人教版高中数学选修2-3练习：第二章2-3-2-3-1离散型随机变量的均值word版含解析

人教版高中数学选修2-3练习：第二章2-3-2-3-1离散型随机变量的均值word版含解析

第二章 随机变量及其分布 2.3 离散型随机变量的均值与方差 2.3.1 离散型随机变量的均值 A 级 基础巩固 一、选择题 1．某一供电网络，有 n 个用电单位，每个单位在一天中使用电的 机会是 p，供电网络中一天平均用电的单位个数是( ) A．np(1－p) B．np C．n D．p(1－p) 解析：依题意知，用电单位 X～B(n，p)，所以 E(X)＝np. 答案：B 2．若随机变量ξ的分布列如下表所示，则 E(ξ)的值为( ) ξ 0 1 2 3 4 5 P 2x 3x 7x 2x 3x x A. 1 18 B.1 9 C.20 9 D. 9 20 解析：根据概率和为 1，可得 x＝ 1 18 ， 所以 E(ξ)＝0×2x＋1×3x＋2×7x＋3×2x＋4×3x＋5×x＝40x＝ 20 9 . 答案：C 3．同时抛掷 5 枚质地均匀的硬币 80 次，设 5 枚硬币正好出现 2 枚正面向上，3 枚反面向上的次数为 X，则 X 的均值是( ) A．20 B．25 C．30 D．40 解析：抛掷一次正好出现 3 枚反面向上，2 枚正面向上的概率为C25 25 ＝ 5 16.所以 X～B 80， 5 16 .故 E(X)＝80× 5 16 ＝25. 答案：B 4．已知ξ～B n，1 2 ，η～B n，1 3 ，且 E(ξ)＝15，则 E(η)等于( ) A．5 B．10 C．15 D．20 解析：因为ξ～B n，1 2 ，所以 E(ξ)＝n 2.又 E(ξ)＝15，则 n＝30.所以 η～B 30，1 3 .故 E(η)＝30×1 3 ＝10. 答案：B 5．口袋中有编号分别为 1、2、3 的三个大小和形状相同的小球， 从中任取 2 个，则取出的球的最大编号 X 的期望为( ) A.1 3 B.2 3 C．2 D.8 3 解析：X＝2，3 所以 P(X＝2)＝ 1 C23 ＝1 3 ，P(X＝3)＝C12 C23 ＝2 3. 所以 E(X)＝2×1 3 ＋3×2 3 ＝8 3. 答案：D 二、填空题 6．已知 X～B 100，1 2 ，则 E(2X＋3)＝________． 解析：E(X)＝100×1 2 ＝50，E(2X＋3)＝2E(X)＋3＝103. 答案：103 7．某射手射击所得环数ξ的分布列如下： ξ 7 8 9 10 P x 0.1 0.3 y 已知ξ的期望 E(ξ)＝8.9，则 y 的值为________． 解析： 答案：0.4 8．对某个数学题，甲解出的概率为2 3 ，乙解出的概率为3 4 ，两人独 立解题．记 X 为解出该题的人数，则 E(X)＝________． 解析：P(X＝0)＝1 3 ×1 4 ＝ 1 12 ，P(X＝1)＝2 3 ×1 4 ＋1 3 ×3 4 ＝ 5 12 ，P(X＝2) ＝2 3 ×3 4 ＝ 6 12 ，E(X)＝1×5＋2×6 12 ＝17 12. 答案：17 12 三、解答题 9．某运动员投篮投中的概率为 0.6.求： (1)一次投篮时投中次数 X 的均值； (2)重复 5 次投篮时投中次数 Y 的均值． 解：(1)X 的分布列为 X 0 1 P 0.4 0.6 则 E(X)＝0×0.4＋1×0.6＝0.6， 即一次投篮时投中次数 X 的均值为 0.6. (2)Y 服从二项分布，即 Y～B(5，0.6)． 故 E(Y)＝5×0.6＝3， 即重复 5 次投篮时投中次数 Y 的均值为 3. 10．甲、乙两人进行围棋比赛，每局比赛甲胜的概率为1 3 ，乙胜的 概率为2 3 ，规定某人先胜三局则比赛结束，求比赛局数 X 的均值． 解：由题意，X 的所有可能值是 3，4，5. P(X＝3)＝C33× 1 3 3 ＋C33× 2 3 3 ＝1 3 ； P(X＝4)＝C23× 1 3 2 ×2 3 ×1 3 ＋C23× 2 3 2 ×1 3 ×2 3 ＝10 27 ； P(X＝5)＝C24× 1 3 2 × 2 3 2 ×1 3 ＋C24× 2 3 2 × 1 3 2 ×2 3 ＝ 8 27. 所以 X 的分布列为： X 3 4 5 P 1 3 10 27 8 27 所以 E(X)＝3×1 3 ＋4×10 27 ＋5× 8 27 ＝107 27 . B 级 能力提升 1．今有两台独立工作的雷达，每台雷达发现飞行目标的概率分别 为 0.9 和 0.85，设发现目标的雷达台数为 X，则 E(X)＝( ) A．0.765 B．1.75 C．1.765 D．0.22 解析：依题意 X 的可能取值为 0，1，2， P(X＝0)＝(1－0.9)×(1－0.85)＝0.1×0.15＝0.015； P(X＝1)＝0.9×(1－0.85)＋0.85×(1－0.9)＝0.22； P(X＝2)＝0.9×0.85＝0.765. 所以 E(X)＝0×0.015＋1×0.22＋2×0.765＝1.75. 答案：B 2．设离散型随机变量 X 可能的取值为 1，2，3，P(X＝k)＝ak＋ b(k＝1，2，3)．又 X 的均值 E(X)＝3，则 a＋b＝________． 解析：因为 P(X＝1)＝a＋b，P(X＝2)＝2a＋b， P(X＝3)＝3a＋b， 所以 E(X)＝1×(a＋b)＋2×(2a＋b)＋3×(3a＋b)＝3， 所以 14a＋6b＝3.① 又因为(a＋b)＋(2a＋b)＋(3a＋b)＝1， 所以 6a＋3b＝1.② 由①②可知 a＝1 2 ，b＝－2 3 ，所以 a＋b＝－1 6. 答案：－1 6 3．由于电脑故障，使得随机变量 X 的分布列中部分数据丢失(以 “？” 代替)，其表如下： X 1 2 3 4 5 6 P 0.20 0.10 0.？5 0.10 0.1？ 0.20 (1)求 P(X＝3)及 P(X＝5)的值； (2)求 E(X)； (3)若η＝2X－E(X)，求 E(η)． 解：(1)由分布列的性质可知 0．20＋0.10＋0.？5＋0.10＋0.1？＋0.20＝1. 故 0.？5＋0.1？＝0.40. 由于小数点后只有两位有效数字， 故 0.1？中“？”处应填 5，0.？5 中的“？”处数字为 2. 即 P(X＝3)＝0.25，P(X＝5)＝0. 15. (2)E(X)＝1×0.20＋2×0.10＋3×0.25＋4×0.1＋5×0.15＋6×0.20 ＝3.50. (3)法一 由 E(η)＝2E(X)－E(X)＝E(X)得， E(η)＝E(X)＝3.50. 法二 由于η＝2X－E(X)， 所以η的分布列如下： η －1.5 0.5 2.5 4.5 6.5 8.5 P 0.20 0.10 0.25 0.10 0.15 0.20 所 以 E(η) ＝ － 1.5×0.20 ＋ 0.5×0.10 ＋ 2.5×0.25 ＋ 4.5×0.10 ＋ 6.5×0.15＋8.5×0.20＝3.50.