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文档介绍
【数学】2020届一轮复习(文)人教通用版4-2同角三角函数基本关系式及诱导公式学案
§4.2 同角三角函数基本关系式及诱导公式 最新考纲 考情考向分析 1.理解同角三角函数的基本关系式:sin2x+cos2x=1,=tan x. 2.能利用单位圆中的三角函数线推导出±α,π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式. 考查利用同角三角函数的基本关系、诱导公式解决条件求值问题,常与三角恒等变换相结合起到化简三角函数关系的作用,强调利用三角公式进行恒等变形的技能以及基本的运算能力.题型为选择题和填空题,低档难度. 1.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系:sin2α+cos2α=1. (2)商数关系:=tan α(α≠+kπ,k∈Z). 2.诱导公式 公式 一 二 三 四 五 角 2kπ+α(k∈Z) -α (2k+1)π+α(k∈Z) +α -α 正弦 sin α -sin α -sin α cos α cos α 余弦 cos α cos α -cos α -sin α sin α 正切 tan α -tan α tan α -cot α cot α 口诀 函数名不变 符号看象限 函数名改变 符号看象限 概念方法微思考 1.使用平方关系求三角函数值时,怎样确定三角函数值的符号? 提示 根据角所在象限确定三角函数值的符号. 2.诱导公式记忆口诀:“奇变偶不变,符号看象限”中的奇、偶是何意义? 提示 所有诱导公式均可看作k·±α(k∈Z)和α的三角函数值之间的关系,口诀中的奇、偶指的是此处的k是奇数还是偶数. 题组一 思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若α,β为锐角,则sin2α+cos2β=1.( × ) (2)若α∈R,则tan α=恒成立.( × ) (3)sin(π+α)=-sin α成立的条件是α为锐角.( × ) (4)若sin(kπ-α)=(k∈Z),则sin α=.( × ) 题组二 教材改编 2.若sin α=,<α<π,则tan α= . 答案 - 解析 ∵<α<π, ∴cos α=-=-, ∴tan α==-. 3.已知tan α=2,则的值为 . 答案 3 解析 原式===3. 4.化简·sin(α-π)·cos(2π-α)的结果为 . 答案 -sin2α 解析 原式=·(-sin α)·cos α=-sin2α. 题组三 易错自纠 5.已知sin αcos α=,且<α<,则cos α-sin α的值为 . 答案 解析 ∵<α<,∴cos α<0,sin α<0且cos α>sin α, ∴cos α-sin α>0. 又(cos α-sin α)2=1-2sin αcos α=1-2×=, ∴cos α-sin α=. 6.(2018·鄂尔多斯诊断)已知α为锐角,cos=,则cos(π+α)= . 答案 - 解析 ∵cos=sin α=,且α为锐角, ∴cos α=,∴cos(π+α)=-cos α=-. 7.已知cos α=,-<α<0,则的值为 . 答案 解析 ∵-<α<0, ∴sin α=- =-, ∴tan α=-2. 则= =-==. 题型一 同角三角函数基本关系式的应用 1.已知α是第四象限角,sin α=-,则tan α等于( ) A.- B. C.- D. 答案 C 解析 因为α是第四象限角,sin α=-, 所以cos α==, 故tan α==-. 2.若tan α=,则cos2α+2sin 2α等于( ) A. B. C.1 D. 答案 A 解析 tan α=,则cos2α+2sin 2α===. 3.若角α的终边落在第三象限,则+的值为( ) A.3 B.-3 C.1 D.-1 答案 B 解析 由角α的终边落在第三象限, 得sin α<0,cos α<0, 故原式=+=+=-1-2=-3. 4.已知cos x+sin x=,x∈(0,π),则tan x等于( ) A.- B.- C.2 D.-2 答案 A 解析 由cos x+sin x=,sin2x+cos2x=1,x∈(0,π),解得sin x=,cos x=-,所以tan x=-. 思维升华 (1)利用sin2α+cos2α=1可实现正弦、余弦的互化,开方时要根据角α所在象限确定符号;利用=tan α可以实现角α的弦切互化. (2)应用公式时注意方程思想的应用:对于sin α+cos α,sin αcos α,sin α-cos α这三个式子,利用(sin α±cos α)2=1±2sin αcos α,可以知一求二. (3)注意公式逆用及变形应用:1=sin2α+cos2α,sin2α=1-cos2α,cos2α=1-sin2α. 题型二 诱导公式的应用 例1 (1)已知A=+(k∈Z),则A的值构成的集合是( ) A.{1,-1,2,-2} B.{-1,1} C.{2,-2} D.{1,-1,0,2,-2} 答案 C 解析 当k为偶数时,A=+=2; 当k为奇数时,A=-=-2. (2)化简: = . 答案 -1 解析 原式= ==-1. 思维升华 (1)诱导公式的两个应用 ①求值:负化正,大化小,化到锐角为终了. ②化简:统一角,统一名,同角名少为终了. (2)含2π整数倍的诱导公式的应用 由终边相同的角的关系可知,在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算.如cos(5π-α)=cos(π-α)=-cos α. 跟踪训练1 (1)已知角α终边上一点P(-4,3),则 的值为 . 答案 - 解析 原式==tan α, 根据三角函数的定义得tan α=-. (2)已知f(α)=(sin α≠0,1+2sin α≠0),则f= . 答案 解析 ∵f(α)= ===, ∴f====. 题型三 同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用 例2 (1)(2018·铁岭模拟)已知cos=,且-π<α<-,则cos等于( ) A. B. C.- D.- 答案 D 解析 因为+=, 所以cos=sin=sin. 因为-π<α<-,所以-<α+<-. 又cos=>0,所以-<α+<-, 所以sin=- =-=-. (2)已知-π查看更多