【数学】2019届一轮复习北师大版理科第一章第2节命题及其关系、充分条件与必要条件学案

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文档介绍

【数学】2019届一轮复习北师大版理科第一章第2节命题及其关系、充分条件与必要条件学案

第 2 节 命题及其关系、充分条件与必要条件 最新考纲 1.理解命题的概念,了解“若 p,则 q”形式的命题及其逆命题、否 命题与逆否命题,会分析四种命题的相互关系;2.理解充分条件、必要条件与充 要条件的含义. 知 识 梳 理 1.命题 可以判断真假、用文字或符号表述的语句叫作命题,其中判断为真的语句叫作真 命题,判断为假的语句叫作假命题. 2.四种命题及其相互关系 (1)四种命题间的相互关系 (2)四种命题的真假关系 ①两个命题互为逆否命题,它们具有相同的真假性. ②两个命题为互逆命题或互否命题时,它们的真假性没有关系. 3.充分条件、必要条件与充要条件的概念 若 p⇒q,则 p 是 q 的充分条件,q 是 p 的必要条件 p 是 q 的充分不必要条件 p⇒q 且 q p p 是 q 的必要不充分条件 p q 且 q⇒p p 是 q 的充要条件 p⇔q p 是 q 的既不充分也不必要条件 p q 且 q p [常用结论与微点提醒] 1.否命题与命题的否定:否命题是既否定条件,又否定结论,而命题的否定是只 否定命题的结论. 2.区别 A 是 B 的充分不必要条件(A⇒B 且 B A),与 A 的充分不必要条件是 B(B⇒A 且 A B)两者的不同. 3.A 是 B 的充分不必要条件⇔綈 B 是綈 A 的充分不必要条件. 4.充要关系与集合的子集之间的关系,设 A={x|p(x)},B={x|q(x)}, (1)若 A⊆B,则 p 是 q 的充分条件,q 是 p 的必要条件. (2)若 AB,则 p 是 q 的充分不必要条件,q 是 p 的必要不充分条件. (3)若 A=B,则 p 是 q 的充要条件. 诊 断 自 测 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)“x2+2x-3<0”是命题.(  ) (2)命题“若 p,则 q”的否命题是“若 p,则綈 q”.(  ) (3)当 q 是 p 的必要条件时,p 是 q 的充分条件.(  ) (4)“若 p 不成立,则 q 不成立”等价于“若 q 成立,则 p 成立”.(  ) 解析 (1)错误.该语句不能判断真假,故该说法是错误的. (2)错误.否命题既否定条件,又否定结论. 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√ 2.(教材练习引申)命题“若 α=π 4 ,则 tan α=1”的逆否命题是(  ) A.若 α≠π 4 ,则 tan α≠1 B.若 α=π 4 ,则 tan α≠1 C.若 tan α≠1,则 α≠π 4 D.若 tan α≠1,则 α=π 4 解析 命题“若 p,则 q”的逆否命题是“若綈 q,则綈 p”,显然綈 q:tan α≠ 1,綈 p:α≠π 4 ,所以该命题的逆否命题是“若 tan α≠1,则 α≠π 4 ”. 答案 C 3.(2017·天津卷)设 x∈R,则“2-x≥0”是“|x-1|≤1”的(  ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 由 2-x≥0,得 x≤2,由|x-1|≤1,得 0≤x≤2. 当 x≤2 时不一定有 x≥0,而当 0≤x≤2 时一定有 x≤2, ∴“2-x≥0”是“|x-1|≤1”的必要而不充分条件. 答案 B 4.(2017·北京卷)能够说明“设 a,b,c 是任意实数.若 a>b>c,则 a+b>c”是假命 题的一组整数 a,b,c 的值依次为________. 解析 a>b>c,取 a=-2,b=-4,c=-5, 则 a+b=-60,则函数 f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定义域内是减函数”是真命 题; ②命题“若 a=0,则 ab=0”的否命题是“若 a≠0,则 ab≠0”; ③命题“若 x,y 都是偶数,则 x+y 也是偶数”的逆命题为真命题; ④命题“若 a∈M,则 b∉M”与命题“若 b∈M,则 a∉M”等价. 解析 ①不正确.