【数学】2019届一轮复习北师大版理科第一章第2节命题及其关系、充分条件与必要条件学案
第 2 节 命题及其关系、充分条件与必要条件
最新考纲 1.理解命题的概念，了解“若 p，则 q”形式的命题及其逆命题、否
命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系；2.理解充分条件、必要条件与充
要条件的含义.
知 识 梳 理
1.命题
可以判断真假、用文字或符号表述的语句叫作命题，其中判断为真的语句叫作真
命题，判断为假的语句叫作假命题.
2.四种命题及其相互关系
(1)四种命题间的相互关系
(2)四种命题的真假关系
①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性.
②两个命题为互逆命题或互否命题时，它们的真假性没有关系.
3.充分条件、必要条件与充要条件的概念
若 p⇒q，则 p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件
p 是 q 的充分不必要条件 p⇒q 且 q p
p 是 q 的必要不充分条件 p q 且 q⇒p
p 是 q 的充要条件 p⇔q
p 是 q 的既不充分也不必要条件 p q 且 q p
[常用结论与微点提醒]
1.否命题与命题的否定：否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只
否定命题的结论.
2.区别 A 是 B 的充分不必要条件(A⇒B 且 B A)，与 A 的充分不必要条件是
B(B⇒A 且 A B)两者的不同.
3.A 是 B 的充分不必要条件⇔綈 B 是綈 A 的充分不必要条件.
4.充要关系与集合的子集之间的关系，设 A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，
(1)若 A⊆B，则 p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件.
(2)若 AB，则 p 是 q 的充分不必要条件，q 是 p 的必要不充分条件.
(3)若 A＝B，则 p 是 q 的充要条件.
诊 断 自 测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)“x2＋2x－3<0”是命题.( )
(2)命题“若 p，则 q”的否命题是“若 p，则綈 q”.( )
(3)当 q 是 p 的必要条件时，p 是 q 的充分条件.( )
(4)“若 p 不成立，则 q 不成立”等价于“若 q 成立，则 p 成立”.( )
解析 (1)错误.该语句不能判断真假，故该说法是错误的.
(2)错误.否命题既否定条件，又否定结论.
答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√
2.(教材练习引申)命题“若 α＝π
4 ，则 tan α＝1”的逆否命题是( )
A.若 α≠π
4 ，则 tan α≠1 B.若 α＝π
4 ，则 tan α≠1
C.若 tan α≠1，则 α≠π
4 D.若 tan α≠1，则 α＝π
4
解析 命题“若 p，则 q”的逆否命题是“若綈 q，则綈 p”，显然綈 q：tan α≠
1，綈 p：α≠π
4 ，所以该命题的逆否命题是“若 tan α≠1，则 α≠π
4 ”.
答案 C
3.(2017·天津卷)设 x∈R，则“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析 由 2－x≥0，得 x≤2，由|x－1|≤1，得 0≤x≤2.
当 x≤2 时不一定有 x≥0，而当 0≤x≤2 时一定有 x≤2，
∴“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的必要而不充分条件.
答案 B
4.(2017·北京卷)能够说明“设 a，b，c 是任意实数.若 a>b>c，则 a＋b>c”是假命
题的一组整数 a，b，c 的值依次为________.
解析 a>b>c，取 a＝－2，b＝－4，c＝－5，
则 a＋b＝－6
0，则函数 f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数”是真命
题；
②命题“若 a＝0，则 ab＝0”的否命题是“若 a≠0，则 ab≠0”；
③命题“若 x，y 都是偶数，则 x＋y 也是偶数”的逆命题为真命题；
④命题“若 a∈M，则 b∉M”与命题“若 b∈M，则 a∉M”等价.
解析 ①不正确.由 log2a>0，得 a>1，∴f(x)＝logax 在其定义域内是增函数.
②正确.由命题的否命题定义知，该说法正确.
