【数学】2019届一轮复习北师大版 集 合 学案
1.1 集合及其运算
最新考纲
考情考向分析
1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系．
2.能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．
3.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．
4.在具体情境中，了解全集与空集的含义．
5.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．
6.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．
7.能使用韦恩(Venn)图表达集合的基本关系及集合的基本运算.
集合的交、并、补运算及两集合间的包含关系是考查的重点，在集合的运算中经常与不等式、函数相结合，解题时常用到数轴和韦恩(Venn图)，考查学生的数形结合思想和计算推理能力，题型以选择题为主，低档难度.
1．集合与元素
(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示．
(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．
(4)常见数集的记法
集合
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N＋(或N*)
Q
R
2.集合间的基本关系
关系
自然语言
符号语言
Venn图
子集
集合A中所有元素都是集合B中的元素(即若x∈A，则x∈B)
A⊆B(或B⊇A)
真子集
集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中
A?B(或B?A)
集合相等
集合A，B中的元素相同或集合A，B互为子集
A＝B
3.集合的基本运算
运算
自然语言
符号语言
Venn图
交集
由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合
A∩B＝{x|x∈A且x∈B}
并集
由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合
A∪B＝{x|x∈A或x∈B}
补集
由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合
∁UA＝{x|x∈U且x∉A}
知识拓展
1．若有限集合A中有n个元素，则集合A的子集个数为2n，真子集的个数为2n－1.
2．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B.
3．A∩(∁UA)＝∅；A∪(∁UA)＝U；∁U(∁UA)＝A.
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)任何一个集合都至少有两个子集．( × )
(2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．( × )
(3)若{x2,1}＝{0,1}，则x＝0,1.( × )
(4){x|x≤1}＝{t|t≤1}．( √ )
(5)对于任意两个集合A，B，关系(A∩B)⊆(A∪B)恒成立．( √ )
(6)若A∩B＝A∩C，则B＝C.( × )
题组二 教材改编
2．已知U＝{α|0°＜α＜180°}，A＝{x|x是锐角}，B＝{x|x是钝角}，则∁U(A∪B)＝________.
答案 {x|x是直角}
3．已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|y＝x}，则A∩B中元素的个数为________．
答案 2
解析 集合A表示以(0,0)为圆心，1为半径的单位圆，集合B表示直线y＝x，圆x2＋y2＝1与直线y＝x相交于两点，，则A∩B中有两个元素．
题组三 易错自纠
4．若集合A＝{－1,1}，B＝{0,2}，则集合{ | ＝x＋y，x∈A，y∈B}中的元素的个数为( )
A．5 B．4 C．3 D．2
答案 C
解析 当x＝－1，y＝0时， ＝－1；当x＝－1，y＝2时， ＝1；当x＝1，y＝0时， ＝1；当x＝1，y＝2时， ＝3，故集合{ | ＝x＋y，x∈A，y∈B}中的元素个数为3，故选C.
5．已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，B＝{x|x
3.
6．若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝________.
答案 0或
解析 若a＝0，则A＝，符合题意；
若a≠0，则由题意得Δ＝9－8a＝0，解得a＝.
综上，a的值为0或.
题型一 集合的含义
1．若集合A＝{a－3,2a－1，a2－4}，且－3∈A，则实数a＝________.
答案 0或1
解析 若a－3＝－3，则a＝0，此时集合A中含有元素－3，－1，－4，满足题意；
若2a－1＝－3，则a＝－1，此时集合A中的三个元素为－4，－3，－3，不满足集合中元素的互异性；
若a2－4＝－3，则a＝±1，当a＝1时，集合A中的三个元素为－2,1，－3，满足题意；
当a＝－1时，不符合题意．
综上可知，a＝0或a＝1.
2．设P，Q为两个非空实数集合，定义集合P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，若P＝{0,2,5}，Q＝{1,2,6}，则P＋Q中元素的个数是( )
A．9 B．8 C．7 D．6
答案 B
解析 当a＝0时，a＋b＝1,2,6；
当a＝2时，a＋b＝3,4,8；
当a＝5时，a＋b＝6,7,11.
