安徽省十校联盟2020届高三下学期3月线上自主联合检测数学（理）试题 Word版含解析

安徽省十校联盟2020届高三下学期3月线上自主联合检测数学（理）试题 Word版含解析

www.ks5u.com 安徽省十校联盟2020届高三线上自主联合检测 理科数学试题2020.3.29‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 依题意，∴，故选C ‎2.在正方形内任取一点，则该点在此正方形的内切圆外的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 设正方形边长为，则，故选A.‎ ‎3.复数，是虚数单位，则下列结论正确的是 A. B. 的共轭复数为 C. 的实部与虚部之和为1 D. 在复平面内的对应点位于第一象限 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数的四则运算，求得，在根据复数的模，复数与共轭复数的概念等即可得到结论．‎ ‎【详解】由题意，‎ - 22 -‎ 则，的共轭复数为，‎ 复数的实部与虚部之和为，在复平面内对应点位于第一象限，故选D．‎ ‎【点睛】复数代数形式的加减乘除运算的法则是进行复数运算的理论依据,加减运算类似于多项式的合并同类项,乘法法则类似于多项式乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式,再将分母实数化，其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为．‎ ‎4.若，，，则，，的大小关系为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 易知，，，∴，故选B.‎ ‎5.某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的结果为86，则正整数k的最小值为（ ）‎ A 1 806 B. 43 C. 48 D. 42‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 22 -‎ 根据已知中的程序框图，模拟程序的执行过程，可得答案．‎ ‎【详解】解：开始，n＝1，S＝1，故S＝2×1＋1＝3，n＝1×(1＋1)＝2，‎ S与输出的结果不符，故2≥k不成立．‎ S＝2×3＋2＝8，n＝2×(2＋1)＝6，‎ S与输出的结果不符，故6≥k不成立．‎ S＝2×8＋6＝22，n＝6×(6＋1)＝42，‎ S与输出的结果不相符，故42≥k不成立．‎ S＝2×22＋42＝86，n＝42×(42＋1)＝1 806.‎ S与输出的结果相符，故1 806≥k成立．‎ 所以k的最小值为43.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查的知识点是程序框图，难度不大，属于基础题．‎ ‎6.已知等差数列的前项和为，若，，则的公差为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎∵，∴，则，∴，故选B.‎ ‎7.已知，是空间中两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）‎ A. 若，，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，且，，则 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】两个平行平面中的两条直线可能异面，A错；两个平行平面中任一平面内的直线都与另一平面平行，B正确；C中直线也可能在平面 - 22 -‎ 内，C错；任一二面角的平面角的两条边都二面角的棱垂直，但这个二面角不一定是直二面角，D错.故选B.‎ ‎8.已知实数，满足，若的最大值为，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 作出可行域，如图内部（含边界），其中，若A是最优解，则，，检验符合题意；若B是最优解，则，，检验不符合题意，若，则最大值为34；若C是最优解，则，，检验不符合题意；所以，故选B.‎ ‎9.某几何体由三个圆柱和大小相同的两个半球组成，它的三视图如图所示（单位：），则该几何体的表面积是（ ）‎ ‎ ‎ ‎（侧视图中间有小圆）‎ A. B. C. D. ‎ - 22 -‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三视图即可知半球的直径为2，左右两个圆柱的高为1，底面直径为2，中间圆柱的高为3，底面直径为1，再根据球的表面积公式，圆柱的侧面积公式等即可求出．‎ ‎【详解】由三视图可知，该几何体左、右各是半球，半球的直径为2，左右两个圆柱的高为1，底面直径为2，中间圆柱的高为3，底面直径为1．‎ 所以该几何体的表面积．‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题主要考查利用三视图求几何体的表面积，涉及球的表面积公式，圆柱的侧面积公式等的应用，意在考查学生的直观想象能力和数学运算能力，属于基础题．‎ ‎10.已知点和，直线：，若直线与线段有公共点，则的最小值为（ ）‎ A. 24 B. C. 25 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 依题意可知，，即可画出点所在区域，根据线性规划的知识和表示的几何意义，即可求出．‎ ‎【详解】依题可得，，点所在的区域，如图所示：‎ - 22 -‎ 直线过点时，得，直线过点时，得.‎ 表示点到原点的距离的平方.‎ 到直线的距离，‎ 到直线的距离，‎ 又，∴的最小值为．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题主要考查一元二次不等式组表示的平面区域，以及非线性目标函数最值的求法应用，属于基础题．‎ ‎11.已知抛物线：（）过点，经过焦点的直线与抛物线交于，两点，在轴的上方，.若以为直径的圆经过点，则（ ）‎ A. B. C. 2 D. 4‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由点可得抛物线方程为,设直线的倾斜角为,由抛物线的定义可得,,再由以为直径的圆经过点可得,利用三角函数定义可得,解得的值,代回即可求解.‎ ‎【详解】依题意,将代入抛物线的方程中,可得,则,‎ 如图,设直线的倾斜角为,则,‎ ‎∴,同理,‎ ‎∴,‎ - 22 -‎ ‎∵以为直径的圆经过点,∴,∴,‎ 即,∴,‎ 故选:D ‎【点睛】本题考查抛物线的定义的应用,考查抛物线的焦半径,考查数形结合思想.‎ ‎12.已知函数在内单调递减，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求导可得,转化问题为在上恒成立,即在上恒成立,设,整理可得,即可求得的范围,进而求解.‎ ‎【详解】由题,,‎ 在内单调递减,则,即,‎ 令,则,‎ ‎∴,∴,‎ - 22 -‎ ‎∵,∴,解得,‎ ‎∴,‎ 故选:C ‎【点睛】本题考查利用导函数由函数单调性求参,考查转化思想与运算能力.‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.已知向量，，若，则实数__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎，则题意，解得.‎ ‎14.的展开式中，的系数为________（用数字作答）.若变量，满足，且，则的最大值是________.‎ ‎【答案】 (1). 10 (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 的系数分为两部分,一部分为,一部分为,二者求和即可；‎ 由题画出可行域,由,即,找到可行域内的交点使该直线截距最大,即可代入求解.‎ ‎【详解】由题,的系数为；‎ 由不等式组,画出可行域,如图所示,‎ - 22 -‎ 因为,即,则平移该直线,当与点相交时,截距最大,‎ 则的最大值为,‎ 故答案为:10；‎ ‎【点睛】本题考查利用二项式定理求指定项的系数,考查利用线性规划求最值,考查数形结合思想.‎ ‎15.某公司为确定明年投入某产品的广告支出,对近5年的年广告支出(单位:万元)与年销售额(单位:万元)进行了初步统计,如下表所示.‎ 年广告支出/万元 ‎2‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎7‎ ‎8‎ 年销售额/万元 ‎28‎ ‎37‎ ‎60‎ ‎70‎ 经测算,年广告支出与年销售额满足线性回归方程,则的值为_____.‎ ‎【答案】55‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据在线性回归方程上,即可求得的值.‎ ‎【详解】根据所给数据求出:‎ - 22 -‎ ‎ 根据在线性回归方程上 ‎ ,解得: ‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】掌握在线性回归方程是解题关键,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.‎ ‎16.已知抛物线：（）的焦点为，准线：，点在抛物线上，点在准线上，若，直线的倾斜角为，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 如图，设准线与x轴交点为B，由于AF的倾斜角为，∴，双，∴，又由已知，即，∴.‎ 点睛：破解抛物线上的动点与焦点、定点的距离和最值问题的关键：一是“化折为直”的思想，即借助抛物线的定义化折为直；二是“数形结合”思想，即画出满足题设条件的草图，通过图形的辅助找到破题的入口．本题就是得出＝，然后再由已知得等边三角形，从而有．