江苏省南通市如东县2021届高三数学上学期期中试题（Word版附答案）
江苏省南通市如东县 2021 届高三期中调研考试
数 学
注意事项:
1. 本试卷共 150 分,考试时间 120 分钟.
2. 答题前,考生务必将自己的学校、班级、姓名写在密封线内.
一、 单项选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一
项是符合题目要求的.
1. 已知集合 A={1,2,m2},B={1,m}.若 B⊆A,则 m 等于 ( )
A. 0 B. 2 C. 0 或 2 D. 1 或 2
2. 设 x∈R,则“log2(x-2)<1”是“x>2”的( )条件 ( )
A. 充分不必要 B. 必要不充分
C. 充要 D. 既不充分也不必要
3. 已知 cos(75°+α)=1
4,则 cos(30°-2α)等于 ( )
A. 34 B. 54 C. 58 D. 78
4. 把与直线 l 垂直的向量称为直线 l 的法向量.设 e=(A,B)是直线 l 的一个方向向量,那么
n=(-B,A)就是直线 l 的一个法向量.借助直线的法向量,我们可以方便地计算点到直线的距离.
已知 P 是直线 l 外一点,n 是直线 l 的一个法向量,在直线 l 上任取一点 Q,那么 么 在法向量 n
上的投影向量为(| 么 |cosθ)· | |(θ为向量 n 与 么 的夹角),其模就是点 P 到直线 l 的距离 d,即
d=| 么 · |
| | .据此,请解决下面的问题:已知点 A(-4,0),B(2,-1),C(-1,3),则点 A 到直线 BC 的距离是
( )
A. 215 B. 7 C. 275 D. 8
5. 在梯形 ABCD 中,AB∥CD,CD=2,∠BAD=π
3,若 · =2 · ,则 · 等于 ( )
A. 12 B. 16 C. 20 D. 24
6. 已知函数 f(x)=mx2-(3-m)x+1,g(x)=mx,若对于任意实数 x,f(x)与 g(x)的值至少有一个为
正数,则实数 m 的取值范围是 ( )
A. (1,9) B. (3,+∞) C. (-∞,9) D. (0,9)
7. 设点 M(x0,1),若在圆 O:x2+y2=1 上存在点 N,使得∠OMN=45°,则 x0 的取值范围是
( )
A. [0,1] B. [-1,1] C. - 2
2 , 2
2 D. 0, 2
2
8. 若 f(x)是定义域为(0,+∞)的单调函数,对任意的 x∈(0,+∞),都有 f(f(x)+log1
3
x)=4,且方程
|f(x)-3|=a 在区间(0,3]上有两解,则实数 a 的取值范围是( )
A. {a|0
0,0<φ<π)的部分图象如图中实线所示,若圆 C 与 f(x)的图象
交于 M,N 两点,且 M 在 y 轴上,则下列说法中正确的是 ( )
A. 函数 f(x)在 - 3π2 ,-π 上单调递增
B. 函数 f(x)的图象关于点 - 2π3 ,0 成中心对称
C. 函数 f(x)的图象向右平移5π
12个单位长度后关于直线 x=5π
6 成轴对称
D. 若圆的半径为5π
12,则函数 f(x)的解析式为 f(x)= 3π
6 sin 2 + π
3
(第 11 题)
11. 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,平面 PAD⊥底面 ABCD,△PAD 是等边三角形,底面 ABCD 是
菱形,且∠BAD=60°,M 为棱 PD 的中点,N 为菱形 ABCD 的中心,下列结论中正确的是
( )
A. 直线 PB 与平面 AMC 平行
B. 直线 PB 与直线 AD 垂直
C. 线段 AM 与线段 CM 长度相等
D. PB 与 AM 所成角的余弦值为 2
4
12. 已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x>0 时,f(x)= -1
e ,则下列结论中正确的是
( )
A. 当 x<0 时,f(x)=-ex(x+1)
B. 函数 f(x)在 R 上有且仅有三个零点
C. 若关于 x 的方程 f(x)=m 有解,则实数 m 的取值范围是{m|f(-2)≤m≤f(2)}
D. ∀x1,x2∈R,|f(x2)-f(x1)|<2
三、 填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.
13. 曲线 y=(x+sinx)ex 在点(0,0)处的切线方程为 .
14. 若定义在(0,+∞)上的函数 f(x)满足 f(x)>0,f'(x)为 f(x)的导函数,且 2f(x)0,b>0)相交于不同的两点 A,B,F 为双曲线 C 的左
焦点,且满足|AF|=3|BF|,|OA|=b(O 为坐标原点),则双曲线 C 的离心率为 .
