安徽省六校教育研究会2020届高三第二次素质测试数学（文）试题 Word版含解析

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www.ks5u.com 安徽六校教育研究会 2020 届高三第二次素质测试 数学（文科）‎ 一、选择题：本大题共 12 个题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合或，集合，则集合中的元素个数为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先求出，再求出元素个数即可.‎ ‎【详解】因为，所以中元素的个数为.‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查集合的运算，属于简单题.‎ ‎2.已知复数满足：（为虚数单位），则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数的乘法、除法运算求出，再根据共轭复数的概念即可求解.‎ 详解】由，则，‎ 所以.‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查了复数的四则运算、共轭复数的概念，属于基础题.‎ ‎3.已知命题，则为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D - 26 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据全称命题的否定是特称命题判断即可.‎ ‎【详解】因为全称命题的否定是特称命题，‎ 所以命题，，‎ ‎，.‎ 故选：D ‎【点睛】本题主要考查全称命题的否定，属于简单题.‎ ‎4.为实现国民经济新“三步走”的发展战略目标，国家加大了扶贫攻坚的力度.某地区在2015 年以前的年均脱贫率（脱离贫困的户数占当年贫困户总数的比）为.2015年开始，全面实施“精准扶贫”政策后，扶贫效果明显提高，其中2019年度实施的扶贫项目，各项目参加户数占比（参加该项目户数占 2019 年贫困户总数的比）及该项目的脱贫率见下表：‎ 实施项目 种植业 养殖业 工厂就业 服务业 参加用户比 脱贫率 那么年的年脱贫率是实施“精准扶贫”政策前的年均脱贫率的（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先算出2019年的年脱贫率，再与年以前的年均脱贫率相比即可.‎ ‎【详解】由图表得，2019年的年脱贫率为 ‎.‎ 所以年的年脱贫率是实施“精准扶贫”政策前的年均脱贫率的.‎ 故选：C - 26 -‎ ‎【点睛】本题主要考查数学期望的实际应用，同时考查了学生的分析问题能力，属于简单题.‎ ‎5.已知首项为正数的等比数列中，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先根据求出，再根据得到，再由计算即可.‎ ‎【详解】因为，，所以，即.‎ 因为，.‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查等比数列的性质，同时考查了等比中项，属于中档题.‎ ‎6.已知函数的定义域为，值域为，则的值可能为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先设，根据的图象和值域得到的范围，即可得到的范围，从而得到的最大值和最小值，再结合选项即可得到答案.‎ ‎【详解】令，的图象如下所示：‎ - 26 -‎ 因为值域为，‎ 所以的最大范围为，‎ 最小范围为.‎ 所以，，‎ ‎，.‎ 即的最大值为，最小值为.‎ 所以可能为.‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查正弦函数的图象，同时开心了正弦函数的值域和定义域，属于中档题.‎ ‎7.已知双曲线的右焦点为为坐标原点，以为直径的圆与双 曲线的一条渐近线交于点及点，则双曲线的方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 26 -‎ 根据双曲线方程求出渐近线方程：，再将点代入可得，连接，根据圆的性质可得，从而可求出，再由即可求解.‎ ‎【详解】由双曲线，‎ 则渐近线方程：，‎ ‎，‎ ‎ ‎ 连接，则，解得，‎ 所以，解得.‎ 故双曲线方程为.‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查了双曲线的几何性质，需掌握双曲线的渐近线求法，属于中档题.‎ ‎8.