 180a b a b a b              ．零向量与任一向量的数量积为0． ⑵性质：设 a和b  都是非零向量，则① 0a b a b       ．②当 a与b  同向时，a b a b     ；当 a与 b  反向时， a b a b      ； 22a a a a       或 a a a     ．③ a b a b     ． ⑷坐标运算：设两个非零向量  1 1,a x y  ，  2 2,b x y  ，则 1 2 1 2a b x x y y    ． b  a C   a b C C         若  ,a x y  ，则 2 2 2a x y   ，或 2 2a x y   ． 设  1 1,a x y  ，  2 2,b x y  ，则 1 2 1 2 0a b x x y y     ． 设 a 、 b  都 是 非 零 向 量 ，  1 1,a x y  ，  2 2,b x y  ，  是 a 与 b  的 夹 角 ， 则 1 2 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 cos x x y ya b a b x y x y         ． 第三章 三角恒等变换 24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式： ⑴  cos cos cos sin sin        ； ⑵  cos cos cos sin sin        ； ⑶  sin sin cos cos sin        ； ⑷  sin sin cos cos sin        ； ⑸   tan tantan 1 tan tan          （   tan tan tan 1 tan tan         ）； ⑹   tan tantan 1 tan tan          （   tan tan tan 1 tan tan         ）． 25、二倍角的正弦、余弦和正切公式： ⑴ sin 2 2sin cos   ． ⑵ 2 2 2 2cos2 cos sin 2cos 1 1 2sin          （ 2 cos 2 1cos 2    ， 2 1 cos 2sin 2    ）． ⑶ 2 2tantan2 1 tan     ． 26、  2 2sin cos sin         ，其中 tan    ． 必修 5 第一章 解三角形 1、正弦定理：在 C 中，a、b、c分别为角、、C的对边，R为 C 的外接圆的半径， 则有 2 sin sin sin a b c R C      ． 2、正弦定理的变形公式：① 2 sina R ， 2 sinb R ， 2 sinc R C ； ② sin 2 a R   ， sin 2 b R   ， sin 2 cC R  ；③ : : sin : sin : sina b c C   ； ④ s in s in s in s in s in s in a b c a b c C C            ． （正弦定理主要用来解决两类问题：1、已知两边和其中一边所对的角，求其余的量。2、已知两角和 一边，求其余的量。） 3、三角形面积公式： 1 1 1sin sin sin 2 2 2CS bc ab C ac    ． 4、余弦定理：在 C 中，有 2 2 2 2 cosa b c bc   ， 2 2 2 2 cosb a c ac   ， 2 2 2 2 cosc a b ab C   ． 5、余弦定理的推论： 2 2 2 c o s 2 b c a b c     ， 2 2 2 c o s 2 a c b a c     ， 2 2 2 c o s 2 a b cC a b    ． (余弦定理主要解决的问题：1、已知两边和夹角，求其余的量。2、已知三边求角) 6、如何判断三角形的形状：设 a、b、c是 C 的角、、C的对边，则：①若 2 2 2a b c  ， 则 90C   ； ②若 2 2 2a b c  ，则 90C   ；③若 2 2 2a b c  ，则 90C   ． 附：三角形的四个“心”； 重心：三角形三条中线交点. 外心：三角形三边垂直平分线相交于一点. 内心：三角形三内角的平分线相交于一点. 垂心：三角形三边上的高相交于一点 第二章 数列 11、如果一个数列从第 2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列， 这个常数称为等差数列的公差．符号表示: 1n na a d   。注：看数列是不是等差数列有以下三种方法： ① ),2(1 为常数dndaa nn   ②2 11   nnn aaa ( 2n ) ③ bknan  ( kn, 为常数 12、由三个数 a，，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，则称为 a与b的等差中项．