由集合中元素的互异性知，P＋Q中有1,2,3,4,6,7,8,11，共8个元素．
思维升华 (1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型的集合．
(2)集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．
题型二 集合的基本关系
典例(1)设A，B是全集I＝{1,2,3,4}的子集，A＝{1,2}，则满足A⊆B的集合B的个数是( )
A．5 B．4 C．3 D．2
答案 B
解析 ∵{1,2}⊆B，I＝{1,2,3,4}，
∴满足条件的集合B有{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}，共4个．
(2)已知集合A＝{x|x2－2 019x＋2 018<0}，B＝{x|x1} D．A∩B＝∅
答案 A
解析 ∵B＝{x|3x<1}，∴B＝{x|x<0}．
又A＝{x|x<1}，∴A∩B＝{x|x<0}，A∪B＝{x|x<1}．
故选A.
(2)(2016·山东)设集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{x|x2－1<0}，则A∪B等于( )
A．(－1,1) B．(0,1)
C．(－1，＋∞) D．(0，＋∞)
答案 C
解析 ∵A＝{y|y>0}，B＝{x|－12
C．a≥－1 D．a>－1
答案 D
解析 因为A∩B≠∅，所以集合A，B有公共元素，作出数轴，如图所示，易知a>－1.
(2)集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0,1,2,4,16}，则a的值为( )
A．0 B．1 C．2 D．4
答案 D
解析 由题意可得{a，a2}＝{4,16}，∴a＝4.
(3)设集合A＝{0，－4}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，x∈R}．若A∩B＝B，则实数a的取值范围是______．
答案 (－∞，－1]∪{1}
解析 因为A＝{0，－4}，所以B⊆A分以下三种情况：
①当B＝A时，B＝{0，－4}，由此可知，0和－4是方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0
的两个根，由根与系数的关系，得
解得a＝1；
②当B≠∅且B?A时，B＝{0}或B＝{－4}，
并且Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝0，
解得a＝－1，此时B＝{0}满足题意；
③当B＝∅时，Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)<0，
解得a<－1.
综上所述，所求实数a的取值范围是(－∞，－1]∪{1}．
思维升华 (1)一般来讲，集合中的元素若是离散的，则用Venn图表示；集合中的元素若是连续的，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．
(2)运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，会使运算简化．
跟踪训练 (1)(2017·天津)设集合A＝{1,2,6}，B＝{2,4}，C＝{x∈R|－1≤x≤5}，则(A∪B)∩C等于( )
A．{2} B．{1,2,4}
C．{1,2,4,6} D．{x∈R|－1≤x≤5}
答案 B
解析 A∪B＝{1,2,4,6}．
又C＝{x∈R|－1≤x≤5}，则(A∪B)∩C＝{1,2,4}，
故选B.
(2)已知集合A＝{x|x2－x－12≤0}，B＝{x|2m－10}，∴A∩B＝(0,1)，故选B.
4．设集合A＝{x|x2－5x＋4<0}，B＝{x|2x－3>0}，则A∩B等于( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 由A＝{x|x2－5x＋4<0}＝{x|10}＝，
得A∩B＝＝，故选D.
5．(2018·潍坊调研)已知全集U＝R，集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{x∈R|x≥2}，则图中阴影部分所表示的集合为( )
A．{0,1} B．{1}
C．{1,2} D．{0,1,2}
答案 B
解析 因为A∩B＝{2,3,4,5}，而图中阴影部分为集合A去掉A∩B部分，所以阴影部分所表示的集合为{1}．
6．(2017·郑州平顶山二模)已知复数f(n)＝in(n∈N＋)，则集合{ | ＝f(n)}中元素的个数是( )
A．4 B．3
C．2 D．无数
答案 A
解析 复数f(n)＝in(n∈N＋)，
可得f(n)＝ ∈N.
集合{ | ＝f(n)}中元素的个数是4.
7．(2017·全国Ⅱ)设集合A＝{1,2,4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，则B等于( )
A．{1，－3} B．{1,0} C．{1,3} D．{1,5}
答案 C
解析 ∵A∩B＝{1}，∴1∈B.
∴1－4＋m＝0，即m＝3.
∴B＝{x|x2－4x＋3＝0}＝{1,3}．故选C.
8．已知集合A＝{x|－11}，
所以A∪B＝{x|x>1或x≤－1}．
12．已知集合A＝{x|y＝lg(x－x2)}，B＝{x|x2－cx<0，c>0}，若A⊆B，则实数c的取值范围是________．
答案 [1，＋∞)
解析 由题意知，A＝{x|y＝lg(x－x2)}＝{x|x－x2>0}＝(0,1)，B＝{x|x2－cx<0，c>0}＝(0，c)．由A⊆B，画出数轴，如图所示，得c≥1.
13．已知集合A＝{x|1
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