江苏省盐城市大丰区新丰中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题

江苏省盐城市大丰区新丰中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题

大丰区新丰中学2019-2020学年度第二学期期中考试 高一数学试题 ‎（试题满分：150分 考试时间：120分钟） 2020.05‎ 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，计40分．在每小题所给的A.B.C.D.四个选项中，只有一项是正确的，请在答题卡上将正确选项按填涂要求涂黑.‎ ‎1.直线x -y +1 = 0 倾斜角的大小是（ ）‎ A．　　　B．　　　C．　　D．　 ‎ ‎2.点（1,2）到直线的距离为（ ）‎ A.1　　 B．‎2　　　‎ C．3　　 D．4　‎ ‎3.已知满足tan(＋，则tan=（　　）‎ A．－　　　B．　　　C．2　　D． -2‎ ‎4.已知直线与直线互相平行，则实数的值为（ ）‎ A．﹣3 B． C．2 D．﹣3或2‎ ‎5.已知 m, n 表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是( )‎ A. 若 m // , n // ,则 m // n B. 若 m ， mn ，则 n //a C. 若 m , n ，则 m n D. 若 m // ， mn ，则 n ‎ ‎6.已知、β均为锐角，满足sinα＝，cosβ＝，则（ ）‎ A．　　　 B．　　 　C．　　 D．　 ‎ ‎7. 若圆心坐标为（2，-1）的圆被直线截得的弦长为，则圆的方程为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎8.如果tan＝，那么cosα的值是 （ ）‎ A. B. C.－ D.－ ‎ 二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共计20分．在每小题所给的A.B.C.D.四个选项中，有多项是正确的，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．请在答题卡上将正确选项按填涂要求涂黑.‎ ‎9.下列各式中，值为的是(　　)‎ A．sin 15°cos 15° B．cos2－sin2 C. D. ‎10.如图所示，在正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，E，F分别是AB1，BC1的中点．有下列结论，其中正确的是(　　)‎ A．EF与BB1垂直 B．EF与平面BCC1B1垂直 C．EF与C1D所成的角为45°‎ D．EF∥平面A1B‎1C1D1‎ ‎11.已知α，β是平面，m，n是直线.下列命题中正确的是 （ ）‎ A．若m∥n，m⊥α，则n⊥α B．若m∥α，α∩β=n，则m∥n C．若m⊥α，m⊥β，则α∥β D．若m⊥α，，则α⊥β ‎12.若圆x2＋y2＝r2(r>0)上恰有相异两点到直线4x－3y＋25＝0的距离等于1，则r可以取值(　　)‎ A. B．‎5 ‎ C. D．6‎ 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，计20分．只要求写出最后结果，并将正确结果填写到答题卡相应位置．‎ ‎13.求值： ‎ ‎14.在正方体 ABCD -A1B‎1C1D1 中， M ， N 分别为棱 AD ， D1D 的中点，则异面直线MN 与AC 所成的角大小为 ．‎ ‎15.设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A，ω，φ为常数且A＞0，ω＞0，）的部分图象如图所示，若（），则 的值为　 　．‎ ‎16.在平面直角坐标系中，点，，从直线上一点向圆引两条切线，切点分别为，则直线过定点，定点坐标为___________.‎ 四、解答题：本大题共6小题，计70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（本题满分10分）‎ 已知点A(4，1)，B(﹣6，3)，C(3，0)．‎ ‎（1）求△ABC中BC边上的高所在直线的方程；‎ ‎（2）求过A，B，C三点的圆的方程．‎ ‎18．（本题满分12分）‎ 如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，BD交AC于点E，F 是线段PC中点，G为线段EC中点．‎ ‎（1）求证：FG//平面PBD；‎ ‎（2）求证：BD⊥FG．‎ ‎19．（本题满分12分）‎ 已知α∈，且sin ＋cos ＝.‎ ‎(1)求cos α的值；(2)若sin(α－β)＝－，β∈，求cos β的值．