【数学】2021届一轮复习北师大版（文）第三章 第3讲 导数与函数的极值、最值学案
第3讲 导数与函数的极值、最值
一、知识梳理
1．函数的极值
函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)<0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．
极大值点、极小值点统称为极值点，极大值、极小值统称为极值．
[提醒] (1)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能称为极值点．
(2)在函数的整个定义域内，极值不一定是唯一的，有可能有多个极大值或极小值．
(3)极大值与极小值之间无确定的大小关系．
2．函数的最值
(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．
(2)若函数f(x)在[a，b]上是增加的，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上是减少的，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．
[提醒] 极值只能在定义域内部取得，而最值却可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点处必定是极值．
常用结论
记住两个结论
(1)若函数在开区间(a，b)内的极值点只有一个，则相应极值点为函数最值点．
(2)若函数在闭区间[a，b]的最值点不是端点，则最值点亦为极值点．
二、教材衍化
1．若函数f(x)＝2x3－x2＋ax＋3在区间(－1，1)内恰有一个极值点，则实数a
的取值范围为( )
A．(－8，－4) B．[－8，－4)
C．(－8，－4] D．(－∞，－8]∪[－4，＋∞)
答案：C
2．函数f(x)＝ln x－x在区间(0，e]上的最大值为( )
A．1－e B．－1
C．－e D．0
答案：B
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数在某区间上或定义域内的极大值是唯一的．( )
(2)导数为零的点不一定是极值点．( )
(3)函数的极大值不一定比极小值大．( )
(4)函数的极大值一定是函数的最大值．( )
(5)开区间上的单调连续函数无最值．( )
答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)× (5)√
二、易错纠偏
(1)利用极值求参数时忽略对所求参数的检验；
(2)混淆极值与极值点的概念；
(3)连续函数在区间(a，b)上不一定存在最值．
1．若函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极小值，则常数c的值为 ．
解析：函数f(x)＝x(x－c)2的导数为f′(x)＝3x2－4cx＋c2，由题意知，在x＝2处的导数值为12－8c＋c2＝0，解得c＝2或6，又函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极小值，故导数在x＝2处左侧为负，右侧为正，而当c＝6时，f(x)＝x(x－6)2在x＝2处有极大值，故c＝2.
答案：2
2．函数g(x)＝－x2的极值点是 ，函数f(x)＝(x－1)3的极值点 (填“存在”或“不存在”)．
解析：结合函数图象可知g(x)＝－x2的极值点是x＝0.因为f′(x)＝3(x－1)2≥0，所以f′(x)＝0无变号零点，故函数f(x)＝(x－1)3不存在极值点．
答案：0 不存在
3．函数g(x)＝x2在[1，2]上的最小值和最大值分别是 ，在(1，2)上的最小值和最大值均 (填“存在”或“不存在”)．
解析：根据函数的单调性及最值的定义可得．
答案：1，4 不存在
函数的极值问题(多维探究)
角度一 由图象判断函数的极值
已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图，则下列叙述正确的是( )
A．函数f(x)在(－∞，－4)上是减少的
B．函数f(x)在x＝2处取得极大值
C．函数f(x)在x＝－4处取得极值
D．函数f(x)有两个极值点
【解析】 由导函数的图像可得，当x≤2时，f′(x)≥0，函数f(x)是增加的；当x>2时，f′(x)<0，函数f(x)是减少的，所以函数f(x)的递减区间为(2，＋∞)，故A错误．当x＝2时函数取得极大值，故B正确．当x＝－4时函数无极值，故C错误．只有当x＝2时函数取得极大值，故D错误．故选B.
【答案】 B
由图象判断函数y＝f(x)的极值，要抓住两点：(1)由y＝f′(x)的图象与x轴的交点，可得函数y＝f(x)的可能极值点；(2)由导函数y＝f′(x)的图象可以看出y＝f′(x)的值的正负，从而可得函数y＝f(x)的单调性，两者结合可得极值点．
角度二 求已知函数的极值
已知函数f(x)＝ln x＋，求函数f(x)的极小值．
【解】 f′(x)＝－＝(x>0)，
当a－1≤0，即a≤1时，f′(x)>0，函数f(x)在(0，＋∞)上是增加的，无极小值．
当a－1>0，即a>1时，由f′(x)<0，得0
0，得x>a－1，函数f(x)在(a－1，＋∞)上是增加的．f(x)极小值＝f(a－1)＝1＋ln(a－1)．
综上所述，当a≤1时，f(x)无极小值；
当a>1时，f(x)极小值＝1＋ln(a－1)．
利用导数研究函数极值问题的一般流程
角度三 已知函数的极值求参数值(范围)
设函数f(x)＝[ax2－(3a＋1)x＋3a＋2]ex.
