【数学】2019届一轮复习人教A版（文）9-1直线的方程学案

【数学】2019届一轮复习人教A版（文）9-1直线的方程学案

‎§9.1　直线的方程 最新考纲 考情考向分析 ‎1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素.‎ ‎2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.‎ ‎3.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、斜截式、截距式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系.‎ 以考查直线方程的求法为主，直线的斜率、倾斜角也是考查的重点．题型主要在解答题中与圆、圆锥曲线等知识交汇出现，有时也会在选择、填空题中出现.‎ ‎1．直线的倾斜角 ‎(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.‎ ‎(2)范围：直线l倾斜角的范围是[0°，180°)．‎ ‎2．斜率公式 ‎(1)若直线l的倾斜角α≠90°，则斜率k＝tanα.‎ ‎(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上且x1≠x2，则l的斜率k＝.‎ ‎3．直线方程的五种形式 名称 方程 适用范围 点斜式 y－y0＝k(x－x0)‎ 不含直线x＝x0‎ 斜截式 y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线 两点式 ＝ 不含直线x＝x1 (x1≠x2)和直线y＝y1 (y1≠y2)‎ 截距式 ＋＝1‎ 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)‎ 平面直角坐标系内的直线都适用 题组一　思考辨析 ‎1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置．(　√　)‎ ‎(2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．(　×　)‎ ‎(3)直线的倾斜角越大，其斜率就越大．(　×　)‎ ‎(4)若直线的斜率为tanα，则其倾斜角为α.(　×　)‎ ‎(5)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等．(　×　)‎ ‎(6)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．(　√　)‎ 题组二　教材改编 ‎2．[P86T3]若过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为(　　)‎ A．1B．4C．1或3D．1或4‎ 答案　A 解析　由题意得＝1，解得m＝1.‎ ‎3．[P100A组T9]经过点M(1,1)且在两坐标轴上截距相等的直线方程是(　　)‎ A．x＋y＝2 B．x＋y＝1‎ C．x＝1或y＝1 D．x＋y＝2或x＝y 答案　D 解析　若直线过原点，则直线为y＝x，符合题意，‎ 若直线不过原点，设直线为＋＝1，代入点(1,1)，‎ 解得m＝2，直线方程整理得x＋y－2＝0，故选D.‎ 题组三　易错自纠 ‎4．(2018·石家庄模拟)直线x＋(a2＋1)y＋1＝0的倾斜角的取值范围是(　　)‎ A. B. C.∪ D.∪ 答案　B 解析　由直线方程可得该直线的斜率为－，‎ 又－1≤－<0，所以倾斜角的取值范围是.‎ ‎5．如果A·C<0且B·C<0，那么直线Ax＋By＋C＝0不通过(　　)‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案　C 解析　由已知得直线Ax＋By＋C＝0在x轴上的截距－>0，在y轴上的截距－>0，故直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限．