四川省泸州市2020届高三第二次教学质量诊断性考试数学（理）试题 Word版含解析

四川省泸州市2020届高三第二次教学质量诊断性考试数学（理）试题 Word版含解析

www.ks5u.com 泸州市高2017级第二次教学质量诊断性考试 数学（理科）‎ 一、选择题：本大题共有12个小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.‎ ‎1.集合，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用交集的定义直接计算即可.‎ ‎【详解】，故，‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查集合的交运算，注意常见集合的符号表示，本题属于基础题.‎ ‎2.为虚数单位,则的虚部为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数的运算法则计算即可.‎ ‎【详解】，故虚部为.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查复数的运算以及复数的概念，注意复数的虚部为，不是，本题为基础题，也是易错题.‎ ‎3.已知直线与直线则“”是“”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 - 24 -‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用充分必要条件的定义可判断两个条件之间的关系.‎ ‎【详解】若，则，故或，‎ 当时，直线，直线 ，此时两条直线平行；‎ 当时，直线，直线 ，此时两条直线平行.‎ 所以当时，推不出，故“”是“”的不充分条件，‎ 当时，可以推出，故“”是“”的必要条件，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查两条直线的位置关系以及必要不充分条件的判断，前者应根据系数关系来考虑，后者依据两个条件之间的推出关系，本题属于中档题.‎ ‎4.某校团委对“学生性别与中学生追星是否有关”作了一次调查，利用列联表，由计算得,参照下表:‎ ‎0.01‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ 得到正确结论是( )‎ A. 有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星无关”‎ B. 有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星有关”‎ C. 在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“学生性别与中学生追星无关”‎ D. 在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“学生性别与中学生追星有关”‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过与表中的数据6.635的比较，可以得出正确的选项.‎ ‎【详解】解:‎ - 24 -‎ ‎，可得有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星有关”，故选B.‎ ‎【点睛】本题考查了独立性检验的应用问题，属于基础题.‎ ‎5.若，则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用二倍角余弦公式与弦化切即可得到结果．‎ ‎【详解】∵，‎ ‎∴，‎ 故选D ‎【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，同角三角函数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．‎ ‎6.圆柱被一平面截去一部分所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）‎ ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 三视图对应的几何体为如图所示的几何体，利用割补法可求其体积.‎ - 24 -‎ ‎【详解】‎ 根据三视图可得原几何体如图所示，它是一个圆柱截去上面一块几何体，‎ 把该几何体补成如下图所示的圆柱，‎ 其体积为，故原几何体的体积为.‎ ‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查三视图以及不规则几何体的体积，复原几何体时注意三视图中的点线关系与几何体中的点、线、面的对应关系，另外，不规则几何体的体积可用割补法来求其体积，本题属于基础题.‎ ‎7.函数的图象在点处的切线为，则在轴上的截距为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出函数在处的导数后可得曲线在处的切线方程，从而可求切线的纵截距.‎ ‎【详解】，故，‎ 所以曲线在处的切线方程为：.‎ 令，则，故切线的纵截距为.‎ 故选：A.‎ - 24 -‎ ‎【点睛】本题考查导数的几何意义以及直线的截距，注意直线的纵截距指直线与轴交点的纵坐标，因此截距有正有负，本题属于基础题.‎ ‎8.金庸先生的武侠小说《射雕英雄传》第12回中有这样一段情节，“……洪七公道：肉只五种，但猪羊混咬是一般滋味，獐牛同嚼又是一般滋味，一共有几般变化，我可算不出了”.