河北省沧州市第一中学2019-2020学年高一下学期学段检测数学试题

河北省沧州市第一中学2019-2020学年高一下学期学段检测数学试题

沧州市第一中学2019—2020学年第二学期第二次学段检测 高一年级数学试题 一.单选题（每题5分）‎ ‎1.在等差数列中，若，则（ ）‎ A. 5 B. ‎10 ‎C. 6 D. 8‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可得，进而可得公差，可得，代入值计算即可.‎ ‎【详解】解：设公差为，‎ ‎∵在等差数列中，，‎ ‎∴，解得，‎ ‎∴公差，‎ ‎∴，‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查等差数列的通项公式，等差数列的性质，属于基础题.‎ ‎2.在中，已知三个内角为，，满足，则（ ）．‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用正弦定理、余弦定理即可得出.‎ ‎【详解】由正弦定理，以及，得，‎ 不妨取，则，又，‎ ‎.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中应用，考查了转化思想，属于基础题．‎ ‎3.在等差数列中，若，是方程的两根，则的前11项的和为（ ）‎ A. 22 B. ‎-33 ‎C. -11 D. 11‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ a5，a7是方程x2－2x－6＝0的两根,则a5＋a7＝2, S11＝=‎11 a6进而得到结果.‎ ‎【详解】等差数列{an}中，若a5，a7是方程x2－2x－6＝0的两根，‎ 则a5＋a7＝2，∴a6＝(a5＋a7)＝1，∴{an}的前11项的和为 S11＝＝‎11a6＝11×1＝11.‎ 故选D.‎ ‎【点睛】点睛：本题考查等差数列的通项公式，是基础的计算题，对于等差数列的小题，常用到的方法，其一是化为基本量即首项和公差，其二是观察各项间的脚码关系，即利用数列的基本性质.‎ ‎4.已知直线，直线，且，则的值为（ ）‎ A. -1 B. C. 或-2 D. -1或-2‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：由两直线平行可知系数满足的值为-1或-2‎ 考点：两直线平行的判定 ‎5.已知等比数列为递增数列，是其前项和.若，，则 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎∵数列为等比数列且，∴，又∵且为递增数列，‎ ‎∴，，则公比，故，故选D.‎ ‎6.不论m为何实数，直线(m-1)x-y+‎2m+1=0恒过定点( )‎ A. B. (-2，0) C. (-2，3) D. (2，3)‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析】‎ 将直线(m−1)x−y+‎2m+1=0可为变为m(x+2)+(−x−y+1)=0，令求两定直线的交点此点即为直线恒过的定点．‎ ‎【详解】直线(m−1)x−y+‎2m+1=0可为变为m(x+2)+(−x−y+1)=0‎ 令，解得.‎ 故无论m为何实数，直线(m−1)x−y+‎2m+1=0恒通过一个定点(−2,3)‎ 故选C.‎ ‎【点睛】探索曲线过定点的常见方法有两种：① 可设出曲线方程 ‎ ‎，然后利用条件建立等量关系进行消元（往往可以化为的形式，根据 求解），借助于曲线系的思想找出定点(直线过定点，也可以根据直线的各种形式的标准方程找出定点). ② 从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.‎ ‎7.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知，a=2，c=，则C=‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：根据诱导公式和两角和的正弦公式以及正弦定理计算即可 详解：sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，‎ ‎∵sinB+sinA（sinC﹣cosC）=0，‎ ‎∴sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC﹣sinAcosC=0，‎ ‎∴cosAsinC+sinAsinC=0，‎ ‎∵sinC≠0，‎ ‎∴cosA=﹣sinA，‎ ‎∴tanA=﹣1，‎ ‎∵＜A＜π，‎ ‎∴A= ，‎ 由正弦定理可得，‎ ‎∵a=2，c=，‎ ‎∴sinC== ，‎ ‎∵a＞c，‎ ‎∴C=，‎ 故选B．‎ 点睛：本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现 及 、 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.‎ ‎8.过直线和的交点，且与直线垂直的直线方程是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先求出两条直线的交点，根据垂直求出直线斜率，再用点斜式即可求出直线方程.‎ ‎【详解】由题意得：‎ ‎，‎ 解得，‎ 直线的斜率是，‎ 故其垂线的斜率是：，‎ ‎∴所求方程是：，‎ 即，‎ 故选：D ‎【点睛】本题主要考查两条直线的交点坐标，以及两直线垂直的应用，属于简单题.‎ ‎9.