‎ ‎6．过直线l：y＝x上的点P(2,2)作直线m，若直线l，m与x轴围成的三角形的面积为2，则直线m的方程为．‎ 答案　x－2y＋2＝0或x＝2‎ 解析　①若直线m的斜率不存在，则直线m的方程为x＝2，直线m，直线l和x轴围成的三角形的面积为2，符合题意；‎ ‎②若直线m的斜率k＝0，则直线m与x轴没有交点，不符合题意；‎ ‎③若直线m的斜率k≠0，设其方程为y－2＝k(x－2)，令y＝0，得x＝2－，依题意有××2＝2，即＝1，解得k＝，所以直线m的方程为y－2＝(x－2)，即x－2y＋2＝0.‎ 综上可知，直线m的方程为x－2y＋2＝0或x＝2.‎ 题型一　直线的倾斜角与斜率 典例 (1)直线2xcosα－y－3＝0的倾斜角的取值范围是 (　　)‎ A. B. C. D. 答案　B 解析　直线2xcosα－y－3＝0的斜率k＝2cosα，‎ 因为α∈，所以≤cosα≤，‎ 因此k＝2cosα∈[1，]．‎ 设直线的倾斜角为θ，则有tanθ∈[1，]．‎ 又θ∈[0，π)，所以θ∈，‎ 即倾斜角的取值范围是.‎ ‎(2)直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为．‎ 答案　(－∞，－]∪[1，＋∞)‎ 解析　如图，∵kAP＝＝1，‎ kBP＝＝－，‎ ‎∴k∈(－∞，－ ]∪[1，＋∞)．‎ 引申探究 ‎1．若将本例(2)中P(1,0)改为P(－1,0)，其他条件不变，求直线l斜率的取值范围．‎ 解　∵P(－1,0)，A(2,1)，B(0，)，‎ ‎∴kAP＝＝，‎ kBP＝＝.‎ 如图可知，直线l斜率的取值范围为.‎ ‎2．若将本例(2)中的B点坐标改为(2，－1)，其他条件不变，求直线l倾斜角的取值范围．‎ 解　如图，直线PA的倾斜角为45°，‎ 直线PB的倾斜角为135°，‎ 由图象知l的倾斜角的范围为[0°，45°]∪[135°，180°)．‎ 思维升华直线倾斜角的范围是[0，π)，根据斜率求倾斜角的范围时，要分与两种情况讨论．‎ 跟踪训练已知过定点P(2,0)的直线l与曲线y＝相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取到最大值时，直线l的倾斜角为(　　)‎ A．150° B．135°‎ C．120° D．不存在 答案　A 解析　由y＝，得x2＋y2＝2(y≥0)，它表示以原点O为圆心，以为半径的圆的一部分，其图象如图所示．‎ 显然直线l的斜率存在，‎ 设过点P(2,0)的直线l为y＝k(x－2)，‎ 则圆心到此直线的距离d＝，‎ 弦长|AB|＝2＝2，‎ 所以S△AOB＝××2≤＝1，‎ 当且仅当(2k)2＝2－2k2，即k2＝时等号成立，‎ 由图可得k＝－，‎ 故直线l的倾斜角为150°.‎ 题型二　求直线的方程 典例 (1)求过点A(1,3)，斜率是直线y＝－4x的斜率的的直线方程；‎ ‎(2)求经过点A(－5,2)，且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍的直线方程．‎ 解　(1)设所求直线的斜率为k，‎ 依题意k＝－4×＝－.‎ 又直线经过点A(1,3)，‎ 因此所求直线方程为y－3＝－(x－1)，‎ 即4x＋3y－13＝0.‎ ‎(2)当直线不过原点时，设所求直线方程为＋＝1，将(－5,2)代入所设方程，解得a＝－，所以直线方程为x＋2y＋1＝0；当直线过原点时，设直线方程为y＝kx，则－5k＝2，解得k＝－，所以直线方程为y＝－x，即2x＋5y＝0.‎ 故所求直线方程为2x＋5y＝0或x＋2y＋1＝0.‎ 思维升华在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件．若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况．‎ 跟踪训练根据所给条件求直线的方程：‎ ‎(1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为；‎ ‎(2)经过点P(4,1)，且在两坐标轴上的截距相等；‎ ‎(3)直线过点(5,10)，到原点的距离为5.