(1)若曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线斜率为0，求实数a的值；
(2)若f(x)在x＝1处取得极小值，求实数a的取值范围．
【解】 (1)因为f(x)＝[ax2－(3a＋1)x＋3a＋2]ex，
所以f′(x)＝[ax2－(a＋1)x＋1]ex.
f′(2)＝(2a－1)e2.
由题设知f′(2)＝0，即(2a－1)e2＝0，解得a＝.
(2)由(1)得f′(x)＝[ax2－(a＋1)x＋1]ex＝(ax－1)(x－1)ex.
若a>1，则当x∈时，f′(x)<0;
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0.
所以f(x)在x＝1处取得极小值．
若a≤1，则当x∈(0，1)时，ax－1≤x－1<0，
所以f′(x)>0.
所以1不是f(x)的极小值点．
综上可知，a的取值范围是(1，＋∞)．
已知函数极值点或极值求参数的两个要领
(1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．
(2)验证：因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．
[提醒] 若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有极值，那么y＝f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值．
1．(2020·咸阳市诊断测试)已知函数f(x)＝(x2－m)ex，若函数f(x)的图象在x
＝1处切线的斜率为3e，则f(x)的极大值是( )
A．4e－2 B．4e2
C．e－2 D．e2
解析：选A.f′(x)＝(x2＋2x－m)ex.由题意知，f′(1)＝(3－m)e＝3e，所以m＝0，f′(x)＝(x2＋2x)ex.当x>0或x<－2时，f′(x)>0，f(x)是增函数；当－20，
所以f(x)在上是减函数，在(0，1]上是增函数．所以f(x)min＝f(0)＝0.
又f＝，f(1)＝.
所以f(x)的最大值与最小值的和为.
2．(2020·江西南昌模拟)已知函数f(x)＝ax＋ln x，其中a为常数．
(1)当a＝－1时，求f(x)的最大值；
(2)若f(x)在区间(0，e]上的最大值为－3，求a的值．
解：(1)易知f(x)的定义域为(0，＋∞)，
当a＝－1时，f(x)＝－x＋ln x，f′(x)＝－1＋＝，令f′(x)＝0，得x＝1.
当00；当x>1时，f′(x)<0.
所以f(x)在(0，1)上是增函数，在(1，＋∞)上是减函数．
所以f(x)max＝f(1)＝－1.
所以当a＝－1时，函数f(x)在(0，＋∞)上的最大值为－1.
(2)f′(x)＝a＋，x∈(0，e]，∈.
①若a≥－，则f′(x)≥0，从而f(x)在(0，e]上是增函数，所以f(x)max＝f(e)＝ae＋1≥0，不符合题意；
②若a<－，令f′(x)>0得a＋>0，结合x∈(0，e]，解得00，
所以f(x)在x＝1处取得极小值，即a＝1时符合题意．
(2)当a≤0时，f′(x)>0对x∈(0，1)恒成立，
所以f(x)在(0，1)上是增加的，所以f(x)在x＝0处取得最小值f(0)＝1.
当a>0时，令f′(x)＝x2－a＝0，
解得x1＝－，x2＝，
当00，f(x)是增加的，
所以f(x)在x＝处取得最小值f()＝1－.
当a≥1时，≥1.
x∈(0，1)时，f′(x)<0，f(x)是减少的，
所以f(x)在x＝1处取得最小值f(1)＝－a.
综上所述，当a≤0时，f(x)在x＝0处取得最小值f(0)＝1；
当0－1，即a<1.
解决函数极值、最值问题的策略
(1)求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小．
(2)求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过比较才能下结论．
(3)函数在给定闭区间上存在极值，一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值．
已知函数f(x)＝
(1)求f(x)在区间(－∞，1)上的极小值和极大值点；
(2)求f(x)在区间[－1，e](e为自然对数的底数)上的最大值．
解：(1)当x<1时，f′(x)＝－3x2＋2x＝－x(3x－2)，
令f′(x)＝0，解得x＝0或x＝，
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表
x
(－∞，0)
0
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
极小值
极大值
所以当x＝0时，函数f(x)取得极小值f(0)＝0，函数f(x)的极大值点为x＝.
(2)①由(1)知，当－1≤x<1时，函数f(x)在[－1，0)和上是减少的，在上是增加的．
因为f(－1)＝2，f＝，f(0)＝0，所以f(x)在[－1，1)上的最大值为2.
