2020-2021学年新高三数学开学摸底自测卷

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- 1 - 高高高 三三三 数数数 学学学 开开开 学学学 摸摸摸 底底底 自自自 测测测 卷卷卷 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分． 1 ．复数 (1 ) (z i i i 为虚数单位）的共轭复数为 ． 2 2. 已知 p ：? x0 ∈R ，mx2 0＋1 ≤ 0 ，q ：? x∈R ， x2 ＋ mx＋1 ＞ 0 ，若 p ∨q 为假命题，则实数 m的 取值范围是 ________． 解析 依题意知， p，q 均为假命题．当 p 是假命题时， mx2 ＋ 1 ＞0 恒成立，则有 m ≥0；当 q 是假命题时， 则有 Δ ＝m 2－4 ≥0， m ≤－ 2 或 m ≥2. 因此由 p， q 均为假命题得 m ≥0， m ≤－ 2或m ≥2 ， 即 m ≥2. 3 ． : 2p x 或 4y 是 : 6q x y 的 条件． 必要不充分 4. 某工厂生产某种产品 5000 件，它们来自甲、乙、丙 3 条不同的生产线．为检查这批产品的 质量，决定采用分层抽样的方法进行抽样．若从甲、乙、丙三条生产线抽 取的件数之比为 1:2:2 ，则乙生产线生产了 件产品． 2000 5 ．阅读右面的流程图 . 若输入 x 的值为 8 ，则输出 y 的值为 ．3 6 ．先后投掷一颗质地均匀的骰子两次，得到其向上的点数分别为 m， n ， 设向量 ),( nma ，则满足 5a 的概率为 ． 36 13 7. 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y2 ＝2px(p>0) 的焦点为 F ，双曲线 x2 a 2 － y2 b 2 ＝1(a>0 ，b>0) 的两条渐近线分别与抛物线交于 A ，B 两点 (A， B异于 坐标原点 O)．若直线 AB恰好过点 F ，则双曲线的渐近线方程是 ________． 解析 不妨设点 A 是渐近线 y＝ b ax 与抛物线的交点，则 A p 2， bp 2a 在抛物线上，所以 bp 2a 2 ＝2p × p 2，化简得 b a＝2 ，故双曲线的渐近线方程是 y＝± b ax＝± 2x. 8. 若 a>0，b>0，且函数 f(x) ＝4x3 －ax2 －2bx＋2 在 x＝1 处有极值，若 t ＝ab，则 t 的最大值 为________． 9 解析 f ′(x) ＝12x 2 －2ax－2b，则 f ′(1) ＝12－2a－2b＝0，则 a ＋b＝6 ， 又 a>0，b>0，则 t ＝ab≤ a ＋ b 2 2 ＝9，当且仅当 a ＝b＝3 时取等号． 9. 某班准备从甲、乙等七人中选派四人发言，要求甲乙两人至少有一人参加，那么不同的发 开始 输入 x x ≤0 y← log2x 输出 y 结束 y ←2 x N Y （第 5 题图） 该文档是极速PDF编辑器生成， 如果想去掉该提示,请访问并下载： http://www.jisupdfeditor.com/ - 2 - 言顺序有 ________种( 用数字作答 ) ． 解析 若只有甲乙其中一人参加，有 C 1 2 C 3 5 A 4 4 ＝480 种方法；若甲乙两人都参加，有 C 2 2C 2 5 A 4 4 ＝ 240 种方法，则共有 48 0＋240＝720 种方 法． 10. 5 2 3 1 5 x x 的展开式中的常数项为 ______．2 解： 5 2 3 1 5 x x 的展开式的通项公式为 T r+1 = ? （﹣1） r ? ? x 10﹣5r ， 令 10﹣5r=0 ，求得 r=2 ，可得展开式中的常数项为 ? 5 ﹣1 =2. 11. 从装有编号为 1 ，2，3 ，⋯， n+1 的 n+1 个球的口袋中取出 m 个球（ 0 ＜m ≤n ， m ，n∈N ） ， 共有 C n+1m 种取法．在这 C n+1m 种取法中，不取 1 号球有 C 1 0 C n m种取法；必取 1 号球有 C 1 1C nm ﹣1 种取 法．所以 C 1 0C n m+C1 1C n m ﹣1=Cn+1 m ，即 C n m+Cn m ﹣1=Cn+1 m 成立．试根据上述思想，则有当 1 ≤k≤m ≤n，k， m ，n∈N时， C n m+Ck 1C n m﹣1+Ck 2C n m ﹣2+⋯+Ck kC n m ﹣k= ． 