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17.已知数列为等差数列，数列满足，若，，成等比数列，且.‎ ‎（1）求，；‎ - 22 -‎ ‎（2）求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1），,；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意分别求出，，，即可得到，由可求出数列的公差，即可解出，从而求出，；‎ ‎（2）由（1）可知，，即可利用裂项相消法求出数列的前项和．‎ ‎【详解】（1）设数列是公差为的等差数列，‎ 由，若，，成等比数列，‎ 可得，‎ 即为，‎ 由，即，‎ 可得，‎ 则，‎ 解得， ‎ 则，;‎ ‎，.‎ ‎（2），‎ 则前项和.‎ - 22 -‎ ‎【点睛】本题主要考查等差数列的性质应用，通项公式的求法，裂项相消法的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．‎ ‎18.2019年国际篮联篮球世界杯将于2019年8月31日至9月15日在中国的北京、广州、南京、上海、武汉、深圳、佛山、东莞八座城市举行.为了宣传国际篮联篮球世界杯，某大学从全校学生中随机抽取了120名学生，对是否会收看该国际篮联篮球世界杯赛事的情况进行了问卷调查，统计数据如下：‎ 会收看 不会收看 男生 ‎60‎ ‎20‎ 女生 ‎20‎ ‎20‎ ‎（1）根据上表说明，能否有99%的把握认为是否会收看该国际篮联篮球世界杯赛事与性别有关？‎ ‎（2）甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与，且乙投球3次均未命中的概率为.‎ ‎（i）求乙投球的命中率；‎ ‎（ii）若甲投球1次，乙投球2次，两人共命中的次数记为，求的分布列和数学期望.‎ 附：，其中，‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎【答案】（1）有99%的把握认为是否会收看该国际篮联篮球世界杯赛事与性别有关；（2）（i）；（ii）分布列见解析，‎ - 22 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由数据求得,进而与6.635比较大小即可；‎ ‎（2）（i）根据二项分布的概率公式求解即可；‎ ‎（ii）可取0,1,2,3,利用二项分布及独立事件的概率公式求得概率,即可得到分布列与期望.‎ ‎【详解】（1）由表中数据可得的观测值,‎ 所以有99%的把握认为是否会收看该国际篮联篮球世界杯赛事与性别有关.‎ ‎（2）（i）（乙投球3次均未命中）,,解得.‎ ‎（ii）可取0,1,2,3,‎ 则,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎∴的分布列为:‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎∴.‎ - 22 -‎ ‎【点睛】本题考查独立性检验解决实际问题,考查独立重复试验的概率,考查离散型随机变量的分布列及期望,考查数据分析能力.‎ ‎19.如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面平面，为的中点，，，.‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）若异面直线与所成角为，求的长；‎ ‎（3）在（2）的条件下，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）若要证明平面平面,可先证明平面,由面面垂直的性质可得,即证明即可,进而求证；‎ ‎（2）以为原点,为轴,为轴,为轴,建立空间直角坐标系,设,分别求得与,进而利用数量积求解即可；‎ ‎（3）由（2）,分别求得平面与平面的法向量,进而利用数量积求解.‎ ‎【详解】（1）∵,,为的中点,‎ ‎∴四边形为平行四边形,∴,‎ ‎∵,∴,∴,‎ 又∵平面底面,且平面平面,‎ ‎∴平面,‎ ‎∵平面,∴平面平面.‎ - 22 -‎ ‎（2）∵,为的中点,∴,‎ ‎∵平面底面,且平面平面,∴底面,‎ 以为原点,为轴,为轴,为轴,建立空间直角坐标系,如图所示,‎ 设,则,,,,,‎ ‎∴,,设异面直线与所成角为,‎ ‎∵异面直线与所成角为,‎ ‎∴,解得,‎ ‎∴在中,.‎ ‎（3）由（2）平面的法向量,,,,‎ 设平面的法向量,‎ 则,取,得,‎ 设平面与平面所成锐二面角为,则,‎ ‎∴平面与平面所成锐二面角的余弦值为.‎ ‎【点睛】本题考查面面垂直的证明,考查已知异面直线成角求参数,考查空间向量法求二面角,考查运算能力.‎ - 22 -‎ ‎20.已知椭圆：（）的左右焦点分别为，，若椭圆上一点满足，且椭圆过点，过点的直线与椭圆交于两点.