‎ ‎20．（本题满分12分）‎ 如图,在三棱锥中,平面⊥平面,,分别是,‎ 的中点.‎ 求证:(1)∥平面 (2)平面⊥平面.‎ E A B C P F ‎(第20题图)‎ ‎21．（本题满分12分）‎ 如图，OPQ是半径为2，圆心角为的扇形，点A在弧上（异于点P，Q），过点 A作AB⊥OP，AC⊥OQ，垂足分别为B，C，记∠AOB＝，四边形ACOB的面积为S．‎ ‎（1）求S关于的函数关系式；‎ ‎（2）当为何值时，S有最大值，并求出这个最大值．‎ ‎22．（本题满分12分）‎ 已知圆C经过A(﹣2，0)，B(1，)两点，且圆心C在直线l1：y＝x上．‎ ‎（1）求圆C的方程；‎ ‎（2）已知过点P(1，2)的直线l2与圆C相交截得的弦长为，求直线l2的方程；‎ ‎（3）已知点M(1，1)，在平面内是否存在异于点M的定点N，对于圆C上的任意动 点Q，都有为定值?若存在求出定点N的坐标，若不存在说明理由．‎ ‎2019-2020学年度第二学期期中考试 高一年级数学答案 命题人 ‎ ‎（试题满分：150分 考试时间：120分钟） 2020.05‎ 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，计40分．在每小题所给的A.B.C.D.四个选项中，只有一项是正确的，请在答题卡上将正确选项按填涂要求涂黑.‎ ‎1.直线x -y +1 = 0 倾斜角的大小是（B）‎ A．　　　B．　　　C．　　D．　 ‎ ‎2.点（1,2）到直线的距离为（ B ）‎ A.1　　 B．2　　　 C．3　　 D．4　‎ ‎3.已知满足tan(＋，则tan=（　A　）‎ A．－　　　B．　　　C．2　　D． -2‎ ‎4.已知直线与直线互相平行，则实数的值为（ A ）‎ A．﹣3 B． C．2 D．﹣3或2‎ ‎5.已知 m, n 表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是( C )‎ A. 若 m // , n // ,则 m // n B. 若 m ， mn ，则 n //a C. 若 m , n ，则 m n D. 若 m // ， mn ，则 n ‎ ‎6.已知、β均为锐角，满足sinα＝，cosβ＝，则（B）‎ A．　　　 B．　　 　C．　　 D．　 ‎ ‎7. 若圆心坐标为（2，-1）的圆被直线截得的弦长为，则圆的方程为（ A ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎8.如果tan＝，那么cosα的值是 （ B ）‎ A. B. C.－ D.－ ‎ 二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共计20分．在每小题所给的A.B.C.D.四个选项中，有多项是正确的，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．请在答题卡上将正确选项按填涂要求涂黑.‎ ‎9.下列各式中，值为的是(　CD　)‎ A．sin 15°cos 15° B．cos2－sin2 C. D. ‎10.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB1，BC1的中点．有下列结论，其中正确的是(　AD　)‎ A．EF与BB1垂直 B．EF与平面BCC1B1垂直 C．EF与C1D所成的角为45°‎ D．EF∥平面A1B1C1D1‎ ‎11.已知α，β是平面，m，n是直线.下列命题中正确的是 （ACD ）‎ A．若m∥n，m⊥α，则n⊥α B．若m∥α，α∩β=n，则m∥n C．若m⊥α，m⊥β，则α∥β D．若m⊥α，，则α⊥β ‎12.若圆x2＋y2＝r2(r>0)上恰有相异两点到直线4x－3y＋25＝0的距离等于1，则r可以取值(　ABC　)‎ A. B．5 C. D．6‎ 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，计20分．只要求写出最后结果，并将正确结果填写到答题卡相应位置．‎ ‎13.求值： ‎ ‎14.在正方体 ABCD -A1B1C1D1 中， M ， N 分别为棱 AD ， D1D 的中点，则异面直线MN 与AC 所成的角大小为 600 ．‎ ‎15.设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A，ω，φ为常数且A＞0，ω＞0，）的部分图象如图所示，若（），则的值为　 　．‎ ‎16.在平面直角坐标系中，点，，从直线上一点向圆引两条切线，切点分别为，则直线过定点，定点坐标为___________.‎ 四、解答题：本大题共6小题，计70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（本题满分10分）‎ 已知点A(4，1)，B(﹣6，3)，C(3，0)．