现有五种不同的肉，任何两种（含两种）以上的肉混合后的滋味都不一样，则混合后可以组成的所有不同的滋味种数为（ ）‎ A. 20 B. 24 C. 25 D. 26‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用组合的意义可得混合后所有不同的滋味种数为，再利用组合数的计算公式可得所求的种数.‎ ‎【详解】混合后可以组成的所有不同的滋味种数为（种），‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查组合的应用，此类问题注意实际问题的合理转化，本题属于容易题.‎ ‎9.把函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若函数是偶函数，则实数的最小值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出的解析式，再求出的解析式，根据三角函数图象的对称性可求实数满足的等式，从而可求其最小值.‎ ‎【详解】的图象向右平移个单位长度，‎ - 24 -‎ 所得图象对应的函数解析式为，‎ 故.‎ 令，，解得，.‎ 因为为偶函数，故直线为其图象的对称轴，‎ 令，，故，，‎ 因为，故，当时，.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查三角函数的图象变换以及三角函数的图象性质，注意平移变换是对自变量做加减，比如把的图象向右平移1个单位后，得到的图象对应的解析式为，另外，如果为正弦型函数图象的对称轴，则有，本题属于中档题．‎ ‎10.已知椭圆的短轴长为2，焦距为分别是椭圆的左、右焦点，若点为上的任意一点，则的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出椭圆方程，再利用椭圆的定义得到，利用二次函数的性质可求，从而可得的取值范围.‎ ‎【详解】由题设有，故，故椭圆，‎ - 24 -‎ 因为点为上的任意一点，故.‎ 又，‎ 因为，故，‎ 所以.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的几何性质，一般地，如果椭圆的左、右焦点分别是，点为上的任意一点，则有，我们常用这个性质来考虑与焦点三角形有关的问题，本题属于基础题.‎ ‎11.正的边长为2，将它沿边上的高翻折，使点与点间的距离为，此时四面体的外接球表面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 如图所示，设的中点为，的外接圆的圆心为，四面体的外接球的球心为，连接，利用正弦定理可得，利用球心的性质和线面垂直的性质可得四边形为平行四边形，最后利用勾股定理可求外接球的半径，从而可得外接球的表面积.‎ - 24 -‎ ‎【详解】‎ 如图所示，设的中点为，外接圆的圆心为，四面体的外接球的球心为，连接，则平面，.‎ 因为，故，‎ 因为，故.‎ 由正弦定理可得，故，又因为，故.‎ 因为，故平面，所以，‎ 因为平面，平面，故，故，‎ 所以四边形为平行四边形，所以，‎ 所以，故外接球的半径为，外接球的表面积为.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查平面图形的折叠以及三棱锥外接球表面积的计算，还考查正弦定理和余弦定理，折叠问题注意翻折前后的变量与不变量，外接球问题注意先确定外接球的球心的位置，然后把半径放置在可解的直角三角形中来计算，本题有一定的难度.‎ ‎12.过双曲线左焦点的直线交的左支于两点，直线（是坐标原点）交的右支于点，若，且，则的离心率是（ ）‎ - 24 -‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 如图，设双曲线的右焦点为，连接并延长交右支于，连接，设，利用双曲线的几何性质可以得到，，结合、可求离心率.‎ ‎【详解】‎ 如图，设双曲线的右焦点为，连接，连接并延长交右支于.‎ 因为，故四边形为平行四边形，故.‎ 又双曲线为中心对称图形，故.‎ 设，则，故，故.‎ 因为为直角三角形，故，解得.‎ 在中，有，所以.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查双曲线离心率，注意利用双曲线的对称性（中心对称、轴对称）以及双曲线的定义来构造关于的方程，本题属于难题.‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题纸上）‎ - 24 -‎ ‎13.的展开式中的系数为__________（用具体数据作答）.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用二项展开式的通项公式可求的系数.‎ ‎【详解】的展开式的通项公式为，‎ 令，故，故的系数为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查二项展开式中指定项的系数，注意利用通项公式来计算，本题属于容易题.‎ ‎14.已知变量，满足约束条件，则的最小值为__________．‎ ‎【答案】-5‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出，满足的可行域，当目标函数经过点时，最小，求解即可．‎ ‎【详解】画出，满足的可行域，由解得，当目标函数经过点时，取得最小值为-5.‎ - 24 -‎ ‎【点睛】本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想．需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得．‎ ‎15.