②当1≤x≤e时，f(x)＝aln x，当a≤0时，f(x)≤0；
当a>0时，f(x)在[1，e]上是增加的．
所以f(x)在[1，e]上的最大值为f(e)＝a.
所以当a≥2时，f(x)在[－1，e]上的最大值为a；
当a<2时，f(x)在[－1，e]上的最大值为2.
[基础题组练]
1．函数f(x)＝2x3＋9x2－2在[－4，2]上的最大值和最小值分别是( )
A．25，－2 B．50，14
C．50，－2 D．50，－14
解析：选C.因为f(x)＝2x3＋9x2－2，所以f′(x)＝6x2＋18x，当x∈[－4，－3)或x∈(0，2]时，f′(x)＞0，f(x)为增函数，当x∈(－3，0)时，f′(x)＜0，f(x)为减函数，由f(－4)＝14，f(－3)＝25，f(0)＝－2，f(2)＝50，故函数f(x)＝2x3＋9x2－2在[－4，2]上的最大值和最小值分别是50，－2.
2．已知函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，给出下列判断：
①函数y＝f(x)在区间内是增加的；
②当x＝－2时，函数y＝f(x)取得极小值；
③函数y＝f(x)在区间(－2，2)内是增加的；
④当x＝3时，函数y＝f(x)有极小值．
则上述判断正确的是( )
A．①② B．②③
C．①②④ D．③④
解析：选B.对于①，函数y＝f(x)在区间内有增有减，故①不正确；
对于②，当x＝－2时，函数y＝f(x)取得极小值，故②正确；
对于③，当x∈(－2，2)时，恒有f′(x)>0，则函数y＝f(x)在区间(－2，2)上是增加的，故③正确；
对于④，当x＝3时，f′(x)≠0，故④不正确．
3．已知函数f(x)＝2f′(1)ln x－x，则f(x)的极大值为( )
A．2 B．2ln 2－2
C．e D．2－e
解析：选B.函数f(x)定义域(0，＋∞)，f′(x)＝－1，所以f′(1)＝1，f(x)＝2ln x－x，令f′(x)＝－1＝0，解得x＝2.当00，当x>2时，f′(x)<0，所以当x＝2时函数取得极大值，极大值为2ln 2－2.
4．用边长为120 cm的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四周分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接成水箱，则水箱的最大容积为( )
A．120 000 cm3 B．128 000 cm3
C．150 000 cm3 D．158 000 cm3
解析：选B.设水箱底长为x cm，则高为cm.
由得0＜x＜120.
设容器的容积为y cm3，则有y＝－x3＋60x2.
求导数，有y′＝－x2＋120x.
令y′＝0，解得x＝80(x＝0舍去)．
当x∈(0，80)时，y′＞0；当x∈(80，120)时，y′＜0.
因此，x＝80是函数y＝－x3＋60x2的极大值点，也是最大值点，
此时y＝128 000.故选B.
5．函数f(x)＝3x2＋ln x－2x的极值点的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．无数
解析：选A.函数定义域为(0，＋∞)，
且f′(x)＝6x＋－2＝，
由于x>0，g(x)＝6x2－2x＋1的Δ＝－20<0，
所以g(x)>0恒成立，故f′(x)>0恒成立，
即f(x)在定义域上是增加的，无极值点．
6．函数f(x)＝x3－3x2＋4在x＝ 处取得极小值．
解析：由f′(x)＝3x2－6x＝0，得x＝0或x＝2.列表
x
(－∞，0)
0
(0，2)
2
(2，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
极大值
极小值
所以在x＝2处取得极小值．
答案：2
7．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1.若函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线斜率为6，则实数a＝ ；若函数在(－1，3)内既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是 ．
解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋a＋6，结合题意f′(1)＝3a＋9＝6，解得a＝－1；若函数在(－1，3)内既有极大值又有极小值，则f′(x)＝0在(－1，3)内有2个不相等的实数根，则解得－1时，f′(x)>0，此时函数f(x)为增函数，当－2n；令f′(x)>0，得x1时，函数f(x)在[1，n)上是增加的，在(n，＋∞)上是减少的，所以f(x)max＝f(n)＝m－1－ln n.
10．(2019·高考江苏卷节选)设函数f(x)＝(x－a)(x－b)·(x－c)，a，b，c∈R，f′(x)为f(x)的导函数．
(1)若a＝b＝c，f(4)＝8，求a的值；
(2)若a≠b，b＝c，且f(x)和f′(x)的零点均在集合{－3，1，3}中，求f(x)的极小值．
解：(1)因为a＝b＝c，所以f(x)＝(x－a)(x－b)(x－c)＝(x－a)3.