(第 16 题)
16. 如图,在边长为 2 的菱形 ABCD 中,若∠BCD=60°,现将△ABD 沿对角线 BD 折起,得到三
棱锥 P-BCD,则当二面角 P-BD-C 的大小为2π
3 时,三棱锥 P-BCD 的外接球的表面积
为 .
四、 解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤.
17. (本小题满分 10 分)在①a=2,②B=π
4,③c= 3b 这三个条件中任选两个,补充在下面的问
题中,并解决该问题.
在△ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 的对边,且满足(b-a)(sinB+sinA)=c( 3sinB-sinC).
(1) 求角 A 的大小;
(2) 已知 , ,若△ABC 存在,求△ABC 的面积;若△ABC 不存在,请说明理由.
18. (本小题满分 12 分)已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn(n∈N*),-2S2,S3,4S4 成等差数列,
且 a2+2a3+a4= 1
16.
(1) 求数列{an}的通项公式;
(2) 若 bn=-(n+2)log2|an|,求数列 1
的前 n 项和 Tn.
19. (本小题满分 12 分)如图,已知四棱锥 P-ABCD,底面 ABCD 为菱形,PD=PB,H 为 PC 上的
点,过 AH 的平面分别交 PB,PD 于点 M,N,且 BD∥平面 AMHN.
(1) 求证:MN⊥PC;
(2) 当 H 为 PC 的中点,PA=PC= 3AB,PA 与平面 ABCD 所成的角为 60°,求二面角 P-AM-
N 的余弦值.
(第 19 题)
20. (本小题满分 12 分)如图,“伦敦眼”坐落在伦敦泰晤士河畔,是世界上首座观景摩天轮,
又称“千禧之轮”,该摩天轮的半径为 60 m,游客乘坐舱 P 升到半空可鸟瞰伦敦建筑 BC,伦
敦眼与建筑之间的距离 AB 为 120 m,游客在乘坐舱 P 看建筑 BC 时的视角为θ.
(1) 当乘客在伦敦眼的最高点 D 时视角θ=30°,求建筑 BC 的高度;
(2) 当游客在乘坐舱 P 看建筑 BC 的视角θ为 45°时,拍摄效果最好.若在伦敦眼上可以拍摄到
效果最好的照片,求建筑 BC 的最低高度.
(说明:为了便于计算,数据与实际距离有误差,伦敦眼的实际高度为 135 m)
(第 20 题)
21. (本小题满分 12 分)如图,已知抛物线 x2=4y,F 为其焦点,椭圆 2
2+
2
2=1(a>b>0),F1,F2 为其
左、右焦点,离心率 e=1
2,过 F 作 x 轴的平行线交椭圆于 P,Q 两点,|PQ|=4 6
3 .
(1) 求椭圆的标准方程;
(2) 过抛物线上一点 A 作切线 l 交椭圆于 B,C 两点,设 l 与 x 轴的交点为 D,BC 的中点为 E,BC
的中垂线交 x 轴于点 K,△KED,△FOD 的面积分别记为 S1,S2,若 1
2
=18
49,且点 A 在第一象限,求点
A 的坐标.
(第 21 题)
22. (本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=x2-2xlnx,g(x)=x+
-(lnx)2,其中 a∈R,x0 是 g(x)的一个
极值点,且 g(x0)=2.
(1) 讨论函数 f(x)的单调性;
(2) 求实数 x0 和 a 的值;
(3) 求证: ∑
=1
1
4 2-1
> 1
2 ln(2 + 1)( ∈N*).
2021 届高三期中学情检测
数学参考答案
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。
1~8CADACDBA 9．ABD 10．BD 11．ABD 12．BD
三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13． 2y x 14．
8 4
27 9
， 15． 3 16．
28
3
四、解答题：本大题共 6 小题，满分 70 分．
17. （本小题满分 10 分）
（1）因为 sin sin 3 sin sinb a B A c B C ，
又由正弦定理
sin sin sin
a b c
A B C
，得
3b a b a c b c ， ………………2 分
即 2 2 2 3b c a bc ，所以
2 2 2 3 3cos
2 2 2
b c bcA
bc bc
a
，因为
0 A ，
所以
6
A
. ………………4 分
（2）方案一：选条件①和②.
由正弦定理
sin sin
a b
A B
，得2sin sin 2 2
sin 4sin
6
ab B
A
. ………………6 分7
6 4 12
C A B .