③不正确，原命题的逆命题为：“若 x＋y 是偶数，则 x，y 都是偶数”，是假命
题，如 1＋3＝4 为偶数，但 1 和 3 均为奇数.④正确.两者互为逆否命题，因此两
命题等价.
答案 ②④
规律方法 1.写一个命题的其他三种命题时，需注意：
(1)对于不是“若 p，则 q”形式的命题，需先改写；
(2)若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提.
2.(1)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需
举出反例.
(2)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，
当一个命题直接判断不易时，可间接判断.
【训练 1】 (1)原命题为“若 z1，z2 互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，关于其逆命题、
否命题、逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )
A.真、假、真 B.假、假、真
C.真、真、假 D.假、假、假
(2)(2018·广东广雅中学联考)给出下列命题：
①“存在 x0∈R，x20－x0＋1≤0”的否定；
②“若 x2＋x－6≥0，则 x>2”的否命题；
③命题“若 x2－5x＋6＝0，则 x＝2”的逆否命题.
其中真命题的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
解析 (1)由共轭复数的性质，|z1|＝|z2|，∴原命题为真，因此其逆否命题为真；
取 z1＝1，z2＝i，满足|z1|＝|z2|，但是 z1，z2 不互为共轭复数，∴其逆命题为假，
故其否命题也为假.
(2)①的否定是“任意 x∈R，x2－x＋1>0”是真命题，①正确；②的否命题是“若
x2＋x－6<0，则 x≤2”，由 x2＋x－6<0，得－30，y∈R，则“x>y”是“x>|y|”的( )
A.充要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
解析 (1)存在负数 λ，使得 m＝λn，则 m·n＝λn·n＝ λ|n|2<0，因而是充分条件，
反之 m·n<0，不能推出 m，n 方向相反，则不是必要条件.
(2)x>y⇒ x>|y|(如 x＝1，y＝－2).
但 x>|y|时，能有 x>|y|≥y.
∴“x>y”是“x>|y|”的必要不充分条件.
答案 (1)A (2)C
规律方法 充要条件的三种判断方法
(1)定义法：根据 p⇒q，q⇒p 进行判断.
(2)集合法：根据使 p，q 成立的对象的集合之间的包含关系进行判断.
(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其
逆否命题进行判断.这个方法特别适合以否定形式给出的问题.
【训练 2】 (1)(2018·江西九江十校联考)已知函数 f(x)＝ {ex，x ≥ －1，
ln（－x），x < －1，
则“x＝0”是“f(x)＝1”的( )
A.充要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
(2)(2017·浙江卷)已知等差数列{an}的公差为 d，前 n 项和为 Sn，则“d＞0”是“S4
＋S6＞2S5”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
解析 (1)若 x＝0，则 f(0)＝e0＝1；若 f(x)＝1，则 ex＝1 或 ln(－x)＝1，解得 x＝0
或 x＝－e.故“x＝0”是“f(x)＝1”的充分不必要条件.
(2)由 S4＋S6－2S5＝S6－S5－(S5－S4)＝a6－a5＝d，
当 d＞0 时，则 S4＋S6－2S5＞0，即 S4＋S6＞2S5；
反之，S4＋S6＞2S5，可得 d＞0.所以“d＞0”是“S4＋S6＞2S5”的充要条件.
答案 (1)B (2)C
考点三 充分条件、必要条件的应用(典例迁移)
【例 3】 (经典母题)已知 P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合 S＝{x|1－m≤x≤1＋
m}.若 x∈P 是 x∈S 的必要条件，求 m 的取值范围.
解 由 x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，
∴P＝{x|－2≤x≤10}.
∵x∈P 是 x∈S 的必要条件，则 S⊆P.
∴{1－m ≥ －2，
1＋m ≤ 10， 解得 m≤3.
又∵S 为非空集合，∴1－m≤1＋m，解得 m≥0.
综上，可知当 0≤m≤3 时，x∈P 是 x∈S 的必要条件.