《易经》包含着很多哲理，在信息学、天文学中都有广泛的应用，《易经》的博大精深，对今天 的几何学和其它学科仍有深刻的影响.下图就是易经中记载的几何图形——八卦田，图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，八块面积相等的曲边梯形代表八卦田.已知正八边形的边长为，阴阳太极图的半径为，则每块八卦田的面积约为（ ）‎ - 26 -‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先设，，根据余弦定理得到，再根据图形计算八卦田的面积即可.‎ ‎【详解】如图所示： ‎ 设，.‎ ‎，解得：.‎ 因为.‎ 所以每块八卦田的面积.‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形，同时考查了正弦定理计算三角形面积，属于中档题.‎ ‎9.锐角中，角，所对的边分别为，若 - 26 -‎ ‎，，则角的大小为（ ）‎ A B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先化简得到，根据余弦定理得到，再利用正弦定理得到，即.‎ ‎【详解】因为，‎ 所以.‎ 因为为锐角三角形，所以，即.‎ ‎，即.‎ 因为，即，解得：.‎ 因为为锐角三角形，所以.‎ 故选：D ‎【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形，同时考查了三角函数的恒等变换，属于中档题.‎ ‎10.函数在上的大致图象是（ ）‎ A. B. ‎ - 26 -‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 讨论的取值范围，然后对函数进行求导，利用导数的几何意义即可判断.‎ ‎【详解】当时，，则，‎ 所以函数在上单调递增，‎ 令，则，‎ 根据三角函数的性质，‎ 当时，，故切线的斜率变小，‎ 当时，，故切线的斜率变大，可排除A、B；‎ 当时，，则，‎ 所以函数上单调递增，‎ 令 ，，‎ 当时，，故切线的斜率变大，‎ 当时，，故切线的斜率变小，可排除C，‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查了识别函数的图像，考查了导数与函数单调性的关系以及导数的几何意义，属于中档题.‎ ‎11.若定义在上的增函数的图象关于点对称 ，且， 令，则下列结论不一定成立的是（ ）‎ A. B. ‎ - 26 -‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先根据题意得到函数为定义在上奇函数，B选项，计算即可判定B正确，C选项，计算，即C正确，D选项，计算，根据的单调性即可判断D正确.‎ ‎【详解】因为函数向左平移一个单位得到，‎ 函数的图象关于点对称，‎ 所以的图象关于点，即函数为定义在上奇函数.‎ B选项，，故B正确.‎ C选项，，‎ 故C正确.‎ D选项，，‎ 因为在上为增函数，所以，即.‎ 所以，故D正确.‎ 故选：A ‎【点睛】本题主要考查奇函数的性质，同时考查了函数图象的平移变换，属于中档题.‎ ‎12.如图，棱长为的正方体中，为线段的中点，分别为线段和 棱 上任意一点，则的最小值为（ ）‎ - 26 -‎ A. B. C. 1 D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先连接，过作，连接，过作.根据面面垂直的性质得到平面，即.再根据相似三角形得到，，即.再将转化为，求其最小值即可.‎ ‎【详解】连接，过作，连接，过作.‎ 因为平面平面，‎ 所以平面.‎ 因为平面，所以.‎ - 26 -‎ 所以.‎ 又因为，所以.‎ 即.‎ 因为，所以.‎ 在中，.‎ 因为，所以.‎ 即，.‎ 所以.‎ 即的最小值为 故选：C ‎【点睛】本题主要考查立体几何中的最短距离问题，同时考查了面面垂直的性质，属于难题.‎ 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.‎ ‎13.已知平面向量，满足，则向量的夹角为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先化简得到，再计算即可得到.‎ ‎【详解】，，解得.‎ 因为，所以.‎ 故答案为：‎ - 26 -‎ ‎【点睛】本题主要考查向量夹角的计算，同时考查了向量数量积的运算，属于简单题.‎ ‎14.已知函数，则使得的的取值范围为_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先根据题意得到：，再根据的范围解不等式即可.‎ ‎【详解】由题知：，即.‎ 因为，所以.