7 2 2 3 2 6sin sin
12 4 3 2 2 2 2 4
所以 ABC 的面积
1 1 2 6sin 2 2 2 3 1
2 2 4
S ab C
. ………………10 分
方案二：选条件①和③.
由余弦定理 2 2 2 2 cosa b c bc A ，得 2 2 24 3 3b b b ，
则 2 4b ，所以 2b .
所以 3 2 3c b ，
所以 ABC 的面积
1 1 1sin 2 2 3 3
2 2 2
S bc A . ………………
10 分
方案三：选条件②和③，这样的三角形不存在，理由如下：
在三角形中，因为 3c b由正弦定理得
2 6sin 3 sin 3 sin 3 1
4 2 2
C B
，不成立，
所以这样的三角形不存在. ………………10 分
18.（1）设等比数列{ }na 的公比为q，
由 2 3 42 4, ,S S S 成等差数列知， 423 422 SSS ，
所以 4 32a a ，即
1
2
q . ………………2 分
又 2 3 4
12
16
a a a ，所以 2 3
1 1 1
12
16
a q a q a q ，所以
1
1
2
a ， ………………4 分
所以等差数列{ }na 的通项公式
1
2
n
na
. ………………6 分
（2）由（1）知
1( )
2
2( 2) log ( 2)
n
nb n n n
所以
1 1 1 1 1
( 2) 2 2nb n n n n
………………8 分
所以数列
1
nb
的前 n 项和：1 1 1 1 1 1 1 1 1 11
2 2 4 5 1 1 23 3nT n n n n
1 1 1 11
2 2 1 2n n
3 2 3
4 2( 1)( 2)
n
n n
所以数列
1
nb
的前 n项和
3 2 3
4 2( 1)( 2)n
nT
n n
………………
12 分
19．（1）证明：连结 AC 交 BD于点O，连结 PO．因为 ABCD为菱形，所以
BD AC ，且O为 AC 、
BD的中点，因为 PD PB ，所以 PO BD ，
因为 AC PO O 且 AC PO、 平面 PAC，
所以 BD 平面PAC，
因为 PC 平面PAC，所以 BD PC ．
因为 / /BD 平面 AMHN ， BD 平面 PBD，
且平面 AMHN平面 PBD MN ，
所以 / /BD MN，所以MN PC ． ………………4 分
（2）由（1）知 BD AC 且 PO BD ，因为 PA PC ，且O为
AC
的中点，
所以 PO AC ，所以 PO 平面 ABCD，所以 PA与
平面 ABCD所成的角为 PAO ，
所以 1 3,
2 2
AO PA PO PA ，因为 3PA AB ，所以 3
6
BO PA ．
分别以OA
， OB
， OP
为 , ,x y z轴，建立如图所示空间直角坐标系，设
2PA ，则
3 3 1 30,0,0 , 1,0,0 , 0, ,0 , 1,0,0 , 0, ,0 , 0,0, 3 , ,0,
3 3 2 2
O A B C D P H
所以 2 3 3 3 30, ,0 , ,0, , 1, ,0 , 1,0, 3
3 2 2 3
DB AH AB AP
．
记平面 AMHN 的法向量为 1 1 1 1, ,n x y z
，则
1 1
1 1 1
2 3 0
3
3 3 0
2 2
n DB y
n AH x z
，
令 1 0x ，则 1 10, 3y z ，所以 1 1,0, 3n
， ………………8
分
记平面 PAB的法向量为 2 2 2 2, ,n x y z
，则 2 2 2
2 2 2
3 0
3
3 0
n AB x y
n AP x z
，
令 2 1x ，则 2 2
33,
3
y z ，所以 2
31, 3,
3
n
， ………………
10 分
记二面角 P AM N 的大小为 ，则
1 2
1 2
1 2
39cos cos< ,
13
n nn n
n n
．
所以二面角 P AM N 的余弦值为 39
13
． ………………12 分
20．（1）当乘坐舱 P 在伦敦眼的最高点D时， 30BDC ，此时 120AD AB ，即
45ABD ，所以 105BCD .在等腰三角形 ABD中， 120 2BD .
由正弦定理得
sin105 sin 30
BD BC
， ………………3 分
所以
120 2 120 3 120
6 22
4
BC
.