‎ ‎（1）求△ABC中BC边上的高所在直线的方程；‎ ‎（2）求过A，B，C三点的圆的方程．‎ ‎（1）……4分 ‎（2）……10分 ‎18．（本题满分12分）‎ 如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，BD交AC于点E，F 是线段PC中点，G为线段EC中点．‎ ‎（1）求证：FG//平面PBD；‎ ‎（2）求证：BD⊥FG．‎ 证明：（Ⅰ）连接PE，G、F为EC和PC的中点，‎ ‎∴FG∥PE，FG⊄平面PBD，PE⊂平面PBD，‎ ‎∴FG∥平面PBD…（5分）‎ ‎（Ⅱ）∵菱形ABCD，∴BD⊥AC，‎ 又PA⊥面ABCD，BD⊂平面ABCD，‎ ‎∴BD⊥PA，‎ ‎∵PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，且PA∩AC＝A，‎ ‎∴BD⊥平面PAC，FG⊂平面PAC，‎ ‎∴BD⊥FG…（12分）‎ ‎19．（本题满分12分）‎ 已知α∈，且sin ＋cos ＝.‎ ‎(1)求cos α的值；(2)若sin(α－β)＝－，β∈，求cos β的值．‎ ‎【解答】解：（1）∵α∈（，π），且sin+cos＝，两边平方可得：1+sinα＝，∴sinα＝，可得：cosα＝﹣＝﹣．…（5分）‎ ‎（2）∵由（1）可得：sin α＝，cosα＝﹣．‎ ‎∵＜α＜π，＜β＜π，∴﹣＜α﹣β＜，‎ 又sin（α﹣β）＝﹣，得cos（α﹣β）＝，‎ ‎∴cos β＝cos[α﹣（α﹣β）]＝cosαcos（α﹣β）+sinαsin（α﹣β）＝﹣×+×（﹣）＝﹣．…（12分）‎ ‎20．（本题满分12分）‎ 如图,在三棱锥中,平面⊥平面,,分别是,‎ 的中点.‎ 求证:(1)∥平面 (2)平面⊥平面.‎ E A B C P F ‎(第20题图)‎ ‎【解答】证明：（1）在△APC中，因为E，F分别是PA，AC的中点，‎ 所以EF∥PC，‎ 又PC⊂平面PAC，EF⊄平面PAC，‎ 所以EF∥平面PBC； …（5分）‎ ‎（2）因为AB＝BC，且点F是AC的中点，‎ 所以BF⊥AC，‎ 又平面ABC⊥平面PAC，平面ABC∩平面PAC＝AC，BF⊂平面ABC，‎ 所以BF⊥平面PAC，‎ 因为EF⊂平面BEF，‎ 所以平面BEF⊥平面PAC．…（12分）‎ ‎21．（本题满分12分）‎ 如图，OPQ是半径为2，圆心角为的扇形，点A在弧上（异于点P，Q），过点 A作AB⊥OP，AC⊥OQ，垂足分别为B，C，记∠AOB＝，四边形ACOB的面积为S．‎ ‎（1）求S关于的函数关系式；‎ ‎（2）当为何值时，S有最大值，并求出这个最大值．‎ 解：（1）因为AB⊥OP，所以在Rt△OAB中，AB＝OAsinθ＝2sinθ，OB＝OAcosθ＝2cosθ，‎ ‎，…………………………（2分）‎ 因为，所以；‎ 同理：；…………（4分）‎ 从而S关于θ的解析式为 S＝S△ABO+S△ACO＝sin2θ+sin（﹣2θ），（0＜θ＜）；…（6分）（不写定义域扣1分）‎ ‎（2）化简函数 ‎＝‎ ‎＝‎ ‎＝‎ ‎＝‎ ‎＝，………………………………………（10分）‎ 因为，所以，‎ 故当，即时S有最大值，最大值为．‎ 答：当θ为时，面积S有最大值，最大值为．……………………（12分）‎ ‎22．（本题满分12分）‎ 已知圆C经过A(﹣2，0)，B(1，)两点，且圆心C在直线l1：y＝x上．‎ ‎（1）求圆C的方程；‎ ‎（2）已知过点P(1，2)的直线l2与圆C相交截得的弦长为，求直线l2的方程；‎ ‎（3）已知点M(1，1)，在平面内是否存在异于点M的定点N，对于圆C上的任意动 点Q，都有为定值?若存在求出定点N的坐标，若不存在说明理由．‎ 解：（1）因为圆C经过A（﹣2，0），B（1，）两点，且圆心C在直线l1：y＝x上，‎ 设圆C：x2+y2+Dx+Ey+F＝0，‎ 所以（﹣2）2﹣2D+F＝0，12+（）2+D+E+F＝0，﹣＝﹣，‎ 所以D＝E＝0，F＝﹣4．‎ 所以圆C：x2+y2＝4．…………………………（3分）‎ ‎（2）当斜率不存在的时候，x＝1，弦长为2，满足题意；…………………………（4分）‎ 当斜率存在的时候，设l2：y﹣2＝k（x﹣1），即kx﹣y+2﹣k＝0，‎ ‎＝1，k＝，‎ 所以直线l2的方程为：x＝1或3x﹣4y+5＝0．…………………………（6分）‎ ‎（3）设Q（x0，y0），N（m，n），且x02+y02＝4．‎ ‎＝＝，………（8分）‎ 因为为定值，设＝λ，‎ 化简得：（2λ﹣2m）x0+（2λ﹣2n）y0+m2+n2+4﹣6λ＝0，与Q点位置无关，‎ 所以，…………………………（10分）‎ 解得m＝n＝1或m＝n＝2．‎ 所以定点为（2，2）．…………………………（12分）‎