解：在 C n m+Ck 1?Cn m ﹣1+Ck 2? C n m ﹣2+⋯+Ck k? C n m ﹣k 中， 从第一项到最后一项分别表示： 从装有 n 个白球， k 个黑球的袋子里， 取出 m 个球的所有情况取法总数的和， 故从装有 n+k 球中取出 m个球的不 同取法数 ． 12. 已知－ 1 ＜ x＋y＜4 且 2 ＜x－y＜3 ，则 z＝2x－3y 的取值范围是 _______．(3,8) 解析 设 2x－3y＝a(x ＋y) ＋b(x －y) ，则由待定系数法可得 a＋b ＝2 ， a－b ＝－ 3 ， 解得 a＝－ 1 2， b＝ 5 2， 所以 z＝－ 1 2(x ＋y) ＋5 2(x －y) ． 又 －2＜－ 1 2 x＋y 1 2， 5 ＜ 5 2 x－y 15 2 ， 所以两式相加可得 z∈(3,8) ． 13. 已知 F 1 ( － c,0) ， F 2(c,0) 为椭圆 x 2 a 2 ＋ y2 b 2 ＝1(a ＞b ＞0) 的两个焦点， P 为椭圆上一点， 且 PF1 → · PF2 → ＝c2，则此椭圆离心率的取值范围是 ________． 3 3 ， 2 2 解析 设 P(x ， y) ，则 PF1 → ·PF2 → ＝( －c－x，－ y) ·(c －x，－ y) ＝x2 －c2 ＋y2 ＝c2 ，① 该文档是极速PDF编辑器生成， 如果想去掉该提示,请访问并下载： http://www.jisupdfeditor.com/ - 3 - 将 y2 ＝b2 － b2 a 2 x2代入①式解得 x2 ＝ 2c2 －b2 a2 c2 ＝ 3c2－a2 a2 c2 ， 又 x2 ∈[0 ，a2 ] ，∴ 2c2≤a 2≤3c2 ，∴ e ＝ c a∈ 3 3 ， 2 2 . 14. 已知函数 f （x）= ﹣ xlnx+ax 在（ 0，e ）上是增函数，函数 ．当 x∈ [0 ，ln3] 时，函数 g（x）的最大值 M 与最小值 m的差为 ，则 a=______． 解：∵ f （x） = ﹣xlnx+ax ，∴ f' （x）= ﹣lnx+a ﹣1 ∵函数 f （x）=﹣xlnx+ax 在（ 0，e ）上是增函数 ∴f' （x）= ﹣ lnx+a ﹣1 ≥0 在（ 0 ，e ）恒成立 ∵y=﹣lnx 是（ 0 ，e）上的减函数 ∴f' （x）= ﹣ lnx+a+1 的最小值大于等于 0 即可，即﹣ 1+a﹣1 ≥ 0 ∴a ≥ 2 ∵x∈ [0 ，ln3] ，∴ e x∈ [1 ，3] ∴e x=a 时，函数取得最小值为 ∵x=0 时， ；x=ln3 时， 3 ＞a≥2 时，函数 g（x）的最大值 M= ∵函数 g（x）的最大值 M 与最小值 m 的差为 ∴3 ＞ a ≥2 时， ∴a= a ＞3 时， x0 ＞ ln3 ， 此 时 x 在[0 ，ln3] 内单调递减， 所以函数在 f（ 0 ）处取最大值， 在 f （ln3 ） 处取最小值， a= 不符合 a 大于 3 ，所以舍去． 二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 该文档是极速PDF编辑器生成， 如果想去掉该提示,请访问并下载： http://www.jisupdfeditor.com/ - 4 - 15. （ 14 分）某小组共 10 人，利用假期参加义工活动．已知参加义工活动次数为 1,2,3 的人 数分别为 3,3,4. 现从这 10 人中随机选出 2 人作为该组代表参加座谈会． (1) 设 A为事件“选出的 2 人参加义工活动次数之和为 4”，求事件 A 发生的概率； (2) 设 X为选出的 2 人参加义工活动次数之差的绝对值， 求随机变量 X 的概率分布和数学期望． 解 (1) 由已知，有 P(A) ＝ C 1 3 C 1 4＋C 2 3 C 2 10 ＝ 1 3. 所以，事件 A 发生的概率为 1 3. (2) 随机变量 X 的所有可能取值为 0,1, 2. P(X＝ 0) ＝ C 2 3＋C 2 3 ＋C 2 4 C 2 10 ＝ 4 15，P(X＝1) ＝ C 1 3 C 1 3 ＋C 1 3C 1 4 C 2 10 ＝ 7 15， P(X＝2) ＝ C 1 3C 1 4 C 2 10 ＝ 4 15. 所以，随机变量 X 的概率分布为 X 0 1 2 P 4 15 7 15 4 15 所以，数学期望 E(X)= 7 42 =1 15 15 ＋ 16. （ 14 分）已知函数 f x 满足 2 3 3log log .f x x x （1 ） 求函数 f x 的解析式； （2 ） 当 n N 时，试比较 f n 与3n 的大小，并用数学归纳法证明你的结论 . 