由 log2a>0,得 a>1,∴f(x)=logax 在其定义域内是增函数. ②正确.由命题的否命题定义知,该说法正确. ③不正确,原命题的逆命题为:“若 x+y 是偶数,则 x,y 都是偶数”,是假命 题,如 1+3=4 为偶数,但 1 和 3 均为奇数.④正确.两者互为逆否命题,因此两 命题等价. 答案 ②④ 规律方法 1.写一个命题的其他三种命题时,需注意: (1)对于不是“若 p,则 q”形式的命题,需先改写; (2)若命题有大前提,写其他三种命题时需保留大前提. 2.(1)判断一个命题为真命题,要给出推理证明;判断一个命题是假命题,只需 举出反例. (2)根据“原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假”这一性质, 当一个命题直接判断不易时,可间接判断. 【训练 1】 (1)原命题为“若 z1,z2 互为共轭复数,则|z1|=|z2|”,关于其逆命题、 否命题、逆否命题真假性的判断依次如下,正确的是(  ) A.真、假、真 B.假、假、真 C.真、真、假 D.假、假、假 (2)(2018·广东广雅中学联考)给出下列命题: ①“存在 x0∈R,x20-x0+1≤0”的否定; ②“若 x2+x-6≥0,则 x>2”的否命题; ③命题“若 x2-5x+6=0,则 x=2”的逆否命题. 其中真命题的个数是(  ) A.0 B.1 C.2 D.3 解析 (1)由共轭复数的性质,|z1|=|z2|,∴原命题为真,因此其逆否命题为真; 取 z1=1,z2=i,满足|z1|=|z2|,但是 z1,z2 不互为共轭复数,∴其逆命题为假, 故其否命题也为假. (2)①的否定是“任意 x∈R,x2-x+1>0”是真命题,①正确;②的否命题是“若 x2+x-6<0,则 x≤2”,由 x2+x-6<0,得-30,y∈R,则“x>y”是“x>|y|”的(  ) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 解析 (1)存在负数 λ,使得 m=λn,则 m·n=λn·n= λ|n|2<0,因而是充分条件, 反之 m·n<0,不能推出 m,n 方向相反,则不是必要条件. (2)x>y⇒ x>|y|(如 x=1,y=-2). 但 x>|y|时,能有 x>|y|≥y. ∴“x>y”是“x>|y|”的必要不充分条件. 答案 (1)A (2)C 规律方法 充要条件的三种判断方法 (1)定义法:根据 p⇒q,q⇒p 进行判断. (2)集合法:根据使 p,q 成立的对象的集合之间的包含关系进行判断. (3)等价转化法:根据一个命题与其逆否命题的等价性,把判断的命题转化为其 逆否命题进行判断.这个方法特别适合以否定形式给出的问题. 【训练 2】 (1)(2018·江西九江十校联考)已知函数 f(x)= {ex,x ≥ -1, ln(-x),x < -1, 则“x=0”是“f(x)=1”的(  ) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 (2)(2017·浙江卷)已知等差数列{an}的公差为 d,前 n 项和为 Sn,则“d>0”是“S4 +S6>2S5”的(  ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 (1)若 x=0,则 f(0)=e0=1;若 f(x)=1,则 ex=1 或 ln(-x)=1,解得 x=0 或 x=-e.故“x=0”是“f(x)=1”的充分不必要条件. (2)由 S4+S6-2S5=S6-S5-(S5-S4)=a6-a5=d, 当 d>0 时,则 S4+S6-2S5>0,即 S4+S6>2S5; 反之,S4+S6>2S5,可得 d>0.所以“d>0”是“S4+S6>2S5”的充要条件. 答案 (1)B (2)C 考点三 充分条件、必要条件的应用(典例迁移) 【例 3】 (经典母题)已知 P={x|x2-8x-20≤0},非空集合 S={x|1-m≤x≤1+ m}.若 x∈P 是 x∈S 的必要条件,求 m 的取值范围. 解 由 x2-8x-20≤0,得-2≤x≤10, ∴P={x|-2≤x≤10}. ∵x∈P 是 x∈S 的必要条件,则 S⊆P. ∴{1-m ≥ -2, 1+m ≤ 10, 解得 m≤3. 又∵S 为非空集合,∴1-m≤1+m,解得 m≥0. 综上,可知当 0≤m≤3 时,x∈P 是 x∈S 的必要条件. 