【数学】2020届一轮复习苏教版数列的概念与简单表示法学案

【数学】2020届一轮复习苏教版数列的概念与简单表示法学案

考试内容 等级要求 数列的概念 A 等差数列 C 等比数列 C ‎§6.1　数列的概念与简单表示法 考情考向分析　以考查Sn与an的关系为主，简单的递推关系也是考查的热点．本节内容在高考中以填空的形式进行考查，难度为低档．‎ ‎1．数列的定义 按照一定次序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．‎ ‎2．数列的分类 分类原则 类型 满足条件 按项数分类 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限 按项与项间的大小关系分类 递增数列 an＋1__>__an 其中n∈N*‎ 递减数列 an＋1__<__an 常数列 an＋1＝an 摆动数列 从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 ‎3.数列的表示法 数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析式法．‎ ‎4．数列的通项公式 如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．‎ ‎5．an与Sn的关系 若数列{an}的前n项和为Sn，‎ 则an＝ 概念方法微思考 ‎1．数列的项与项数是一个概念吗？‎ 提示　不是，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号．‎ ‎2．数列的通项公式an＝3n＋5与函数y＝3x＋5有何区别与联系？‎ 提示　数列的通项公式an＝3n＋5是特殊的函数，其定义域为N*，而函数y＝3x＋5的定义域是R，an＝3n＋5的图象是离散的点，且排列在y＝3x＋5的图象上．‎ 题组一　思考辨析 ‎1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列．(　×　)‎ ‎(2)所有数列的第n项都能使用公式表达．(　×　)‎ ‎(3)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个．(　√　)‎ ‎(4)1,1,1,1，…不能构成一个数列．(　×　)‎ ‎(5)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列．(　×　)‎ ‎(6)如果数列{an}的前n项和为Sn，则对∀n∈N*，都有an＝Sn－Sn－1.(　×　)‎ 题组二　教材改编 ‎2．[P34习题T2]在数列{an}中，已知a1＝1，an＋1＝4an＋1，则a3＝________.‎ 答案　21‎ 解析　由题意知，a2＝4a1＋1＝5，a3＝4a2＋1＝21.‎ ‎3．[P34习题T7]根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式an＝____________.‎ 答案　5n－4‎ 题组三　易错自纠 ‎4．数列{an}中，an＝－n2＋11n(n∈N*)，则此数列最大项的值是________．‎ 答案　30‎ 解析　an＝－n2＋11n＝－2＋，‎ ‎∵n∈N*，∴当n＝5或n＝6时，an取最大值30.‎ ‎5．已知an＝n2＋λn，且对于任意的n∈N*，数列{an}是递增数列，则实数λ的取值范围是______．‎ 答案　(－3，＋∞)‎ 解析　因为{an}是递增数列，所以对任意的n∈N*，都有an＋1>an，即(n＋1)2＋λ(n＋1)>n2＋λn，‎ 整理，得2n＋1＋λ>0，即λ>－(2n＋1)． (*)‎ 因为n≥1，n∈N*，‎ 所以－(2n＋1)≤－3，要使不等式(*)恒成立，‎ 只需λ>－3.‎ ‎6．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋1，则an＝________.‎ 答案　 解析　当n＝1时，a1＝S1＝2，当n≥2时，‎ an＝Sn－Sn－1＝n2＋1－[(n－1)2＋1]＝2n－1，‎ 又a1＝2不满足an＝2n－1，‎ 故an＝ 题型一　由数列的前几项求数列的通项公式 例1 根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式：‎ ‎(1)，，，，，…；‎ ‎(2)－1,7，－13,19，…；‎ ‎(3)，2，，8，，…；‎ ‎(4)5,55,555,5 555，….‎ 解　(1)这是一个分数数列，其分母可分解为1×3,3×5,5×7,7×9,9×11，…，每一项都是两个相邻奇数的乘积，而分子依次为2,4,6，…，相邻的偶数．