解 （1）令 xt 3log ，则 tx 3 ， 所以 ttf t 23)( ，故函数 f x 的解析式为 3 2xf x x ． ⋯⋯⋯⋯ 3 分 （2）当 1n 时， 1 1f ， 13n ，此时 3)1( nf ； 当 2n 时， 2 5f ， 83n ，此时 3)1( nf ； 当 3n 时， 21)3(f ， 273n ，此时 3)3( nf ； 当 4n 时， 73)4(f ， 643n ，此时 3)4( nf ； 猜想：当 4n≥ ， *n R ，都有 3f n n ． ⋯⋯⋯⋯ 6 分 要证明：当 4n ≥ ， *n R ，都有 3f n n ， 该文档是极速PDF编辑器生成， 如果想去掉该提示,请访问并下载： http://www.jisupdfeditor.com/ - 5 - 即要证：当 4n ≥ ， *n R ，3 3 2n n n ， 即要证：当 4n ≥ ， *n R ，33 2n n n ． 证明：①当 4n 时， 3 81n ， 3 2 72n n ，显然， 33 2n n n 成立； ②假设当 n k 时， 33 2k k k 成立， 那么，当 1n k 时， 1 3 33 3 3 3 2 3 6k k k k k k ，又当 4k ≥ 时， 33 3 2 2 23 6 1 2 1 2 3 3 2 3 3k k k k k k k k k k k 2 2 24 2 3 3 5 3 0k k k k k≥ ， 故 333 6 1 2 1k k k k ， 所以 1n k 时， 31 33 3 6 1 2 1k k k k k 结论成立， 由①②，根据数学归纳法可知，当 4n ≥ ， *n R ，都有 3f n n ． ⋯⋯⋯⋯ 10 分 17. （ 14 分）如图所示，已知空间四边形 ABCD的各边和对角线的长都等于 a，点 M ，N分别是 AB，CD的中点． (1) 求证： MN⊥AB， MN⊥CD； (2) 求 MN的长； (3) 求异面直线 AN与 CM所成角的余弦值． (1) 证明 设AB→＝p，AC→＝q，AD→＝r. 由题意可知， |p| ＝ |q| ＝|r| ＝a，且 p，q，r 三向量两两夹角均为 60° . MN→＝AN→－AM→＝ 1 2(AC→＋AD→) － 1 2AB→＝ 1 2(q ＋r －p) ， ∴MN→·AB→＝ 1 2(q ＋r －p) ·p＝ 1 2(q ·p＋r·p－p2 ) ＝ 1 2(a 2 cos 60 °＋ a 2cos 60 °－ a2 ) ＝0. ∴MN→⊥AB→，即 MN⊥AB.同理可证 MN⊥CD. (2) 解 由(1) 可知 MN→＝ 1 2(q ＋r －p) ， 该文档是极速PDF编辑器生成， 如果想去掉该提示,请访问并下载： http://www.jisupdfeditor.com/ - 6 - ∴|MN→ | 2＝ 1 4(q ＋ r －p) 2 ＝ 1 4[q 2 ＋r2 ＋p2 ＋2(q ·r －p ·q－r ·p)] ＝ 1 4 a2 ＋a2 ＋a 2＋2a2 2 －a2 2 －a2 2 ＝ 1 4× 2a2＝ a2 2 . ∴|MN→ | ＝ 2 2 a. ∴MN的长为 2 2 a. (3) 解 设向量 AN→与 MC→的夹角为 θ. ∵AN→＝ 1 2(AC→＋ AD→) ＝ 1 2(q ＋r) ， MC→＝AC→－AM→＝ q － 1 2p ， ∴AN→·MC→＝ 1 2( q ＋ r) ·(q － 1 2p) ＝1 2(q 2 － 1 2q ·p＋r ·q － 1 2r ·p) ＝1 2(a 2 － 1 2a 2 cos 60 °＋ a2 cos 60 °－ 1 2a2 cos 60 °) ＝ 1 2(a 2 － a2 4 ＋ a2 2 － a2 4 ) ＝ a 2 2 . 又∵ |AN→| ＝|MC→| ＝ 3 2 a， ∴AN→·MC→＝|AN→||MC→ |cos θ ＝ 3 2 a× 3 2 a×cos θ ＝ a 2 2 . ∴cos θ＝ 2 3. ∴向量 AN→与 MC→的夹角的余弦值为 2 3. 因此异面直线 AN与 CM所成角的余弦值为 2 3. 18. （ 16 分）如图，现有一个以 AOB 为圆心角、湖岸 OA 与 OB 为半径的扇形湖面 AOB . 现 欲在弧 AB 上取不同于 A B、 的点 C ，用渔网沿着弧 AC ( 弧 AC 在扇形 AOB 的弧 AB 上) 、 半 径 OC 和线段 CD ( 其中 //CD OA ) ，在该扇形湖面内隔出两个养殖区域——养殖区域Ⅰ和养殖区 域Ⅱ . 