【迁移探究 1】 本例条件不变,问是否存在实数 m,使 x∈P 是 x∈S 的充要条 件?并说明理由. 解 由例题知 P={x|-2≤x≤10}. 若 x∈P 是 x∈S 的充要条件,则 P=S, ∴{1-m=-2, 1+m=10, ∴{m=3, m=9, 这样的 m 不存在. 【迁移探究 2】 本例条件不变,若綈 P 是綈 S 的必要不充分条件,求实数 m 的 取值范围. 解 由例题知 P={x|-2≤x≤10}. ∵綈 P 是綈 S 的必要不充分条件, ∴P 是 S 的充分不必要条件, ∴P⇒S 且 S P. ∴[-2,10][1-m,1+m]. ∴{1-m ≤ -2, 1+m > 10 或{1-m < -2, 1+m ≥ 10, ∴m≥9,则 m 的取值范围是[9,+∞). 规律方法 充分条件、必要条件的应用,一般表现在参数问题的求解上.解题时 需注意: (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之 间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解. (2)要注意区间端点值的检验.尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范 围时,不等式是否能够取等号决定端点值的取舍,处理不当容易出现漏解或增解 的现象. 【训练 3】 (2018·西安月考)若 x>2m2-3 是-12m2-3”是“-1b,则 a+c>b+c”的否命题是(  ) A.若 a≤b,则 a+c≤b+c B.若 a+c≤b+c,则 a≤b C.若 a+c>b+c,则 a>b D.若 a>b,则 a+c≤b+c 解析 将条件、结论都否定.命题的否命题是“若 a≤b,则 a+c≤b+c”. 答案 A 2.函数 f(x)在 x=x0 处导数存在.若 p:f′(x0)=0;q:x=x0 是 f(x)的极值点,则(  ) A.p 是 q 的充分必要条件 B.p 是 q 的充分条件,但不是 q 的必要条件 C.p 是 q 的必要条件,但不是 q 的充分条件 D.p 既不是 q 的充分要件,也不是 q 的必要条件 解析 由极值的定义,q⇒p,但 p q.例如 f(x)=x3,在 x=0 处 f′(0)=0,f(x)= x3 是增函数,x=0 不是函数 f(x)=x3 的极值点. 因此 p 是 q 的必要不充分条件. 答案 C 3.(2016·山东卷)已知直线 a,b 分别在两个不同的平面 α ,β内,则“直线 a 和 直线 b 相交”是“平面 α 和平面 β 相交”的(  ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 由题意知 a⊂α,b⊂β,若 a,b 相交,则 a,b 有公共点,从而 α,β有 公共点,可得出 α,β相交;反之,若 α,β相交,则 a,b 的位置关系可能为平 行、相交或异面. 因此“直线 a 和直线 b 相交”是“平面 α 和平面 β 相交”的充分不必要条件. 答案 A 4.下列结论错误的是(  ) A.命题“若 x2-3x-4=0,则 x=4”的逆否命题为“若 x≠4,则 x2-3x-4≠0” B.“x=4”是“x2-3x-4=0”的充分条件 C.命题“若 m>0,则方程 x2+x-m=0 有实根”的逆命题为真命题 D.命题“若 m2+n2=0,则 m=0 且 n=0”的否命题是“若 m2+n2≠0,则 m≠0 或 n≠0” 解析 C 项命题的逆命题为“若方程 x2+x-m=0 有实根,则 m>0”.若方程有 实根,则 Δ=1+4m≥0, 即 m≥-1 4,不能推出 m>0.所以不是真命题. 答案 C 5.(2018·东北三省四校模拟)原命题:设 a,b,c∈R,若“a>b”,则“ac2>bc2”,以 及它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题共有(  ) A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.4 个 解析 原命题:若 c=0,则不成立,由等价命题同真同假知其逆否命题也为假; 逆命题为设 a,b,c∈R,若“ac2>bc2”,则“a>b”.由 ac2>bc2 知 c2>0,∴由不等式 的基本性质得 a>b,∴逆命题为真,由等价命题同真同假知否命题也为真,∴真 命题共有 2 个. 