因为f(4)＝8，所以(4－a)3＝8，解得a＝2.
(2)因为b＝c，所以f(x)＝(x－a)(x－b)2＝x3－(a＋2b)x2＋b(2a＋b)x－ab2，
从而f′(x)＝3(x－b).令f′(x)＝0，得x＝b或x＝.
因为a，b，都在集合{－3，1，3}中，且a≠b，
所以＝1，a＝3，b＝－3.
此时，f(x)＝(x－3)(x＋3)2，f′(x)＝3(x＋3)(x－1)．
令f′(x)＝0，得x＝－3或x＝1.列表如下：
x
(－∞，－3)
－3
(－3，1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
极大值
极小值
所以f(x)的极小值为f(1)＝(1－3)(1＋3)2＝－32.
[综合题组练]
1．(2020·郑州质检)若函数y＝f(x)存在n－1(n∈N*)个极值点，则称y＝f(x)为n折函数，例如f(x)＝x2为2折函数．已知函数f(x)＝(x＋1)ex－x(x＋2)2，则f(x)为( )
A．2折函数 B．3折函数
C．4折函数 D．5折函数
解析：选C.f′(x)＝(x＋2)ex－(x＋2)(3x＋2)＝(x＋2)·(ex－3x－2)，令f′(x)＝0，得x＝－2或ex＝3x＋2.
易知x＝－2是f(x)的一个极值点，
又ex＝3x＋2，结合函数图象，y＝ex与y＝3x＋2有两个交点．又e－2≠3×(－2)＋2＝－4.
所以函数y＝f(x)有3个极值点，则f(x)为4折函数．
2．若函数f(x)＝2x2－ln x在其定义域的一个子区间(k－1，k＋1)内存在最小值，则实数k的取值范围是 ．
解析：因为f(x)的定义域为(0，＋∞)，又因为f′(x)＝4x－，所以由f′(x)＝0解得x＝，由题意得解得1≤k<.
答案：
3．已知函数f(x)＝.
(1)求函数f(x)在(1，f(1))处的切线方程；
(2)证明：f(x)仅有唯一的极小值点．
解：(1)因为f′(x)＝，
所以k＝f′(1)＝－2.又因为f(1)＝e＋2，
所以切线方程为y－(e＋2)＝－2(x－1)，即2x＋y－e－4＝0.
(2)证明：令h(x)＝ex(x－1)－2，则h′(x)＝ex·x，所以x∈(－∞，0)时，h′(x)<0，x∈(0，＋∞)时，h′(x)>0.当x∈(－∞，0)时，易知h(x)<0，
所以f′(x)<0，f(x)在(－∞，0)上没有极值点．
当x∈(0，＋∞)时，
因为h(1)＝－2<0，h(2)＝e2－2>0，
所以f′(1)<0，f′(2)>0，f(x)在(1，2)上有极小值点．
又因为h(x)在(0，＋∞)上是增加的，
所以f(x)仅有唯一的极小值点．
4．设f(x)＝xln x－ax2＋(2a－1)x(常数a>0)．
(1)令g(x)＝f′(x)，求g(x)的单调区间；
(2)已知f(x)在x＝1处取得极大值，求实数a的取值范围．
解：(1)由f′(x)＝ln x－2ax＋2a，
可得g(x)＝ln x－2ax＋2a，x∈(0，＋∞)．
所以g′(x)＝－2a＝.又a>0，
当x∈时，g′(x)>0，函数g(x)是增加的，
当x∈时，g′(x)<0，函数g(x)是减少的．
所以函数y＝g(x)的增区间为，减区间为.
(2)由(1)知，f′(1)＝0.
①当01，由(1)知f′(x)在上是增加的，可得当x∈(0，1)时，f′(x)<0，当x∈时，f′(x)>0.
所以f(x)在(0，1)内是减少的，在上是增加的．
所以f(x)在x＝1处取得极小值，不符合题意．
②当a＝时，＝1，f′(x)在(0，1)上是增加的，在(1，＋∞)上是减少的，所以当x∈(0，＋∞)时，f′(x)≤0，f(x)是减少的，不符合题意．
③当a>时，0<<1，当x∈时，f′(x)>0，f(x)是增加的，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)是减少的．
所以f(x)在x＝1处取极大值，符合题意．
综上可知，实数a的取值范围为.