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）过点作轴的垂线，交椭圆于，求证：，，三点共线.‎ ‎【答案】（1）（2）见解析 ‎【解析】‎ 试题分析：‎ ‎（1）由椭圆定义可得，再把点的坐标代入可求得，得椭圆方程；‎ ‎（2）由于的坐标为，因此我们可以求出直线的方程，再证明点在此直线上即可．为此设设的方程为，点，，，联立直线方程与椭圆方程，消元后得一元二次方程，用韦达定理得，写出直线方程，并把代入得直线方程，令，求出，利用可得结果，结论得证．‎ 试题解析：‎ ‎（1）依题意，，故.‎ 将代入中，解得，故椭圆：.‎ ‎（2）由题知直线的斜率必存在，设的方程为.‎ 点，，，联立得 即，，，‎ - 22 -‎ 由题可得直线方程为，‎ 又∵，.‎ ‎∴直线方程为，‎ 令，整理得 ‎ ‎，即直线过点.‎ 又∵椭圆的左焦点坐标为，∴三点，，在同一直线上.‎ 点睛：“设而不求”是解题过程中根据需要设邮变量，但并不直接求出其具体值，而是利用某种关系（如和、差、积）来表示变量之间的联系，在解决圆锥曲线的有关问题时能够达到种“化难为易、化繁为简”的效果，在直线与圆锥曲线的位置关系问题中，步骤一般如下：‎ ‎（1）设直线方程与椭圆为的两个交点坐标为；‎ ‎（2）联立直线与椭圆的方程组成方程组，消元得一元二次方程；‎ ‎（3）利用韦达定理得，，然后再求弦长以及面积，或求其他量（如本题向量的数量积）．‎ ‎21.已知函数．‎ ‎(1)求函数的极值；‎ ‎(2)若是方程两个不同的实数根,求证:．‎ ‎【答案】（1）有极小值，无极大值.（2）见解析 ‎【解析】‎ - 22 -‎ 试题分析：（1）先求函数导数，再求导函数在定义区间上零点，列表分析导函数符号变化规律，确定函数极值，（2）先根据零点得，再代入化简不等式为，构造函数，其中.最后根据导数确定函数单调性，根据单调性证不等式.‎ 试题解析：（1）依题意， ‎ 故当时， ，当时， ‎ 故当时，函数有极小值，无极大值.‎ ‎（2）因为， 是方程的两个不同的实数根.‎ ‎∴两式相减得，解得 要证： ，即证： ，即证： ，‎ 即证，‎ 不妨设，令.只需证.‎ 设，∴；‎ 令，∴，∴在上单调递减，‎ ‎∴ ，∴，∴在为减函数，∴.‎ 即在恒成立，∴原不等式成立，即.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ - 22 -‎ ‎22.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数，为直线的倾斜角）.以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，并在两个坐标系下取相同的长度单位.‎ ‎（1）当时，求直线的极坐标方程；‎ ‎（2）若曲线和直线交于，两点，且，求直线的倾斜角.‎ ‎【答案】（1）；（2）或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将代入直线的参数方程后，消去参数，可得直线的一般方程，再根据极坐标与直角坐标的互化公式，即可求出其极坐标方程；‎ ‎（2）先将曲线的参数方程化为普通方程，再将直线的参数方程代入，利用参数的几何意义以及弦长公式即可表示出，即可解出直线的倾斜角．‎ ‎【详解】（1）由得，则其极坐标方程，‎ 即.‎ ‎（2）由得.‎ 将代入圆的方程中，‎ 得，‎ 化简得，.‎ - 22 -‎ 设，两点对应的参数分别为、，则，，‎ ‎∴.‎ ‎∴，故，解得或.‎ 则直线的倾斜角为或.‎ ‎【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程之间的互化，参数方程与极坐标方程之间的互化，直线参数方程中的几何意义以及弦长公式的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．‎ ‎23.已知f(x)＝|2x＋4|＋|x－3|.‎ ‎(1)解关于x的不等式f(x)<8；‎ ‎(2)对于正实数a，b，函数g(x)＝f(x)－3a－4b只有一个零点，求的最小值. ‎ ‎【答案】（1）(－3，1)；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将函数解析式化成分段函数，用分类讨论的方法解不等式.‎ ‎（2）作出函数的大致图象，的零点，转化为函数与的交点，由图可知，然后利用基本不等式求的最小值.‎ ‎【详解】解：（1）由题意可得,‎ 故当时，不等式可化为，解得，故此时不等式的解集为；‎ 当时，不等式可化为，解得，故此时不等式的解集为；‎ 当时，不等式可化为，解得，此时不等式无解,‎ 综上，不等式的解集为.‎ ‎(2)作出函数的大致图象及直线，如图.‎ - 22 -‎ 由图可知，当只有一个零点时，，‎ 即，‎ 故 ‎,‎ 当且仅当时等号成立．‎ 的最小值为.‎ ‎【点睛】本题考查绝对值不等式的解法与基本不等式的应用，属于基础题.‎ - 22 -‎ - 22 -‎