的角所对的边分别为，且，，若，则的值为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先利用余弦定理求出，再用正弦定理求出并把转化为与边有关的等式，结合可求的值.‎ ‎【详解】因为，故，因为，所以.‎ 由正弦定理可得三角形外接圆的半径满足，‎ 所以即.‎ 因为，‎ 解得或（舍）.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用，注意结合求解目标对所得的方程组变形整合后整体求解，本题属于中档题.‎ ‎16.已知变量 (m>0)，且，若恒成立，则m的最大值________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 在不等式两边同时取对数，然后构造函数f（x）＝，求函数的导数，研究函数的单调性即可得到结论．‎ - 24 -‎ ‎【详解】不等式两边同时取对数得，‎ 即x2lnx1＜x1lnx2，又 即成立，‎ 设f（x）＝，x∈（0，m），‎ ‎∵x1＜x2，f（x1）＜f（x2），则函数f（x）在（0，m）上为增函数，‎ 函数的导数，‎ 由f′（x）＞0得1﹣lnx＞0得lnx＜1，‎ 得0＜x＜e，‎ 即函数f（x）的最大增区间为（0，e），‎ 则m的最大值为e 故答案为e ‎【点睛】本题考查函数单调性与导数之间的应用，根据条件利用取对数得到不等式,从而可构造新函数，是解决本题的关键 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎17.已知数列的前项和和通项满足.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）已知数列中，，，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）当时，利用可得，故可利用等比数列的通项公式求出的通项.‎ - 24 -‎ ‎（2）利用分组求和法可求数列前项和.‎ ‎【详解】（1）当时，，所以，‎ 当时，，①‎ ‎，②‎ 所以，‎ 即，又因为，故，所以，‎ 所以是首项，公比为的等比数列，‎ 故.‎ ‎（2）由得：数列为等差数列，公差，‎ ‎，，‎ ‎ ‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查数列的通项与求和，注意数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法.‎ ‎18.三棱柱中，平面平面，，点为棱的中点，点为线段 - 24 -‎ 上的动点.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若直线与平面所成角为，求二面角的正切值.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）可证面，从而可得.‎ ‎（2）可证点为线段的三等分点，再过作于，过作，垂足为，则为二面角的平面角，利用解直角三角形的方法可求.也可以建立如图所示的空间直角坐标系，利用两个平面的法向量来计算二面角的平面角的余弦值，最后利用同角三角函数的基本关系式可求.‎ ‎【详解】证明：（1）因为为中点，所以.‎ 因为平面平面，平面平面，平面，‎ 所以平面，而平面，故，‎ 又因为，所以，则，‎ 又，故面，又面，所以.‎ ‎（2）由（1）可得：面在面内的射影为，‎ 则为直线与平面所成的角，即.‎ - 24 -‎ 因为，所以，所以，所以，‎ 即点为线段的三等分点.‎ 解法一：过作于，则平面，‎ 所以，过作，垂足为，‎ 则为二面角的平面角,‎ 因为，，，‎ 则在中，有，‎ 所以二面角的平面角的正切值为.‎ 解法二：以点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 则，‎ 设点，由得：，‎ 即，，，点，‎ 平面的一个法向量，‎ 又，，‎ 设平面的一个法向量为，‎ 则，令，则平面的一个法向量为.‎ 设二面角的平面角为，则，‎ 即，所以二面角的正切值为.‎ - 24 -‎ ‎【点睛】线线垂直的判定可由线面垂直得到，也可以由两条线所成的角为得到，而线面垂直又可以由面面垂直得到，解题中注意三种垂直关系的转化. 空间中的角的计算，可以建立空间直角坐标系把角的计算归结为向量的夹角的计算，也可以构建空间角，把角的计算归结平面图形中的角的计算.‎ ‎19.在直角坐标系中，已知点，若以线段为直径的圆与轴相切.‎ ‎（1）求点的轨迹的方程；‎ ‎（2）若上存在两动点（A，B在轴异侧）满足，且的周长为，求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设，则由题设条件可得，化简后可得轨迹的方程.‎ ‎（2）设直线，联立直线方程和抛物线方程后利用韦达定理化简并求得，结合焦半径公式及弦长公式可求的值及的长.‎ ‎【详解】（1）设，则圆心坐标为，‎ 因为以线段为直径的圆与轴相切，‎ 所以，‎ - 24 -‎ 化简得的方程为.‎ ‎(2)由题意，设直线，‎ 联立得，‎ 设 （其中）‎ 所以，，且，‎ 因为，所以，‎ ‎，所以，故或 （舍），‎ 直线，‎ 因为的周长为 所以.‎ 即，‎ 因为.‎ 又，‎ 所以，‎ 解得，‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题考查曲线方程以及抛物线中的弦长计算，还涉及到向量的数量积.一般地，抛物线中的弦长问题，一般可通过联立方程组并消元得到关于或的一元二次方程，再把已知等式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有或，最后利用韦达定理把关系式转化为某一个变量的方程.