若 1 , , 3 OA km AOB AOC . （1 ） 用 表示 CD 的长度； 该文档是极速PDF编辑器生成， 如果想去掉该提示,请访问并下载： http://www.jisupdfeditor.com/ - 7 - （2 ） 求所需渔网长度 ( 即图中弧 AC 、半径 OC 和线段 CD 长度之和 ) 的取值范围． 解： (1) 由 CD∥OA，∠ AOB＝ π 3 ，∠ AOC＝ θ，得∠ OCD＝θ，∠ODC＝ 2π 3 ， ∠COD＝ π 3 －θ. 在△ OCD中，由正弦定理，得 CD＝ 2 3 sin π 3 －θ，θ∈ 0 ， π 3 · · 8 分 (2) 设渔网的长度为 f( θ) ．由 (1) 可知， f( θ) ＝θ＋1＋ 2 3 sin π 3 －θ⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分 所以 f ′( θ) ＝ 1 － 2 3 cos π 3 －θ，因为 θ∈0，π 3 ，所以 π 3 －θ∈0，π 3 ， 令 f ′(θ ) ＝0，得 cos π 3 －θ＝3 2 ，所以 π 3 －θ＝π 6 ，所以 θ＝π 6 . ···· 13 分 θ 0，π 6 π 6 π 6 ，π 3 f ′ (θ) ＋ 0 － f( θ) 极大值 所以 f( θ ) ∈ 2 ， π＋6 ＋ 2 3 6 . 故所需渔网长度的取值范围是 2，π＋6 ＋2 3 6 ⋯ 16 分 19． （ 16 分）已知椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yC a b a b 的两个焦点分别为 1( 2,0)F ， 2 ( 2,0)F ， 点 (1,0)M 与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直 . （1 ）求椭圆 C 的方程； （2 ）过点 (1,0)M 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A ， B 两点 , 设点 (3,2)N ，记直线 AN ， BN 的 斜率分别为 1k ， 2k ， 求证： 1 2k k 为定值 . 解: （ 1 ）依题意，由已知得 2c ， 2 2 2a b ，由已知易得 1b OM , 解得 3a . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分 则椭圆的方程为 2 2 1 3 x y . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分 该文档是极速PDF编辑器生成， 如果想去掉该提示,请访问并下载： http://www.jisupdfeditor.com/ - 8 - (2) ①当直线 l 的斜率 不存在时，由 2 2 1, 1 3 x x y 解得 61, 3 x y . 设 6(1, ) 3 A ， 6(1, ) 3 B ，则 1 2 6 62 2 3 3 2 2 2 k k 为定值⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分 ②当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为： ( 1)y k x . 将 ( 1)y k x 代入 2 2 1 3 x y 整理化简，得 2 2 2 2(3 1) 6 3 3 0k x k x k ⋯⋯ 7 分 依题意，直线 l 与椭圆 C 必相交于两点，设 1 1( , )A x y ， 2 2( , )B x y ， 则 2 1 2 2 6 3 1 kx x k ， 2 1 2 2 3 3 3 1 kx x k . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 9 分 又 1 1( 1)y k x ， 2 2( 1)y k x ， 所以 1 2 1 2 1 2 2 2 3 3 y yk k x x ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分 1 2 2 1 1 2 (2 )(3 ) (2 )(3 ) (3 )(3 ) y x y x x x 1 2 2 1 1 2 1 2 [2 ( 1)](3 ) [2 ( 1)](3 ) 9 3( ) k x x k x x x x x x 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 12 2( ) [2 4( ) 6] 9 3( ) x x k x x x x x x x x 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 3 3 612 2( ) [2 4 6] 3 1 3 1 6 3 39 3 3 1 3 1 k kx x k k k k k k k 2 2 12(2 1) 2. 