‎ 解　(1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式．‎ 设倾斜角为α，则sinα＝(0<α<π)，‎ 从而cosα＝±，则k＝tanα＝±.‎ 故所求直线方程为y＝±(x＋4)．‎ 即x＋3y＋4＝0或x－3y＋4＝0.‎ ‎(2)设直线l在x，y轴上的截距均为a.‎ 若a＝0，即l过(0,0)及(4,1)两点，‎ ‎∴l的方程为y＝x，即x－4y＝0.‎ 若a≠0，则设l的方程为＋＝1，‎ ‎∵l过点(4,1)，∴＋＝1，‎ ‎∴a＝5，‎ ‎∴l的方程为x＋y－5＝0.‎ 综上可知，直线l的方程为x－4y＝0或x＋y－5＝0.‎ ‎(3)当斜率不存在时，所求直线方程为x－5＝0；‎ 当斜率存在时，设其为k，‎ 则所求直线方程为y－10＝k(x－5)，‎ 即kx－y＋(10－5k)＝0.‎ 由点到直线的距离公式，得＝5，解得k＝.‎ 故所求直线方程为3x－4y＋25＝0.‎ 综上可知，所求直线方程为x－5＝0或3x－4y＋25＝0.‎ 题型三　直线方程的综合应用 命题点1　与基本不等式相结合求最值问题 典例 (2018·济南模拟)已知直线l过点M(2,1)，且与x轴、y轴的正半轴分别相交于A，B两点，O为坐标原点，求当||·||取得最小值时直线l的方程．‎ 解　设A(a,0)，B(0，b)，则a>0，b>0，‎ 直线l的方程为＋＝1，所以＋＝1.‎ ‎||·||＝－·＝－(a－2，－1)·(－2，b－1)‎ ‎＝2(a－2)＋b－1＝2a＋b－5‎ ‎＝(2a＋b)－5＝＋≥4，‎ 当且仅当a＝b＝3时取等号，此时直线l的方程为x＋y－3＝0.‎ 命题点2　由直线方程解决参数问题 典例已知直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，当0＜a＜2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，求实数a的值．‎ 解　由题意知直线l1，l2恒过定点P(2,2)，直线l1在y轴上的截距为2－a，直线l2在x轴上的截距为a2＋2，所以四边形的面积S＝×2×(2－a)＋×2×(a2＋2)＝a2－a＋4＝2＋，当a＝时，四边形的面积最小．‎ 思维升华与直线方程有关问题的常见类型及解题策略 ‎(1)求解与直线方程有关的最值问题．先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．‎ ‎(2)求直线方程．弄清确定直线的两个条件，由直线方程的几种特殊形式直接写出方程．‎ ‎(3)求参数值或范围．注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解．‎ 跟踪训练　已知直线l过点P(3,2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，如图所示，求△ABO的面积的最小值及此时直线l的方程．‎ 解　方法一　设直线方程为＋＝1(a>0，b>0)，‎ 把点P(3,2)代入得＋＝1≥2，得ab≥24，‎ 从而S△AOB＝ab≥12，当且仅当＝时等号成立，这时k＝－＝－，从而所求直线方程为2x＋3y－12＝0.‎ 方法二　由题意知，直线l的斜率k存在且k<0，‎ 则直线l的方程为y－2＝k(x－3)(k<0)，‎ 且有A，B(0,2－3k)，‎ ‎∴S△ABO＝(2－3k) ‎＝ ‎≥ ‎＝×(12＋12)＝12.‎ 当且仅当－9k＝，即k＝－时，等号成立．‎ 即△ABO的面积的最小值为12.‎ 故所求直线的方程为2x＋3y－12＝0.‎ 求与截距有关的直线方程 典例设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)．‎ ‎(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程；‎ ‎(2)若l在两坐标轴上的截距互为相反数，求a.