故所求数列的一个通项公式为an＝，n∈N*.‎ ‎(2)偶数项为正，奇数项为负，故通项公式必含有因式(－1)n，观察各项的绝对值，后一项的绝对值总比它前一项的绝对值大6，故数列的一个通项公式为 an＝(－1)n(6n－5)，n∈N*.‎ ‎(3)数列的各项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一成分数再观察．即，，， ‎，，…，分子为项数的平方，从而可得数列的一个通项公式为an＝，n∈N*.‎ ‎(4)将原数列改写为×9，×99，×999，…，易知数列9,99,999，…的通项为10n－1，故所求的数列的一个通项公式为an＝(10n－1)，n∈N*.‎ 思维升华 求数列通项时，要抓住以下几个特征：‎ ‎(1)分式中分子、分母的特征．‎ ‎(2)相邻项的变化特征．‎ ‎(3)拆项后变化的部分和不变的部分的特征．‎ ‎(4)各项符号特征等．‎ ‎(5)若关系不明显时，应将部分项作适当的变形，统一成相同的形式．‎ 跟踪训练1 (1)(2018·江苏省海安中学月考)数列，－，，－的一个通项公式为an＝_________.‎ 答案　(－1)n－1· 解析　由已知，－，，－可以得到，－，，－，则有，－，，－，‎ 故数列的一个通项公式为an＝(－1)n－1·.‎ ‎(2)数列{an}的前4项是，1，，，则这个数列的一个通项公式是an＝________.‎ 答案　 解析　数列{an}的前4项可变形为，，，，故an＝.‎ 题型二　由an与Sn的关系求通项公式 例2 (1)已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n，则an＝________.‎ 答案　4n－5‎ 解析　当n＝1时，a1＝S1＝2－3＝－1，‎ 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5，‎ 由于a1也适合此等式，∴an＝4n－5.‎ ‎(2)(2018·全国Ⅰ)记Sn为数列{an}的前n项和．若Sn＝2an＋1，则S6＝________.‎ 答案　－63‎ 解析　∵Sn＝2an＋1，当n≥2时，Sn－1＝2an－1＋1，‎ ‎∴an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1(n≥2)，‎ 即an＝2an－1(n≥2)．‎ 当n＝1时，a1＝S1＝2a1＋1，得a1＝－1.‎ ‎∴数列{an}是首项a1＝－1，公比q＝2的等比数列，‎ ‎∴Sn＝＝＝1－2n，‎ ‎∴S6＝1－26＝－63.‎ ‎(3)已知数列{an}满足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n，则an＝________.‎ 答案　 解析　当n＝1时，由已知，可得a1＝21＝2，‎ ‎∵a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n， ①‎ ‎∴a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝2n－1(n≥2)， ②‎ 由①－②得nan＝2n－2n－1＝2n－1，‎ ‎∴an＝.‎ 显然当n＝1时不满足上式，‎ ‎∴an＝ 思维升华 已知Sn求an的常用方法是利用an＝一定要检验a1的情况．‎ 跟踪训练2 (1)已知数列{an}的前n项和Sn＝3n＋1，则an＝________.‎ 答案　 解析　当n＝1时，a1＝S1＝3＋1＝4；‎ 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋1)－(3n－1＋1)＝2×3n－1.‎ 当n＝1时，2×31－1＝2≠a1，‎ 所以an＝ ‎(2)设数列{an}满足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝，则an＝________.‎ 答案　 解析　因为a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝， ①‎ 则当n≥2时，‎ a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－2an－1＝， ②‎ ‎①－②得3n－1an＝，所以an＝(n≥2)．‎ 由题意知a1＝符合上式，所以an＝.‎ ‎(3)若数列{an}的前n项和Sn＝an＋，则{an}的通项公式是an＝________.