【迁移探究 1】 本例条件不变，问是否存在实数 m，使 x∈P 是 x∈S 的充要条
件？并说明理由.
解 由例题知 P＝{x|－2≤x≤10}.
若 x∈P 是 x∈S 的充要条件，则 P＝S，
∴{1－m＝－2，
1＋m＝10， ∴{m＝3，
m＝9，
这样的 m 不存在.
【迁移探究 2】 本例条件不变，若綈 P 是綈 S 的必要不充分条件，求实数 m 的
取值范围.
解 由例题知 P＝{x|－2≤x≤10}.
∵綈 P 是綈 S 的必要不充分条件，
∴P 是 S 的充分不必要条件，
∴P⇒S 且 S P.
∴[－2，10][1－m，1＋m].
∴{1－m ≤ －2，
1＋m > 10 或{1－m < －2，
1＋m ≥ 10，
∴m≥9，则 m 的取值范围是[9，＋∞).
规律方法 充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上.解题时
需注意：
(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之
间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.
(2)要注意区间端点值的检验.尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范
围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解
的现象.
【训练 3】 (2018·西安月考)若 x>2m2－3 是－12m2－3”是“－1b，则 a＋c>b＋c”的否命题是( )
A.若 a≤b，则 a＋c≤b＋c B.若 a＋c≤b＋c，则 a≤b
C.若 a＋c>b＋c，则 a>b D.若 a>b，则 a＋c≤b＋c
解析 将条件、结论都否定.命题的否命题是“若 a≤b，则 a＋c≤b＋c”.
答案 A
2.函数 f(x)在 x＝x0 处导数存在.若 p：f′(x0)＝0；q：x＝x0 是 f(x)的极值点，则( )
A.p 是 q 的充分必要条件
B.p 是 q 的充分条件，但不是 q 的必要条件
C.p 是 q 的必要条件，但不是 q 的充分条件
D.p 既不是 q 的充分要件，也不是 q 的必要条件
解析 由极值的定义，q⇒p，但 p q.例如 f(x)＝x3，在 x＝0 处 f′(0)＝0，f(x)＝
x3 是增函数，x＝0 不是函数 f(x)＝x3 的极值点.
因此 p 是 q 的必要不充分条件.
答案 C
3.(2016·山东卷)已知直线 a，b 分别在两个不同的平面 α ，β内，则“直线 a 和
直线 b 相交”是“平面 α 和平面 β 相交”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析 由题意知 a⊂α，b⊂β，若 a，b 相交，则 a，b 有公共点，从而 α，β有
公共点，可得出 α，β相交；反之，若 α，β相交，则 a，b 的位置关系可能为平
行、相交或异面.
因此“直线 a 和直线 b 相交”是“平面 α 和平面 β 相交”的充分不必要条件.
答案 A
4.下列结论错误的是( )
A.命题“若 x2－3x－4＝0，则 x＝4”的逆否命题为“若 x≠4，则 x2－3x－4≠0”
B.“x＝4”是“x2－3x－4＝0”的充分条件
C.命题“若 m>0，则方程 x2＋x－m＝0 有实根”的逆命题为真命题
D.命题“若 m2＋n2＝0，则 m＝0 且 n＝0”的否命题是“若 m2＋n2≠0，则 m≠0
或 n≠0”
解析 C 项命题的逆命题为“若方程 x2＋x－m＝0 有实根，则 m>0”.若方程有
实根，则 Δ＝1＋4m≥0，
即 m≥－1
4，不能推出 m>0.所以不是真命题.
答案 C
5.(2018·东北三省四校模拟)原命题：设 a，b，c∈R，若“a>b”，则“ac2>bc2”，以
及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题共有( )
A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.4 个
解析 原命题：若 c＝0，则不成立，由等价命题同真同假知其逆否命题也为假；
逆命题为设 a，b，c∈R，若“ac2>bc2”，则“a>b”.由 ac2>bc2 知 c2>0，∴由不等式
的基本性质得 a>b，∴逆命题为真，由等价命题同真同假知否命题也为真，∴真
命题共有 2 个.