若 2 a cb   ，则称b为 a与 c的等差中项． 13、若等差数列 na 的首项是 1a ，公差是 d ，则  1 1na a n d   ． 14、通项公式的变形：①  n ma a n m d   ；②  1 1na a n d   ；③ 1 1 na ad n    ； ④ 1 1na an d    ；⑤ n ma ad n m    ． 15、若 na 是等差数列，且m n p q   （m、n、 p、 *q ），则 m n p qa a a a   ；若 na 是 等差数列，且 2n p q  （ n、 p、 *q ），则 2 n p qa a a  ． 16 、 等 差 数 列 的 前 n 项 和 的 公 式 ： ①  1 2 n n n a a S   ； ②   1 1 2n n n S na d    ． ③ 1 2n ns a a a    18、如果一个数列从第 2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列称为等比数列， 这个常数称为等比数列的公比．符号表示： 1n n a q a   （注：①等比数列中不会出现值为 0 的项；②同号位 上的值同号） 注：看数列是不是等比数列有以下四种方法： ① )0,,2(1   且为常数qnqaa nn ② 11 2   nnn aaa ( 2n ， 011  nnn aaa ) ③ n n cqa  ( qc, 为非零常数). ④正数列{ na }成等比的充要条件是数列{ nx alog }（ 1x ）成等比数列. 19、在 a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，则G称为 a与b的等比中项．若 2G ab ， 则称G为a与b的等比中项．（注：由 2G ab 不能得出 a，G，b成等比，由a，G，b  2G ab ） 20、若等比数列 na 的首项是 1a ，公比是 q，则 1 1 n na a q  ． 21、通项公式的变形：① n m n ma a q  ； 22、若 na 是等比数列，且m n p q   （m、n、 p、 *q ），则 m n p qa a a a   ；若 na 是等比 数列，且 2n p q  （ n、 p、 *q ），则 2 n p qa a a  ． 23 、 等 比 数 列  na 的 前 n 项 和 的 公 式 ： ①       1 1 1 1 1 1 1 1 n n n na q S a q a a q q q q          ． ② 1 2n ns a a a    24、对任意的数列{ na }的前 n项和 nS 与通项 na 的关系：        )2( )1( 1 11 nss nas a nn n ③非零．．常数列既可为等比数列，也可为等差数列.（不是非零，即不可能有等比数列） 附：数列求和的常用方法 1. 公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。 2.裂项相消法:适用于       1nnaa c 其中{ na }是各项不为 0 的等差数列，c为常数；部分无理数列、含 阶乘的数列等。 3.错位相减法:适用于 nnba 其中{ na }是等差数列， nb 是各项不为 0 的等比数列。 4.倒序相加法: 类似于等差数列前 n项和公式的推导方法. 第三章 不等式 一元二次不等式的求解： 特例① 一元一次不等式 ax>b 解的讨论； ②一元二次不等式 ax 2 +bx+c>0(a>0)解的讨论. 0 0 0 二次函数 cbxaxy  2 （ 0a ）的图 象 一元二次方程  的根0 02   a cbxax 有两相异实根 )(, 2121 xxxx  有两相等实根 a bxx 221  无实根 的解集)0( 02   a cbxax  21 xxxxx  或        a bxx 2 R 的解集)0( 02   a cbxax  21 xxxx    对于 a<0 的不等式可以先把 a 化为正后用上表来做即可。 11、设 a、b是两个正数，则 2 a b 称为正数 a、b的算术平均数， ab称为正数 a、b的几何平均数． 12、均值不等式定理： 若 0a  ， 0b  ，则 2a b ab  ，即 2 a b ab  ． 13、常用的基本不等式： ①  2 2 2 ,a b ab a b R   ； ②   2 2 , 2 a bab a b R   ； ③   2 0, 0 2 a bab a b       ； ④   22 2 , 2 2 a b a b a b R       ． 14、极值定理：设 x、 y都为正数，则有： ⑴若 x y s  （和为定值），则当 x y 时，积 xy取得最大值 2 4 s ．⑵若 xy p （积为定值），则当 x y 时，和 x y 取得最小值 2 p ．