‎ 答案　(－2)n－1‎ 解析　当n＝1时，a1＝S1＝a1＋，即a1＝1；‎ 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝an－an－1，‎ 故＝－2，‎ 所以数列{an}是以1为首项，－2为公比的等比数列．‎ 故an＝(－2)n－1.‎ 题型三　数列的性质 命题点1　数列的周期性 例3 在数列{an}中，a1＝0，an＋1＝，则S2 020＝________.‎ 答案　0‎ 解析　∵a1＝0，an＋1＝，‎ ‎∴a2＝＝，a3＝＝＝－，‎ a4＝＝0，‎ 即数列{an}的取值具有周期性，周期为3，‎ 且a1＋a2＋a3＝0，‎ 则S2 020＝S3×673＋1＝a1＝0.‎ 命题点2　数列的单调性和最值 例4 (1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3(m≥2)，则nSn的最小值为________．‎ 答案　－9‎ 解析　由Sm－1＝－2，Sm＝0，‎ Sm＋1＝3(m≥2)可知，am＝2，am＋1＝3，‎ 设等差数列{an}的公差为d，则d＝1，‎ ‎∵Sm＝0，∴a1＝－am＝－2，‎ 则an＝n－3，Sn＝，nSn＝.‎ 设f(x)＝，x>0，f′(x)＝x2－5x，x>0，‎ ‎∴f(x)的极小值点为x＝，‎ ‎∵n∈N*，且f(3)＝－9，f(4)＝－8，‎ ‎∴f(n)min＝－9.‎ ‎(2)(2018·江苏省新海中学质检)已知数列{an}的通项公式为an＝－8n＋9n－3n(其中n∈N*)，若第m项是数列{an}中的最小项，则am＝________.‎ 答案　－ 解析　令n＝t，‎ 由an＝－8n＋9n－3n，‎ 得an＝－8t3＋9t2－3t.‎ 设f(t)＝－8t3＋9t2－3t，‎ 则f′(t)＝－24t2＋18t－3＝－3(2t－1)(4t－1)．‎ ‎∵00，‎ ‎∴f(t)在上单调递减，在上单调递增．‎ ‎∴当t＝，即n＝2时，an最小，‎ ‎∴am＝a2＝－8×2＋9×2－3×2‎ ‎＝－，即am＝－.‎ 思维升华 应用数列单调性的关键是判断单调性，判断数列单调性的常用方法有两个：(1)利用数列对应的函数的单调性判断；(2)对数列的前后项作差(或作商)，利用比较法判断．‎ 跟踪训练3 (1)若数列{an}满足a1＝2，an＋1＝，则a2 020的值为________．‎ 答案　 解析　因为a1＝2，an＋1＝，‎ 所以a2＝＝－3，a3＝＝－，‎ a4＝＝，a5＝＝2，‎ 故数列{an}是以4为周期的周期数列，‎ 故a2 020＝a505×4＝a4＝.‎ ‎(2)若数列{an}的前n项和Sn＝n2－10n(n∈N*)，则数列{nan}中数值最小的项是第________项．‎ 答案　3‎ 解析　∵Sn＝n2－10n，‎ ‎∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－11；‎ 当n＝1时，a1＝S1＝－9也适合上式．‎ ‎∴an＝2n－11(n∈N*)．‎ 记f(n)＝nan＝n(2n－11)＝2n2－11n，‎ 此函数图象的对称轴为直线n＝，但n∈N*，‎ ‎∴当n＝3时，f(n)取最小值．‎ ‎∴数列{nan}中数值最小的项是第3项．‎ ‎1．已知数列，，，，，…，则5是它的第______项．‎ 答案　21‎ 解析　数列，，，，，…中的各项可变形为，，，，，…，‎ 所以通项公式为an＝＝，‎ 令＝5，得n＝21.‎ ‎2．若数列{an}满足a1＝2，a2＝3，an＝(n≥3且n∈N*)，则a2 018＝________.‎ 答案　3‎ 解析　由已知得a3＝＝，a4＝＝，‎ a5＝＝，a6＝＝，a7＝＝2，a8＝＝3，‎ ‎∴数列{an}具有周期性，且T＝6，‎ ‎∴a2 018＝a336×6＋2＝a2＝3.‎ ‎3．(2018·扬州期末)已知Sn是数列{an}的前n项和，且满足Sn＝n2＋n(n∈N*)，则数列{an}的通项公式an＝________.‎ 答案　2n 解析　Sn＝n2＋n(n∈N*)，‎ Sn－1＝(n－1)2＋n－1(n≥2)，‎ 两式作差得到an＝2n(n≥2)，‎ 检验当n＝1时，a1＝2，符合S1＝a1，‎ 故数列{an}的通项公式an＝2n.‎ ‎4．若Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝2an－2，则S8＝________.‎ 答案　510‎ 解析　当n＝1时，a1＝S1＝2a1－2，可得a1＝2，‎ 当n≥2时，Sn＝2an－2，Sn－1＝2an－1－2，‎ 两式作差可得an＝2an－2an－1，则an＝2an－1，‎ 所以数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，‎ 其前8项和为S8＝＝29－2＝512－2＝510.