‎ 因为，‎ 所以，解得.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查三角不等式的解法，同时考查了正弦函数的图象，属于中档题.‎ ‎15.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为___________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 26 -‎ 首先将三视图还原得到直观图为直三棱柱，从而得到直三棱柱的外接球球心为上下底面外心连线的中点处，再计算外接球半径及表面积即可.‎ ‎【详解】由题知：三视图的直观图为直三棱柱，‎ 由图知：几何体外接球球心为上下底面外心连线的中点处.‎ 在中，如图所示：‎ 为中点，，所以.‎ ‎，，.‎ ‎，.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查三棱柱的外接球表面积，同时考查三视图的还原，属于中档题.‎ ‎16.已知点为直线上一点，是椭圆的两条切线，若恰好存在一点使得，则椭圆的离心率为__________.‎ ‎【答案】‎ - 26 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先设，过点切线为，根据直线与椭圆相切，联立得到，因为，得到，即.从而得到到直线的距离为，利用点到距离的公式即可求出，再求离心率即可.‎ ‎【详解】设，过点切线为，由题知：‎ 联立，‎ 因为直线与椭圆相切，‎ 所以，‎ 整理得：.‎ 设切线，的斜率分别为，，‎ 因为，所以，即.‎ 所以点在以为圆心，为半径的圆上，‎ 即到直线的距离为.‎ ‎，解得.‎ 又因为，所以，.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查离心率的求法，同时考查了直线与椭圆的位置关系，属于难题.‎ 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必考题，每个试题考生都必须做答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求做答.‎ - 26 -‎ ‎17.已知数列前项和为 ，且 ‎（1）设，求证：数列为等差数列，并求出数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求 ‎【答案】（1）证明见解析，；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题知：①，当时，②，①②化简得：，即，又因为当时，，，所以是以首项为，公差为的等差数列.即，.‎ ‎（2）由（1）知，再利用分组求和的方法即可得到.‎ ‎【详解】（1）由题知：①，‎ 当时，②，‎ ‎①②得：.‎ 所以，‎ 即：.‎ 当时，，解得，则.‎ 所以是以首项为，公差为的等差数列.‎ ‎，即.‎ ‎（2）.‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题第一问考查等差数列的证明，第二问考查数列求分组求和，属于中档题.‎ ‎18.受“非洲猪瘟”的影响，月份起，某地猪肉的单价随着每周供应量的不足而上涨，‎ - 26 -‎ ‎ 具体情形统计如下表所示：‎ 自受影响后第 周 猪肉单价（元/斤）‎ ‎（1）求猪肉单价关于的线性回归方程 ‎（2）当地有关部门已于月初购入进口猪肉，如果猪肉单价超过元/斤，则释放进口猪肉增加市场供应量以调控猪肉价格，试判断自受影响后第几周开始需要释放进口猪肉？‎ 参考数据：，参考公式：‎ ‎【答案】（1）；（2）应从第周开始 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据图表中数据，利用最小二乘法公式计算，，即可得到回归直线方程.‎ ‎（2）分别计算当和时对应的值，比较即可得到结论.‎ ‎【详解】（1），.‎ ‎，.‎ 所以，.‎ 故.‎ ‎（2）当时，，当时，，‎ 所以应从第周开始释放进口猪肉.‎ - 26 -‎ ‎【点睛】本题主要考查回归直线方程的求解和应用，同时考查了学生的计算能力，属于中档题.‎ ‎19.如图，四棱锥中，侧面为等腰直角三角形， 平面，.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求顶点到平面的距离.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）首先由已知得到，根据平面得到，再利用线面垂直的判定即可证明平面.‎ ‎（2）首先取的中点，连接，，根据，得到平面，设点到平面的距离为，再利用等体积转化即可求出.