已知等差数列的前项和为，且，，则使得取最小值时的为（ ）‎ A. 9 B. ‎7 ‎C. 6 D. 6或7‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由得；由得，求出公差，再确定通项，令通项小于等于零即可.‎ ‎【详解】解：等差数列的前项和为，且，‎ ‎，‎ 因为，所以递增数列，取最小值 令 故选：C ‎【点睛】考查等差数列的有关性质及前项和最小值求法，基础题.‎ ‎10.已知点，，直线：与线段相交，则的取值范围为（ ）‎ A. 或 B. 或 C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直线过定点，且与线段相交，利用数形结合法，求出、的斜率，从而得出的取值范围.‎ ‎【详解】解：∵直线的方程可化为，‎ ‎∴直线过定点，且与线段相交，如图所示；‎ 则直线的斜率是，‎ 直线的斜率是，‎ 则直线与线段相交时，它的斜率的取值范围是：‎ 或，又 故选：B .‎ ‎【点睛】本题主要考查了直线方程应用问题，也考查了数形结合的应用问题，属于中档题.‎ ‎11.若，，且，则的最小值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 从题设可得，则，应选答案A．‎ ‎12.直线的倾斜角为（ ）‎ A. 75° B. 105° C. 165° D. 15°‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由得斜率，根据诱导公式化简即可.‎ ‎【详解】解：由，，‎ 故选：C ‎【点睛】考查已知直线方程求直线倾斜角的方法以及诱导公式的用法，基础题.‎ 二.不定项选择题（每题5分，多选错选不给分，少选给3分）‎ ‎13.已知等差数列的前项和为，且，，则下列说法正确的是（ ）‎ A. 最大. B. ‎ C. D. 数列中绝对值最小项为 ‎【答案】ABD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用等差数列的性质推导出，，此数列中绝对值最小的项为，由此能求出结果.‎ ‎【详解】解：∵，，‎ ‎∴，‎ ‎，‎ ‎∴，，‎ 可得，，，故A，B都正确，C错误，‎ 由等差数列的单调性即可得出：此数列中绝对值最小的项为，故D正确.‎ 故选：ABD.‎ ‎【点睛】本题考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题.‎ ‎14.已知数列的前n项和为，且满足，则下列说法正确的是（ ）‎ A. 数列前n项和为 B. 数列的通项公式为 C. 数列为递增数列 D. 数列为递增数列 ‎【答案】AD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据和项与通项关系化简条件，再构造等差数列，利用等差数列定义与通项公式求，最后根据和项与通项关系得.‎ ‎【详解】‎ 因此数列为以为首项，为公差的等差数列，也是递增数列，即D正确；‎ 所以，即A正确；‎ 当时 所以，即B，C不正确；‎ 故选：AD ‎【点睛】本题考查由和项求通项、等差数列定义与通项公式以及数列单调性，考查基本分析论证与求解能力，属中档题.‎ 三.填空题（每题5分）‎ ‎15.过点（1，2)，且与原点距离最大的直线方程为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 过点A（1，2）且与原点距离最大的直线与OA所在直线垂直，再用点斜式方程求解 ‎【详解】根据题意得，过点A（1，2）的直线与直线OA垂直时，直线与原点距离最大，‎ 直线OA的斜率为 ，所以所求直线斜率为 ，‎ 所以由点斜式方程得：y-2=（x-1），‎ 化简得：x+2y-5=0‎ ‎【点睛】本题考查直线方程的求法，解题时要认真审题，注意点到直线的距离最高值的合理理解．‎ ‎16.过点（-1，2）且在坐标轴上的截距相等的直线的一般式方程是______．‎ ‎【答案】2x+y=0或x+y-1=0‎ ‎【解析】‎ 当直线过原点时，斜率等于，故直线的方程为，即，当直线不过原点时，设直线的方程为，把代入直线的方程得，故求得的直线方程为 综上，满足条件的直线方程为 或，故答案为 或.‎ ‎17.设点和，在直线：上找一点，使取到最小值，则这个最小值为__________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出点关于直线：的对称点为，连结，则交直线于点，点即为所求的点，此时，.‎ ‎【详解】解：‎ 设点关于直线：的对称点为 线段的中点在上 则 又，‎ 解得，‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查线段和的最小值的求法，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用，‎ 属于中档题.‎ ‎18.在数列中，，且，则__________‎ ‎【答案】2601‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分为奇数和偶数两种情况讨论，是两个等差数列，然后分组求和.‎ ‎【详解】解：由，‎ 为奇数时，‎ 为偶数时，，此时为公差是2的等差数列 故答案为：2601‎ ‎【点睛】考查对的讨论、等差数列的求和公式以及分组求和，基础题.‎ 四.解答题（每题10分）‎ ‎19.过点的直线与轴正半轴和轴正半轴分别交于，‎ ‎（1）当为的中点时，求的方程 ‎（2）当最小时，求的方程 ‎（3）当面积取到最小值时，求的方程 ‎【答案】（1）（2）（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设，，由为的中点，求出，再写方程. （2）设所求直线的方程为，求出，，表示出，用均值定理即可 ‎（3）设直线的截距式方程为，由用均值定理即可.