‎ ‎5．(2019·江苏省南京师范大学附属中学模拟)在数列{an}中，a4＝1，a12＝5，且任意连续三项的和都是15，则a2 018＝________.‎ 答案　9‎ 解析　由题意可得an＋an＋1＋an＋2＝15，‎ 将n换为n＋1，得an＋1＋an＋2＋an＋3＝15，‎ 可得an＋3＝an，‎ 可得数列{an}为周期为3的数列，‎ a4＝1，a12＝5，即有a4＝a1＝1，a12＝a3＝5，‎ 由任意连续三项的和都是15，可得a2＝9，‎ 所以a2 018＝a672×3＋2＝a2＝9.‎ ‎6．记Sn为数列{an}的前n项和．“任意正整数n，均有an>0”是“{Sn}是递增数列”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)‎ 答案　充分不必要 解析　∵“an>0”⇒“数列{Sn}是递增数列”，‎ ‎∴“an>0”是“数列{Sn}是递增数列”的充分条件．‎ 如数列{an}为－1,1,3,5,7,9，…，显然数列{Sn}是递增数列，但是an不一定大于零，还有可能小于零，‎ ‎∴“数列{Sn}是递增数列”不能推出“an>0”，‎ ‎∴“an>0”是“数列{Sn}是递增数列”的不必要条件．‎ ‎∴“an>0”是“数列{Sn}是递增数列”的充分不必要条件．‎ ‎7．数列{an}的通项an＝(n∈N*)，则数列{an}中的最大项的值为________．‎ 答案　 解析　令f(x)＝x＋(x>0)，运用基本不等式，得f(x)≥2，当且仅当x＝3时等号成立．‎ 因为an＝，所以≤，由于n∈N*，不难发现，当n＝9或n＝10时，an＝最大．‎ ‎8．若数列{an}的前n项和Sn＝3n2－2n＋1，则数列{an}的通项公式an＝________.‎ 答案　 解析　当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2×1＋1＝2；‎ 当n≥2时，‎ an＝Sn－Sn－1＝3n2－2n＋1－[3(n－1)2－2(n－1)＋1]＝6n－5，显然当n＝1时，不满足上式．‎ 故数列{an}的通项公式为an＝ ‎9．已知数列{an}的通项公式an＝，若a1·a2·…·an≤a1·a2·…·ak对n∈N*恒成立，则正整数k的值为________．‎ 答案　5‎ 解析　an＝，当n≤5时，an>1；当n≥6时，an<1，‎ 由题意知，a1·a2·…·ak是{an}的前n项乘积的最大值，所以k＝5.‎ ‎10．设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝________.‎ 答案　－ 解析　∵an＋1＝Sn＋1－Sn，‎ ‎∴Sn＋1－Sn＝Sn＋1Sn，‎ 又由a1＝－1，知Sn≠0，‎ ‎∴－＝1，‎ ‎∴是等差数列，且公差为－1，而＝＝－1，‎ ‎∴＝－1＋(n－1)×(－1)＝－n，‎ ‎∴Sn＝－.‎ ‎11．已知在数列{an}中，a1＝1，前n项和Sn＝an.‎ ‎(1)求a2，a3；‎ ‎(2)求{an}的通项公式．‎ 解　(1)由S2＝a2，得3(a1＋a2)＝4a2，‎ 解得a2＝3a1＝3.‎ 由S3＝a3，得3(a1＋a2＋a3)＝5a3，‎ 解得a3＝(a1＋a2)＝6.‎ ‎(2)由题设知a1＝1.‎ 当n≥2时，有an＝Sn－Sn－1＝an－an－1，‎ 整理，得an＝an－1.‎ 于是a1＝1，a2＝a1，a3＝a2，…，‎ an－1＝an－2，an＝an－1，‎ 将以上n个等式两端分别相乘，整理，得an＝.‎ 当n＝1时，a1＝1也符合上式，‎ 综上，{an}的通项公式an＝，n∈N*.‎ ‎12．已知数列{an}中，a1＝1，其前n项和为Sn，且满足2Sn＝(n＋1)an(n∈N*)．‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)记bn＝3n－λa，若数列{bn}为递增数列，求实数λ的取值范围．‎ 解　(1)∵2Sn＝(n＋1)an，‎ ‎∴2Sn＋1＝(n＋2)an＋1，‎ ‎∴2an＋1＝(n＋2)an＋1－(n＋1)an，‎ 即nan＋1＝(n＋1)an，∴＝，‎ ‎∴＝＝…＝＝1，‎ ‎∴an＝n(n∈N*)．‎ ‎(2)由(1)可得bn＝3n－λn2.‎ bn＋1－bn＝3n＋1－λ(n＋1)2－(3n－λn2)‎ ‎＝2·3n－λ(2n＋1)．‎ ‎∵数列{bn}为递增数列，‎ ‎∴2·3n－λ(2n＋1)>0，即λ<.‎ 令cn＝，‎ 即＝·＝>1.‎ ‎∴{cn}为递增数列，∴λ

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