6(2 1) k k ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 15 分 综上得 1 2k k 为常数 2. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ⋯16 分 该文档是极速PDF编辑器生成， 如果想去掉该提示,请访问并下载： http://www.jisupdfeditor.com/ - 9 - 20． （ 16 分）已知函数 2 ,f x x bx c b c R ，并设 x f xF x e ， （1 ）若 F x 图像在 0x 处的切线方程为 0x y ，求 b 、 c 的值； （2 ）若函数 F x 是 , 上单调递减，则 ① 当 0x 时，试判断 f x 与2 x c 的大小关系，并证明之； ② 对满足题设条件的任意 b 、 c ，不等式 2 2f c Mc f b Mb 恒成立，求 M 的取值 范围． 解：（ 1 ）因为 2 x x bx cF x e ，所以 2 2 x x b x b c F x e ，⋯⋯⋯⋯ 2 分 又因为 F x 图像在 0x 处的切线方程为 0x y ， 所以 0 0 0 1 F F ，即 0 1 c b c ，解得 1b ， 0c ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分 （2 ）①因为 F x 是 , 上的单调递减函数，所以 0F x 恒成立， 即 2 2 0x b x b c 对任意的 x R恒成立， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分 所以 2 2 4 0b b c ， 所 以 2 24 4 2 4 4 4c b b b b ， 即 c b 且 1c ， 令 2 2 1g x f x x c b c x c c ，由 2 0b c ，知 g x 是减函数， 故 g x 在 0, 内取得最小值 0g ，又 0 1 0g c c ， 所以 0x 时， 0 0g x g ，即 2 f x x c ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分 ② 由①知， 0c b ，当 b c 时， b c 或 b c ， 因为 2 4 4 0b c ，即 2 4 4 0c c ， 解得 2c ， 2b 或 2b ，所以 2 2 2f x x x ， 而 2 2 2 2 22 2f c f b c bc c b b c c bc b c b c b ， 所以 8f c f b 或 0 ， 该文档是极速PDF编辑器生成， 如果想去掉该提示,请访问并下载： http://www.jisupdfeditor.com/ - 10 - 不等式 2 2f c Mc f b Mb 等价于 2 2f c f b M c b ， 变为 8 0M 或 0 0M 恒成立， M R ， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分 当 b c 时， c b ，即 2 2 0c b ，所以不等式 2 2f c Mc f b Mb 恒成立等价于 2 2 f c f b M c b 恒成立，等价于 2 2 max f c f bM c b ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 14 分 而 2 2 2 2 12 1 f c f b c b c b c b bc b c b c b c b c ， 因为 c b ， 1b c ，所以 1 1b c ，所以 0 1 2b c ，所以 1 1 21 b c ， 所以 2 2 1 32 2 2 f c f b c b ，所以 3 2 M ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 16 分 该文档是极速PDF编辑器生成， 如果想去掉该提示,请访问并下载： http://www.jisupdfeditor.com/