‎ ‎【详解】解：（1）设，， ‎ ‎∵为的中点，‎ ‎∴，，‎ ‎∴由截距式得的方程为：，‎ 即；‎ ‎（2）设所求直线的方程为，由题意知，‎ 令可得，令可得，‎ 即，.‎ ‎∴，‎ 当且仅当，即时取等号，取最小值为12，‎ 即直线的方程为；‎ ‎（3）由题意设直线的截距式方程为，‎ ‎∵直线过，‎ ‎∴，‎ ‎∴，∴.‎ 当且仅当即且时取等号，‎ ‎∴的面积，‎ ‎∴面积的最小值为12，此时直线的方程为，‎ 即直线的方程为.‎ ‎【点睛】考查考查中点坐标公式、直线的点斜式、直线的截距式、两点距离公式以及均值定理的应用，基础题.‎ ‎20.已知是公差为3的等差数列，数列满足．‎ ‎（Ⅰ）求的通项公式； （Ⅱ）求的前n项和．‎ ‎【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)见解析.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）用等差数列通项公式求；（Ⅱ）求出通项，再利用等比数列求和公式来求.‎ 试题解析：（Ⅰ）由已知，得，所以数列 是首项为2，公差为3的等差数列，通项公式为.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）和得，因此是首项为1，公比为的等比数列.记的前项和为，则 ‎【考点】等差数列与等比数列 ‎【名师点睛】等差、等比数列各有五个基本量,两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程,利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化为解关于基本量的方程（组）,因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题,所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法.‎ ‎21.中，角A，B，C所对边分别是a、b、c，且．‎ ‎(1)求的值；‎ ‎(2)若，求面积的最大值．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)将化简代入数据得到答案.‎ ‎(2)利用余弦定理和均值不等式计算，代入面积公式得到答案.‎ ‎【详解】 ‎ ‎ ‎ ‎；‎ ‎(2)由，可得，‎ 由余弦定理可得，‎ 即有，当且仅当，取得等号．‎ 则面积为．‎ 即有时，的面积取得最大值．‎ ‎【点睛】本题考查了三角恒等变换，余弦定理，面积公式，均值不等式，属于常考题型.‎ ‎22.△ABC的内角的对边分别为,已知△ABC的面积为 ‎(1)求;‎ ‎(2)若求△ABC的周长.‎ ‎【答案】(1)(2) .‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由三角形面积公式建立等式，再利用正弦定理将边化成角，从而得出的值；（2）由和计算出，从而求出角，根据题设和余弦定理可以求出和的值，从而求出的周长为.‎ 试题解析：（1）由题设得，即.‎ 由正弦定理得.‎ 故.‎ ‎（2）由题设及（1）得，即.‎ 所以，故.‎ 由题设得，即.‎ 由余弦定理得，即，得.‎ 故的周长为.‎ 点睛:在处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，当题设中给定三角形的面积，可以使用面积公式建立等式，再将所有边的关系转化为角的关系，有时需将角的关系转化为边的关系；解三角形问题常见的一种考题是“已知一条边的长度和它所对的角，求面积或周长的取值范围”或者“已知一条边的长度和它所对的角，再有另外一个条件，求面积或周长的值”，这类问题的通法思路是：全部转化为角的关系，建立函数关系式，如，从而求出范围，或利用余弦定理以及基本不等式求范围；求具体的值直接利用余弦定理和给定条件即可.‎ ‎23.已知数列的前n项和为，且．‎ ‎(1)求数列的通项公式；‎ ‎(2)若，设数列的前n项和为，证明．‎ ‎【答案】（1）;（2）见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【试题分析】（1）借助题设中的数列递推式探求数列通项之间的关系，再运用等比数列的定义求得通项公式；（2）依据（1）的结论运用错位相减法求解，再借助简单缩放法推证：‎ ‎（1）当时，得，‎ 当时，得 ，‎ 所以，‎ ‎（2）由（1）得： ，‎ 又 ①‎ 得 ②‎ 两式相减得： ，‎ 故 ，‎ 所以 .‎ 点睛：解答本题的思路是充分借助题设条件，先探求数列的的通项公式，再运用错位相减法求解前项和．解答第一问时，先借助题设中的数列递推式探求数列通项之间的关系，再运用等比数列的定义求得通项公式；解答第二问时，先依据（1）中的结论求得，运用错位相减求和法求得，使得问题获解．‎ ‎24.‎ 在等差数列中，已知公差，是与的等比中项.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，记，求.‎ ‎【答案】（1）.（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由题意知，‎ 解得，即得所求.‎ ‎（2）由题意知.‎ 从而得到.‎ 由于.因此应分n为偶数、n为奇数讨论求和 具体的，当n为偶数时，‎ 当n为奇数时，‎ ‎.‎ 试题解析：（1）由题意知，‎ 即，‎ 解得，‎ 所以数列的通项公式为.‎ ‎（2）由题意知.‎ 所以.‎ 因为.‎ 可得，当n为偶数时，‎ 当n为奇数时，‎ 所以.‎ 考点：等差数列、等比数列，数列的求和，分类讨论思想.‎