答案 C
6.(2018·广东省际名校联考)王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不
破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的( )
A.充分条件 B.必要条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析 “不破楼兰终不还”的逆否命题为：“若返回家乡，则攻破楼兰”，所以
“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要条件.
答案 B
7.已知命题 p：x2＋2x－3＞0；命题 q：x＞a，且綈 q 的一个充分不必要条件是
綈 p，则 a 的取值范围是( )
A.[1，＋∞) B.(－∞，1]
C.[－1，＋∞) D.(－∞，－3]
解析 由 x2＋2x－3＞0，得 x＜－3 或 x＞1，由綈 q 的一个充分不必要条件是綈
p，可知綈 p 是綈 q 的充分不必要条件，等价于 q 是 p 的充分不必要条件.故
a≥1.
答案 A
8.(2018·南昌模拟)已知 a，b 都是实数，那么“ a> b”是“ln a>ln b”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析 由 ln a>ln b⇒a>b>0⇒ a> b，故必要性成立.
当 a＝1，b＝0 时，满足 a> b，但 ln b 无意义，所以 ln a>ln b 不成立，故充分
性不成立.
答案 B
二、填空题
9.“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的________条件.
解析 cos 2α＝0 等价于 cos2α－sin2α＝0，即 cos α＝±sin α.
由 cos α＝sin α得到 cos 2α＝0；反之不成立.
∴“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的充分不必要条件.
答案 充分不必要
10.有下列几个命题：
①“若 a>b，则 a2>b2”的否命题；②“若 x＋y＝0，则 x，y 互为相反数”的逆
命题；③“若 x2<4，则－2 0，
a＋1 < 4，解得 01 且 y>1，q：实数 x，y 满足 x＋y>2，则 p 是 q 的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析 若 x>1 且 y>1，则 x＋y>2.所以 p⇒q；反之 x＋y>2 x>1 且 y＝1，例如 x
＝3，y＝0，所以q p.
因此 p 是 q 的充分不必要条件.
答案 A
14.(2018·昆明诊断)下列选项中，说法正确的是( )
A.若 a>b>0，则 ln a(n＋2)·2n－1”的否定是“任意 n∈N+，3n≥(n＋2)·2n－1”
D.已知函数 f(x)在区间[a，b]上的图像是连续不断的，则命题“若 f(a)·f(b)<0，则
f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点”的逆命题为假命题
解析 ∵函数 y＝ln x(x>0)是增函数，∴若 a>b>0，则 ln a>ln b，故 A 错误；若 a⊥b，
则 m＋m(2m－1)＝0，解得 m＝0，故 B 错误；命题“任意 n∈N+，3n>(n＋2)·2n－
1”的否定是“存在 n∈N+，3n≤(n＋2)·2n－1”，故 C 错误；命题“若 f(a)·f(b)<0，
则 f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点”的逆命题“若 f(x)在区间(a，b)内至少有
一个零点，则 f(a)·f(b)<0”是假命题，如函数 f(x)＝x 2－2x－3 在区间[－2，4]上
的图像连续不断，且在区间(－2，4)内有两个零点，但 f(－2)·f(4)>0，D 正确.
答案 D
15.直线 x－y－k＝0 与圆(x－1)2＋y2＝2 有两个不同交点的充要条件是________.
解析 直线 x－y－k＝0 与圆(x－1)2＋y2＝2 有两个不同交点等价于|1－0－k|
2
< 2，
解之得－13(x－m)是 q：x2＋3x－4<0 的必要不充
分条件，则实数 m 的取值范围为________.
解析 p 对应的集合 A＝{x|xm＋3}，q 对应的集合 B＝{x|－4
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