‎ 错解展示：‎ 现场纠错 解　(1)当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距为0，∴a＝2，方程即为3x＋y＝0.‎ 当直线不经过原点时，截距存在且均不为0，‎ 直线方程可写为＋＝1，‎ ‎∴＝a－2，即a＋1＝1.∴a＝0，方程即为x＋y＋2＝0.‎ 综上，直线l的方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0.‎ ‎(2)由＝－(a－2)，得a－2＝0或a＋1＝－1，‎ ‎∴a＝2或a＝－2.‎ 纠错心得在求与截距有关的直线方程时，注意对直线的截距是否为零进行分类讨论，防止忽视截距为零的情形，导致产生漏解．‎ ‎1．在直角坐标系中，直线x－y＋3＝0的倾斜角是(　　)‎ A．30°B．45°C．60°D．90°‎ 答案　A 解析　因为直线x－y＋3＝0的斜率是k＝tanθ＝，‎ 所以倾斜角θ为30°，故选A.‎ ‎2．(2018·北京海淀区模拟)过点(2,1)且倾斜角比直线y＝－x－1的倾斜角小的直线方程是(　　)‎ A．x＝2 B．y＝1‎ C．x＝1 D．y＝2‎ 答案　A 解析　∵直线y＝－x－1的斜率为－1，则倾斜角为，‎ 依题意，所求直线的倾斜角为－＝，‎ ‎∴斜率不存在，∴过点(2,1)的直线方程为x＝2.‎ ‎3．若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，－1)，则直线l的斜率为(　　)‎ A. B．－ C．－ D. 答案　B 解析　依题意，设点P(a,1)，Q(7，b)，则有 解得a＝－5，b＝－3，从而可知直线l的斜率为＝－.‎ ‎4．(2017·深圳调研)在同一平面直角坐标系中，直线l1：ax＋y＋b＝0和直线l2：bx＋y＋a＝0有可能是(　　)‎ 答案　B 解析　当a>0，b>0时，－a<0，－b<0.选项B符合．‎ ‎5.如图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则 (　　)‎ A．k1＜k2＜k3 B．k3＜k1＜k2‎ C．k3＜k2＜k1 D．k1＜k3＜k2‎ 答案　D 解析　直线l1的倾斜角α1是钝角，故k1＜0，直线l2与l3的倾斜角α2与α3均为锐角且α2＞α3，所以0＜k3＜k2，因此k1＜k3＜k2，故选D.‎ ‎6．已知两点M(2，－3)，N(－3，－2)，直线l过点P(1,1)且与线段MN相交，则直线l的斜率k的取值范围是(　　)‎ A．k≥或k≤－4 B．－4≤k≤ C.≤k≤4 D．－≤k≤4‎ 答案　A 解析　如图所示，‎ ‎∵kPN＝＝，‎ kPM＝＝－4，‎ ‎∴要使直线l与线段MN相交，‎ 当l的倾斜角小于90°时，k≥kPN；‎ 当l的倾斜角大于90°时，k≤kPM，‎ ‎∴k≥或k≤－4.‎ ‎7．(2017·黑龙江大庆实验中学模拟)与直线x＋y＋2＝0垂直的直线的倾斜角为．‎ 答案　 解析　直线x＋y＋2＝0的斜率为－，所求直线与直线x＋y＋2＝0垂直，故所求直线斜率为，故倾斜角为.‎ ‎8.不论实数m为何值，直线mx－y＋2m＋1＝0恒过定点．‎ 答案　(－2,1)‎ 解析　直线mx－y＋2m＋1＝0可化为m(x＋2)＋(－y＋1)＝0，∵m∈R，∴∴x＝－2，y＝1，‎ ‎∴直线mx－y＋2m＋1＝0恒过定点(－2,1)．‎ ‎9．已知三角形的三个顶点A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)，则BC边上中线所在的直线方程为．‎ 答案　x＋13y＋5＝0‎ 解析　BC的中点坐标为，∴BC边上中线所在的直线方程为＝，‎ 即x＋13y＋5＝0.‎ ‎10．经过点A(4,2)，且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的3倍的直线l的方程的一般式为．‎ 答案　x＋3y－10＝0或x－2y＝0‎ 解析　当截距为0时，设直线方程为y＝kx，则4k＝2，‎ ‎∴k＝，∴直线方程为x－2y＝0.