‎ ‎【详解】（1）因为为等腰直角三角形，所以.‎ 平面，平面，所以.‎ 平面.‎ ‎（2）‎ - 26 -‎ 取的中点，连接，.‎ 因为和均为等腰三角形，所以，.‎ 因平面，平面，所以.‎ 平面.‎ 在中，，所以.‎ 在中，，，所以.‎ 又因为，，，‎ 所以四边形为矩形，即，.‎ 在中，，，所以.‎ 因为在中，，，‎ 所以.‎ 设点到平面的距离为，‎ 因为，即，.‎ ‎【点睛】本题第一问考查线面垂直的证明，第二问考查点到面的距离，等体积法为解题的关键，属于中档题.‎ ‎20.已知函数，直线是曲线在处的切线经过点. ‎ - 26 -‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）若函数，试判断函数的零点个数并证明.‎ ‎【答案】（1）；（2）一个，证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）首先求导，计算得到切点为，计算得到切线斜率，再利用点斜式即可写出切线方程，代入解即可.‎ ‎（2）求导得到，函数在上单调递增，根据计算，，即可得到函数在区间上存在唯一零点.‎ ‎【详解】（1）.‎ 因为，所以切点为.‎ ‎.‎ 所以曲线在处的切线方程为.‎ 将代入，解得：.‎ ‎（2）‎ 所以函数在上单调递增，‎ - 26 -‎ 又，.‎ 所以函数在区间上存在唯一零点，‎ 即函数存在唯一零点.‎ ‎【点睛】本题第一问考查导数中的切线问题，第二问考查利用导数求函数零点个数问题，属于中档题.‎ ‎21.已知抛物线的焦点为，点，点为抛物线上的动点为坐标原点.‎ ‎（1）若的最小值为，求实数的值； ‎ ‎（2）若梯形内接于抛物线，，的交点恰为，且，求直线的方程.‎ ‎【答案】（1）或；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）分别讨论和时的最小值，根据图形即可求出的值.‎ ‎（2）首先设，，，根据得到点在与中点连线上，从而得到点的坐标及.再设出直线的方程为，与抛物线方程联立，利用根系关系即可得到，解出的值即可得到直线的方程.‎ ‎【详解】（1）①当线段与抛物线没有公共点，即时,‎ - 26 -‎ 设抛物线的准线为，过点作的垂线，垂足为，‎ 过点作的垂线，垂足为，‎ 则，‎ 故.‎ ‎②当线段与抛物线有公共点，‎ 即时，.‎ 故或（舍去）.‎ 综上.‎ ‎（2）‎ 设，，，‎ 则，.‎ 因为，所以，即.‎ 即线段与的中点纵坐标相同，故中点与中点连线平行于轴.‎ 由平面几何知识知：点在与中点连线上，‎ - 26 -‎ 故.于是，.‎ 设直线的方程为，‎ ‎.‎ ‎，.‎ 所以.‎ 解得：，‎ 故直线的方程为，即.‎ ‎【点睛】本题第一问考查根据抛物线的定义求最值问题，第二问考查根据直线与抛物线的弦长求直线方程，属于难题.‎ ‎22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，为实数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线与曲线交于，两点，线段的中点为． ‎ ‎（1）求线段长的最小值； ‎ ‎（2）求点的轨迹方程．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将曲线的方程化成直角坐标方程为，当时，线段取得最小值，利用几何法求弦长即可.‎ ‎（2）当点与点不重合时，设，由利用向量的数量积等于 - 26 -‎ 可求解，最后验证当点与点重合时也满足.‎ ‎【详解】解曲线的方程化成直角坐标方程为 即 圆心，半径，曲线为过定点的直线，‎ 易知在圆内，‎ 当时，‎ 线段长最小为 当点与点不重合时，‎ 设 ‎， ‎ 化简得 当点与点重合时，也满足上式，‎ 故点的轨迹方程为 ‎【点睛】本题考查了极坐标与普通方程的互化、直线与圆的位置关系、列方程求动点的轨迹方程，属于基础题.‎ ‎23.已知非零实数满足． ‎ ‎（1）求证：； ‎ ‎（2）是否存在实数，使得恒成立？若存在，求出实数的取值范围； 若不存在，请说明理由 ‎【答案】（1）见解析（2）存在，‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用作差法即可证出.‎ - 26 -‎ ‎（2）将不等式通分化简可得，讨论或，分离参数，利用基本不等式即可求解.‎ ‎【详解】‎ 又 即 即 ‎①当时，即恒成立 ‎（当且仅当时取等号），故 ‎②当时恒成立 ‎（当且仅当时取等号），故 综上，‎ - 26 -‎ ‎【点睛】本题考查了作差法证明不等式、基本不等式求最值、考查了分类讨论的思想，属于基础题.‎ - 26 -‎ - 26 -‎