答案 C 6.(2018·广东省际名校联考)王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲,不 破楼兰终不还”,其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的(  ) A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 “不破楼兰终不还”的逆否命题为:“若返回家乡,则攻破楼兰”,所以 “攻破楼兰”是“返回家乡”的必要条件. 答案 B 7.已知命题 p:x2+2x-3>0;命题 q:x>a,且綈 q 的一个充分不必要条件是 綈 p,则 a 的取值范围是(  ) A.[1,+∞) B.(-∞,1] C.[-1,+∞) D.(-∞,-3] 解析 由 x2+2x-3>0,得 x<-3 或 x>1,由綈 q 的一个充分不必要条件是綈 p,可知綈 p 是綈 q 的充分不必要条件,等价于 q 是 p 的充分不必要条件.故 a≥1. 答案 A 8.(2018·南昌模拟)已知 a,b 都是实数,那么“ a> b”是“ln a>ln b”的(  ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 由 ln a>ln b⇒a>b>0⇒ a> b,故必要性成立. 当 a=1,b=0 时,满足 a> b,但 ln b 无意义,所以 ln a>ln b 不成立,故充分 性不成立. 答案 B 二、填空题 9.“sin α=cos α”是“cos 2α=0”的________条件. 解析 cos 2α=0 等价于 cos2α-sin2α=0,即 cos α=±sin α. 由 cos α=sin α得到 cos 2α=0;反之不成立. ∴“sin α=cos α”是“cos 2α=0”的充分不必要条件. 答案 充分不必要 10.有下列几个命题: ①“若 a>b,则 a2>b2”的否命题;②“若 x+y=0,则 x,y 互为相反数”的逆 命题;③“若 x2<4,则-2 0, a+1 < 4,解得 01 且 y>1,q:实数 x,y 满足 x+y>2,则 p 是 q 的(  ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 若 x>1 且 y>1,则 x+y>2.所以 p⇒q;反之 x+y>2 x>1 且 y=1,例如 x =3,y=0,所以q p. 因此 p 是 q 的充分不必要条件. 答案 A 14.(2018·昆明诊断)下列选项中,说法正确的是(  ) A.若 a>b>0,则 ln a(n+2)·2n-1”的否定是“任意 n∈N+,3n≥(n+2)·2n-1” D.已知函数 f(x)在区间[a,b]上的图像是连续不断的,则命题“若 f(a)·f(b)<0,则 f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点”的逆命题为假命题 解析 ∵函数 y=ln x(x>0)是增函数,∴若 a>b>0,则 ln a>ln b,故 A 错误;若 a⊥b, 则 m+m(2m-1)=0,解得 m=0,故 B 错误;命题“任意 n∈N+,3n>(n+2)·2n- 1”的否定是“存在 n∈N+,3n≤(n+2)·2n-1”,故 C 错误;命题“若 f(a)·f(b)<0, 则 f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点”的逆命题“若 f(x)在区间(a,b)内至少有 一个零点,则 f(a)·f(b)<0”是假命题,如函数 f(x)=x 2-2x-3 在区间[-2,4]上 的图像连续不断,且在区间(-2,4)内有两个零点,但 f(-2)·f(4)>0,D 正确. 答案 D 15.直线 x-y-k=0 与圆(x-1)2+y2=2 有两个不同交点的充要条件是________. 解析 直线 x-y-k=0 与圆(x-1)2+y2=2 有两个不同交点等价于|1-0-k| 2 < 2, 解之得-13(x-m)是 q:x2+3x-4<0 的必要不充 分条件,则实数 m 的取值范围为________. 解析 p 对应的集合 A={x|xm+3},q 对应的集合 B={x|-4
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