所以建筑 BC 的高度为120 3 120 米.………………5 分
（2）设建筑 BC 的高度为 h，
建立如图所示的直角坐标系，圆 2 2: ( 60) 3600M x y ，
在 PBC 中，由正弦定理可知 2
sin 45
h R
，
所以 2
2
R h ，其中 R 是 PBC 外接圆的半径
即 PBC 的外接圆的半径为
2
2
R h . ………………7 分
由图可知 PBC 的外接圆的圆心坐标为 120 ,
2 2
h h
，
所以点 P 在圆
2 2 2
: 120 , 120
2 2 2
h h hN x y x
上， ………………9 分
而点 P 又在圆 2 2: ( 60) 3600M x y 上，
所以
2 22 260 120 60 60
2 2 2 2
h hh h
，
解得 240(3 2) 240(3 2)
7 7
h
.
答：建筑 BC 的最低高度为
240(3 2)
7
时，可以拍摄到效果最好的照
片. ………………12 分
21．解：（1）不妨设 P 在第一象限，
由题可知
2 6 ,1
3
P
，
2 2
8 1 1
3a b
， ………………2 分
又
1
2
e ，将 ca 2 代入上式得： 2 2
8 1 1
12 3c c
，
可得 1c ，从而得 a=2, 3222 cab
椭圆的方程为2 2
1
4 3
x y
. ………………4 分
（2）设
2
0
0 , 4
xA x
则切线 l的方程为
2
0 0
2 4
x xy x
代入椭圆方程得：
4
2 2 3 0
0 03 12 0
4
xx x x x ，
设 1 1 2 2 3 3, , , , ,B x y C x y E x y ，
则
3
01 2
3 2
02 2 3
xx xx
x
，
2 2
0 0 0
3 3 2
0
3
2 4 4 3
x x xy x
x
，
KE 的方程为
2 3
0 0
2 2
00 0
3 2
4 3 2 3
x xy x
xx x
，
即
2
0
2
0 0
2
4 3
xy x
x x
，
令 0y 得
3
0
2
08 3K
xx
x
，
在直线 l方程中令 0y 得 0
2D
xx ，2 2
2 0 041
2 4
x xFD
………………6 分
23
0 00 0
2 2
0 0
3 4
2 8 3 8 3
x xx xDK
x x
，
0
0
2 ,
2FD BC
xk k
x
， ………………8 分
1FD BCk k ， FD BC ，
DEK FOD ∽ ，
2 22
0 01
22 2
2 0
9 4 18
4916 3
x xS DK
S FD x
. ………………10 分
化简得 2 2
0 017 72 4 0x x ，
0 2x （ 0 2x 舍去） A 的坐标为 2,1 .
4
2 2 3 0
0 03 12 0
4
xx x x x ，
4
6 2 4 20
0 0 0 04 3 12 3 48 144 0
4
xx x x x
，
因为 2
00 8 4 7x ，故此解符合题
意． ………………12 分
22. （1）函数 f x 的定义域为 0, ，且 2 2 ln 2f x x x ，令 h x f x ，
则有 2 1x
h x
x
，由 0h x 可得 1x ，如下表：
所以 1 0h x h ，即 0f x ， f x 在 0, 上单调递
增； ………………2 分
（2）函 数 g x 的定义域为 0, ，且 2
2ln1 a xg x
x x
由已知，得 0 0g x ，即 2
0 0 02 ln 0x x x a ①
由 0 2g x 可得 22
0 0 0 0ln 2 0x x x x a ②
联立①②消去 a 可得 20 0 02 ln 2 ln 2 0x x x ③
令 22 ln 2ln 2t x x x x ，则 2 ln 12ln 22
x xxt x
x x x
由①知 ln 1 0x x ，故 0t x ，所以 t x 在 0, 上单调递增
x 0,1 1 1,
h x 0
h x 减 极小值 增
1 0t ，所以方程③有唯一解 0 1x ，代入①，可得 1a . ………………6
分
（3）由（1）知 2 2 lnf x x x x 在 0, 上单调递增，
故当 1,x ， 1 1f x f ，所以
2 2
11 2ln1 0
f xxg x
x x x
，
可得 g x 在 1, 上单调递增。当 1x 时， 1 2g x g ，即
21 ln 2x x
x
亦即
2
21 lnx x
x
，这时
1 0x
x
， ln 0x ，故得
1 lnx x
x
取
2 1
2 1
kx
k
， *kN ，可得 2 1 2 1 ln 2 1 ln 2 1
2 1 2 1
k k k k
k k
而
2
2 1 2 1 2
2 1 2 1 4 1
k k
k k k
故
2
1 1
2 ln 2 1 ln 2 1 ln 2 1
4 1
n n
k k
k k n
k
所以
2
1
1 1 ln 2 1
24 1
n
k
n
k
. ………………12 分