‎ 当截距不为0时，设直线方程为＋＝1，‎ 由题意得，＋＝1，∴a＝.∴x＋3y－10＝0.‎ 综上，直线l的一般式方程为x＋3y－10＝0或x－2y＝0.‎ ‎11．已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l的方程：‎ ‎(1)过定点A(－3,4)；‎ ‎(2)斜率为.‎ 解　(1)由题意知，直线l存在斜率．‎ 设直线l的方程为y＝k(x＋3)＋4，‎ 它在x轴、y轴上的截距分别为－－3,3k＋4，‎ 由已知，得(3k＋4)＝±6，‎ 解得k1＝－或k2＝－.‎ 故直线l的方程为2x＋3y－6＝0或8x＋3y＋12＝0.‎ ‎(2)设直线l在y轴上的截距为b，则直线l的方程是y＝x＋b，则它在x轴上的截距是－6b，‎ 由已知，得|－6b·b|＝6，∴b＝±1.‎ ‎∴直线l的方程为x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0.‎ ‎12.如图，射线OA，OB分别与x轴正半轴成45°和30°角，过点P(1,0)作直线AB分别交OA，OB于A，B两点，当AB的中点C恰好落在直线y＝x上时，求直线AB的方程．‎ 解　由题意可得kOA＝tan45°＝1，‎ kOB＝tan(180°－30°)＝－，‎ 所以直线lOA：y＝x，lOB：y＝－x.‎ 设A(m，m)，B(－n，n)，‎ 所以AB的中点C，‎ 由点C在直线y＝x上，且A，P，B三点共线得 解得m＝，所以A(，)．‎ 又P(1,0)，所以kAB＝kAP＝＝，‎ 所以lAB：y＝(x－1)，‎ 即直线AB的方程为(3＋)x－2y－3－＝0.‎ ‎13．已知直线l过点(1,0)，且倾斜角为直线l0：x－2y－2＝0的倾斜角的2倍，则直线l的方程为(　　)‎ A．4x－3y－3＝0 B．3x－4y－3＝0‎ C．3x－4y－4＝0 D．4x－3y－4＝0‎ 答案　D 解析　由题意可设直线l0，l的倾斜角分别为α，2α，‎ 因为直线l0：x－2y－2＝0的斜率为，则tanα＝，‎ 所以直线l的斜率k＝tan2α＝＝＝，‎ 所以由点斜式可得直线l的方程为y－0＝(x－1)，‎ 即4x－3y－4＝0.‎ ‎14．设点A(－1,0)，B(1,0)，直线2x＋y－b＝0与线段AB相交，则b的取值范围是．‎ 答案　[－2,2]‎ 解析　b为直线y＝－2x＋b在y轴上的截距，‎ 如图，‎ 当直线y＝－2x＋b过点A(－1,0)和点B(1,0)时，b分别取得最小值－2和最大值2.‎ ‎∴b的取值范围是[－2,2]．‎ ‎15．(2017·豫南九校联考)若θ是直线l的倾斜角，且sinθ＋cosθ＝，则l的斜率为(　　)‎ A．－ B．－或－2‎ C.或2 D．－2‎ 答案　D 解析　∵sinθ＋cosθ＝，①‎ ‎∴(sinθ＋cosθ)2＝1＋sin2θ＝，‎ ‎∴2sinθcosθ＝－，∴(sinθ－cosθ)2＝，‎ 易知sinθ>0，cosθ<0，∴sinθ－cosθ＝，②‎ 由①②解得 ‎∴tanθ＝－2，即l的斜率为－2，故选D.‎ ‎16．(2018届江西新余第一中学模拟)在平面直角坐标系中，如果x与y都是整数，就称点(x，y)为整点，下列命题中正确的是．(写出所有正确命题的编号)‎ ‎①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点；‎ ‎②若k与b都是无理数，则直线y＝kx＋b不经过任何整点；‎ ‎③直线l经过无穷多个整点，当且仅当l经过两个不同的整点；‎ ‎④直线y＝kx＋b经过无穷多个整点的充要条件是k与b都是有理数；‎ ‎⑤存在恰经过一个整点的直线．‎ 答案　①③⑤‎ 解析　对于①，比如直线y＝x＋，当x取整数时，y始终是一个无理数，即直线y＝x＋既不与坐标轴平行又不经过任何整点，①正确；对于②，直线y＝x－中k与b都是无理数，但直线经过整点(1,0)，②错误；对于③，当直线经过两个整点时，它经过无数多个整点，③正确；对于④，当k＝0，b＝时，直线y＝不通过任何整点，④错误；对于⑤，比如直线y＝x－只经过一个整点(1,0)，⑤正确．故答案为①③⑤.‎