本题属于中档题.‎ - 24 -‎ ‎20.为了解广大学生家长对校园食品安全的认识，某市食品安全检测部门对该市家长进行了一次校园食品安全网络知识问卷调查，每一位学生家长仅有一次参加机会，现对有效问卷进行整理，并随机抽取出了200份答卷，统计这些答卷的得分（满分：100分）制出的频率分布直方图如图所示，由频率分布直方图可以认为，此次问卷调查的得分服从正态分布，其中近似为这200人得分的平均值（同一组数据用该组区间的中点值作为代表）.‎ ‎（1）请利用正态分布的知识求；‎ ‎（2）该市食品安全检测部门为此次参加问卷调查的学生家长制定如下奖励方案：‎ ‎①得分不低于的可以获赠2次随机话费，得分低于的可以获赠1次随机话费：‎ ‎②每次获赠的随机话费和对应的概率为：‎ 获赠的随机话费（单位：元）‎ 概率 市食品安全检测部门预计参加此次活动的家长约5000人，请依据以上数据估计此次活动可能赠送出多少话费？‎ 附：①；②若；则，，.‎ ‎【答案】（1）；（2）估计此次活动可能赠送出100000元话费 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据正态分布的性质可求的值.‎ - 24 -‎ ‎（2）设某家长参加活动可获赠话费为元，利用题设条件求出其分布列，再利用公式求出其期望后可得计此次活动可能赠送出的话费数额.‎ ‎【详解】（1）根据题中所给的统计表，结合题中所给的条件，可以求得 又，，‎ 所以 ‎；‎ ‎（2）根据题意，某家长参加活动可获赠话费的可能值有10，20，30，40元，且每位家长获得赠送1次、2次话费的概率都为，‎ 得10元的情况为低于平均值，概率，‎ 得20元的情况有两种，得分低于平均值，一次性获20元话费；得分不低于平均值，2次均获赠10元话费，概率，‎ 得30元的情况为：得分不低于平均值，一次获赠10元话费，另一次获赠20元话费，其概率为，‎ 得40元的其情况得分不低于平均值，两次机会均获20元话费，概率为.‎ 所以变量的分布列为：‎ 某家长获赠话费的期望为.‎ 所以估计此次活动可能赠送出100000元话费.‎ - 24 -‎ ‎【点睛】本题考查正态分布、离散型随机变量的分布列及数学期望，注意与正态分布有关的计算要利用该分布的密度函数图象的对称性来进行，本题属于中档题.‎ ‎21.已知函数.‎ ‎（1）求证：当时，；‎ ‎（2）若对任意存在和使成立，求实数的最小值.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）不等式等价于，设，利用导数可证恒成立，从而原不等式成立.‎ ‎（2）由题设条件可得在上有两个不同零点，且，利用导数讨论的单调性后可得其最小值，结合前述的集合的包含关系可得的取值范围.‎ ‎【详解】（1）设，则，‎ 当时，由，所以在上是减函数，‎ 所以，故.‎ 因为，所以，所以当时，.‎ ‎（2）由（1）当时，；‎ 任意，存在和使成立，‎ 所以在上有两个不同零点，且，‎ ‎（1）当时，在上为减函数，不合题意；‎ ‎（2）当时，，‎ 由题意知上不单调，‎ - 24 -‎ 所以，即，‎ 当时，，时，，‎ 所以在上递减，在上递增，‎ 所以，解得，‎ 因为，所以成立，‎ 下面证明存在，使得，‎ 取，先证明，即证，‎ 令，则在时恒成立，‎ 所以成立，‎ 因为，‎ 所以时命题成立.‎ 因为，所以.‎ 故实数最小值为.‎ ‎【点睛】本题考查导数在不等式恒成立、等式能成立中的应用，前者注意将欲证不等式合理变形，转化为容易证明的新不等式，后者需根据等式能成立的特点确定出函数应该具有的性质，再利用导数研究该性质，本题属于难题.‎ ‎22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数)是曲线上的动点，点满足.‎ ‎（1）求点的轨迹方程；‎ ‎（2）在以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，射线与曲线 - 24 -‎ 交于不同于原点的点求.‎ ‎【答案】（1） ；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)先设出点的坐标,然后根据点满足的条件代入曲线的方程即可求出曲线的方程;（2）根据(1)将求出曲线的极坐标方程,分别求出射线与的交点的极径为,以及射线与的交点的极径为,最后根据求出所求.‎ ‎【详解】（1）设,则由条件知.由于M点在上, 所以即 从而的参数方程为 . (2)曲线的极坐标方程为,曲线的极坐标方程为. 射线与的交点A的极径为, 射线与的交点B的极径为. 所以.‎ ‎【点睛】本题考查点的极坐标和直角坐标的互化,以及轨迹方程的求解和线段的度量,属于中档题.求解时既可以化成直角坐标方程求解，也可以直接求解，关键是掌握两种坐标系下的曲线与方程的关系与其他知识的联系，是基础题．‎ ‎23.已知.‎ ‎（1）解不等式；‎ - 24 -‎ ‎（2）若均为正数，且，求的最小值.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用零点分段讨论法可求不等式的解.‎ ‎（2）利用柯西不等式可求的最小值.‎ ‎【详解】（1），‎ 由得或或，‎ 解得.‎ ‎（2），‎ 所以，‎ 由柯西不等式得：‎ 所以，‎ 即 （当且仅当时取“=”）.‎ 所以的最小值为.‎ ‎【点睛】本题考查绝对值不等式的解法以及利用柯西不等式求最值.解绝对值不等式的基本方法有零点分段讨论法、图象法、平方法等，利用零点分段讨论法时注意分类点的合理选择，利用平方去掉绝对值符号时注意代数式的正负，而利用图象法求解时注意图象的正确刻画．利用柯西不等式求最值时注意把原代数式配成平方和的乘积形式，本题属于中档题.‎ - 24 -‎ - 24 -‎