【数学】河北省石家庄二中2019-2020学年高一下学期期中考试试题 （解析版）

【数学】河北省石家庄二中2019-2020学年高一下学期期中考试试题 （解析版）

河北省石家庄二中2019-2020学年高一下学期期中考试 数学试题 一、选择题 ‎1.若a，b，c为实数，且a＜b＜0，则下列命题中正确的是（ ）‎ A. ac2＜bc2 B. a2＞ab＞b2‎ C. ＜ D. ＞‎ ‎【答案】B ‎【解析】A选项，若，则，故不正确；‎ B选项，，，且，，故正确；‎ C选项，，，，故错误；‎ D选项，，，，故错误；‎ 故选B．‎ ‎2.设为等差数列的前项和.若，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】，，‎ ‎，解得：，‎ ‎，‎ 故选：A.‎ ‎3.如图，四棱锥的底面为正方形，，则下列结论中不正确的是（ ）‎ A. B. ‎ C. 平面平面 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】，在平面的射影与垂直，则，‎ A正确；‎ 在平面的射影与垂直，则，B正确；‎ 利用上述垂直可得平面，从而有平面平面，C正确；‎ 若，则垂直在平面内的射影，这是不可能的，D错误．‎ 故选：D．‎ ‎4.若函数当且仅当时取得最小值，则实数的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】，等号成立当且仅当，‎ ‎，解得：，‎ 故选：C.‎ ‎5.在正方体中，分别为，的中点，则异面直线所成角的余弦值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】如图所示，取的中点，连接，‎ ‎，为异面直线所成的角，‎ ‎，‎ 故选：D.‎ ‎6.在中， ，则的形状为（ ）‎ A. 正三角形 B. 直角三角形 C. 等腰或直角三角形 D. 等腰直角三角形 ‎【答案】B ‎【解析】因为,，所以，有．‎ 整理得，故, 的形状为直角三角形．‎ 故选：B．‎ ‎7.一直三棱柱的每条棱长都是，且每个顶点都在球的表面上，则球的表面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】如图所示的直三棱柱，为三角形的中心，为三角形的中心，‎ 连结，则三棱柱外接球的球心为的中点，‎ ‎，‎ ‎，‎ 故选：C.‎ ‎8.已知数列是首项为，公比为的等比数列，则等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意得：，‎ 当时，，‎ 当时，，‎ 当时，，‎ 等于，‎ 故选：A.‎ ‎9.的三个内角所对的边分别为，已知，，求的取值范围（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】，‎ ‎，‎ ‎，，‎ ‎，‎ 故选：C.‎ ‎10.已知数列的前项和为，，若存在两项，，使得，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】，，‎ 两式相减得：，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，，‎ 且，或或或 当时，，‎ 当时，，‎ 当时，，‎ 当时，，‎ 的最小值为，‎ 故选：A.‎ 二、多选题 ‎11.设等差数列的前项和为，公差为，且满足，，则对描述正确的有（ ）‎ A. 是唯一最小值 B. 是最小值 C. D. 是最大值 ‎【答案】CD ‎【解析】，，‎ 设，则点在抛物线上，‎ 抛物线的开口向下，对称轴为，‎ 且为的最大值，‎ ‎，‎ ‎，‎ 故选：CD.‎ ‎12.在中，D在线段上，且若，则（ ）‎ A. B. 的面积为8‎ C. 的周长为 D. 为钝角三角形 ‎【答案】BCD ‎【解析】因为,所以,故A错误；‎ 设,则,在中,,解得,所以,‎ 所以,故B正确；‎ 因为,所以,‎ 在中,,解得,‎ 所以,故C正确；‎ 因为为最大边,所以,即为钝角,所以为钝角三角形,故D正确.‎ 故选:BCD 二、填空题 ‎13.已知数列满足，，则通项______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，，且，‎ 是以1为首项，3为公差的等差数列，，‎ ‎，故答案为：.‎ ‎14.函数，则不等式的解集为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】原不等式或，‎ 解得：或，‎ 原不等式的解集为，‎ 故答案为：.‎ ‎15.在中，边所对的角分别为.的面积满足，若，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，，‎ ‎，‎ ‎，，‎ ‎，‎ 故答案为：.‎ ‎16.对于数列，定义为的“优值”，现已知某数列的“优值”，记数列的前项和为，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，且，‎ ‎，‎ ‎，‎ 两式相减得：，‎ 当时，也符合上式，‎ ‎，‎ ‎，‎ 故答案为：.‎ 三、解答题 ‎17.已知a，b，c分别是的内角A，B，C的对边，且.‎ ‎(1)求.‎ ‎(2)若，，求的面积.‎ 解：（1）∵，‎ ‎∴.‎ 由正弦定理得 ‎，‎ ‎∴.‎ ‎（2）由（1）可得，‎ ‎∵且为三角形的内角，∴，‎ 由余弦定理，可得，‎ ‎∴，‎ 解得或(舍去)，‎ ‎∴.‎ ‎18.已知等差数列中，，且依次成等比数列.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，数列的前项和为，若，求的值.‎ 解：（1）设数列的公差为，‎ 因为，所以，解得，‎ 因为依次成等比数列，所以，‎ 即，解得，‎ 所以；‎ ‎（2）由（1）知，‎ 所以，‎ 所以，‎ 由，‎ 得.‎ ‎19.如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，∥，平面，，.‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）求点到平面的距离.‎ 解：（1）证明：由已知得，，‎ ‎，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∵平面，平面，∴，‎ ‎∵，∴平面，‎ ‎∵平面，∴平面平面.‎ ‎（2）解：由（1）得平面，∴，‎ ‎，，‎ 设点到平面的距离为，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 解得，‎ ‎∴点到平面的距离为.‎ ‎20.法国数学家费马被称为业余数学之王，很多数学定理以他的名字命名.对而言，若其内部的点P满足，则称P为的费马点.如图所示，在中，已知，设P为的费马点，且满足，.‎ ‎（1）求的面积；‎ ‎（2）求PB的长度.‎ 解：（1）由已知，所以.‎ 在中，，故.‎ 所以的面积.‎ ‎（2）在中，由正弦定理（*）‎ 而，‎ 代入（*）式得.‎ ‎21.等差数列的公差为2, 分别等于等比数列的第2项，第3项，第4项.‎ ‎（1）求数列和的通项公式；‎ ‎（2）若数列满足,求数列的前2020项的和．‎ 解：(1)依题意得: ，‎ 所以 ，‎ 所以 解得 ‎ 设等比数列的公比为，所以 ‎ 又 ‎(2)由（1）知，‎ 因为 ①‎ 当时 ②‎ 由①②得，，即，‎ 又当时，不满足上式，‎ ‎ .‎ 数列的前2020项的和 ‎ ‎ 设 ③，‎ 则 ④，‎ 由③④得：‎ ‎ ，‎ 所以，‎ 所以.‎ ‎22.如图，在三棱锥中，，在底面上的射影在上，于.‎ ‎（1）求证：∥平面；‎ ‎（2）若，求直线与平面所成角的余弦值.‎ 解：（1）证明：因为，所以分别是的中点，‎ 所以，从而平面 ‎（2）解：在中过作的垂线，垂足，‎ ‎，‎ 平面，平面，‎ 平面平面，平面平面，平面，‎ ‎，平面，‎ 即所求线面角，‎ 由是的中点，得 设，，则，，‎ ‎，，‎ 所以所求线面角的正弦值为，所以余弦值为.‎