2019届二轮复习第5招三维立几空间立，平行垂直总相宜学案（江苏专用）

2019届二轮复习第5招三维立几空间立，平行垂直总相宜学案（江苏专用）

三维立几空间立，平行垂直总相宜 一、平行与垂直的相关定理及关系图：‎ ‎1.平行相关的定理：‎ 线线平行 线面平行 ‎③‎ ‎④‎ ‎①‎ ‎②‎ ‎⑤‎ 面面平行 ‎①由线面平行线线平行 ‎②由线线平行线面平行 ‎③由线面平行面面平行 ‎④由面面平行线面平行 ‎⑤由面面平行线线平行 注意：由线线平行不可以直接推出面面平行，必须要经过线面平行，才可以得到面面平行.‎ ‎④‎ ‎③‎ ‎②‎ ‎①‎ 面面垂直 线线垂直 线面垂直 ‎2.垂直的相关定理：‎ ‎①由线线垂直线面垂直 ‎②由线面垂直线线垂直 ‎③由线面垂直面面垂直 ‎④由面面垂直线面垂直 ‎3.平行与垂直相结合的定理 ‎①垂直于同一平面的直线和平面互相平行 ‎②垂直于同一平面的两条之间平行 ‎③垂直于同一直线的两个平面平行 ‎④两平面平行，一条直线垂直于其中一个平面，则垂直于另一个平面 ‎⑤两条直线平行，其中一条直线垂直于一个平面，则另一条直线也垂直于这个平面 ‎⑥一条直线和一个平面平行，和另一个平面垂直，则这两个平面垂直 二、平行与垂直性质和判定的应用 立体几何部分的公理、定理和推论相对较多，互相之间有着非常密切的联系，需要学生在分析题目的时候能熟练运用，通过他们之间的关系，对题目能正向、逆向的分析，从而选择准确的定理进行每一步的证明，下面我们将利用几个例题对上述这些定理进行梳理，找出题目的关键点，学会对题目的分析.‎ 命题点1　直线与平面平行的性质和判定 线面平行的性质和判定，在近十年的高考当中有八年进行了考查，是一个考查频次相当高的考点，主要是立体几何大题的第一问，难度不大，但需要快速、准确的找到解题思路进行解题，并在答题的规范上要严格要求，做到快、准、全的完成题目.‎ 我们通过两个例题来分别来看下直线与平面平行的判定和性质的分析技巧，以及答题时的注意点.‎ 例1　如图，四棱锥中，，，，，分别为线段，，的中点，与交于点，是线段上一点．‎ ‎(1)求证：平面；‎ ‎(2)求证：平面.‎ 证明　(1)如图，连结，‎ ‎，，‎ ‎，四边形是平行四边形，‎ 为的中点．又是的中点，，‎ 平面，平面，平面.‎ ‎(2)连结，，‎ ‎，分别是，的中点，，‎ 平面，平面平面.‎ 又是的中点，是的中点，，‎ 平面，平面平面.‎ 又平面，平面,，平面平面.‎ 又平面，平面.‎ ‎【名师点拨】判断或证明线面平行的常用方法：‎ ‎（1）利用线面平行的定义（无公共点）；‎ ‎（2）利用线面平行的判定定理（，，）；‎ ‎（3）利用面面平行的性质定理（，）；‎ ‎（4）利用面面平行的性质（，，）．‎ 其中（2）中线线平行，多用到平面几何中的一些证明来得到，如：平行四边形对边平行，中位线，平行线截线段成比例的逆用等等.‎ 在分析题目的时候可以用尺子将所要证明的线面平行中的线平移到面内，即在面内先找到所需要的线，再证明线线平行，由后向前的推导，分析起来会相对简单一些.‎ 例2 如图所示，在三棱柱中，若，分别为，的中点，求证：平面平面.‎ 证明:如图所示，连结交于点，‎ 四边形是平行四边形，‎ 是的中点，连结，‎ 为的中点，.‎ 平面，平面，‎ 平面.‎ 又由三棱柱的性质知，，‎ 四边形为平行四边形，‎ ‎.又平面，平面，‎ 平面，‎ 又，平面，平面，‎ 平面平面.‎ ‎【名师点拨】面面平行是在线面平行的基础之上的更进一步，考试中也经常会涉及，部分学生会通过“两个平面内分别有两组直线互相平行则两个平面平行”即“由线线平行面面平行”这个定理在苏教版的课本里没有提供，因此在证明时不能直接使用该定理，必须是“线线平行线面平行面面平行”.‎ 命题点2　直线与平面垂直的性质和判定 在近十年的江苏高考中，立体几何大题的第二问多以考查线面垂直和面面垂直为主，根据前面的垂直关系图可以看出，线面垂直在关系图的中间，起到一个关键的中转的作用，面面垂直只能通过线面垂直来证明，因此线面垂直是整个垂直关系的关键部分，只有熟练掌握了线面垂直的性质和判定，才能快速、准确、完整的做出题目，得到分数.‎ B A D C F E 例1 如图,四边形为矩形,平面平面, ,为上的一点,且平面. ‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求证：平面.‎ 证明:‎ ‎（1）平面平面,平面 平面平面, , ‎ 平面,‎ 面. ‎ ‎,则. ‎ 又平面,面 ‎. ‎ G B A D C F E ‎,平面,平面 平面, ‎ 平面 ‎（2）设,连接,易知是的中点, ‎ 平面,平面 ‎. ‎ 而,∴是中点 ‎ 在中, , ‎ 平面,平面, ‎ 平面. ‎ G 例2 如图，四棱锥的底面为矩形，，，，分别是，的中点，.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求证：平面平面.‎ 证明: （1）取中点，连结， ，‎ 因为、分别为、的中点，所以，且.‎ 又因为为中点，所以，且， ‎ 所以，.故四边形为平行四边形 ‎ 所以，又平面，平面，‎ 故平面. ‎ ‎（2）设，由及为中点得， ‎ 又因为，，所以，. ‎ 所以，又为公共角，所以. ‎ 所以，即. ‎ 又，平面，平面，， ‎ 所以平面.‎ 又平面，所以平面平面.‎ ‎【名师点拨】（1）线面垂直的性质，常用来证明线线垂直．‎ ‎（2）证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想．‎ ‎（3）证明直线和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性（，)；③面面平行的性质（，）；④面面垂直的性质．‎ 图2‎ 图1‎ ‎（4）证明线面垂直的时候，需要证明直线垂直于平面内的两条相交直线，一般情况下会有一条直线比较容易证明，另一条较难，主要分两种情况，一种是异面垂直，需要再证一次线面垂直，再利用线面垂直的性质得到线线垂直；另一种是共面垂直，菱形、正方形的对角线；等腰、等边三角形中的三线合一、还有几个特殊矩形中的线段关系，如例2中的（2），下面对两种常见的特殊矩形进行讲解.‎ 图1中矩形,,为中点，与交于点，证明：‎ 证明：‎ 法一：在矩形，设，则，‎ 又 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 法二：以为原点，为轴建立平面直角坐标系，如图所示，‎ 由题意，设，则，，，‎ 图1‎ 是重点 ‎ ‎，‎ ‎，即.‎ 图2中矩形,,为上的点，且满足，与交于点，证明：.‎ 本题与图1的题目非常相似，故均可以用图1题目的两种方法来证明，各位可自行尝试，在此不做赘述.‎