新教材数学人教B版必修第二册课件：6-2-1　向量的加法运算

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精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 第六章　平面向量及其应用 §6.2　平面向量的运算 6.2.1　向量的加法运算 第 一 篇 教 材 过 关 精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 俄罗斯著名寓言作家克雷洛夫在他所著的《克雷洛夫寓言》中有一篇《天 鹅、梭子鱼和虾》的故事,故事的大意是这样的:有一天,天鹅、梭子鱼和虾一 起拉一车货物,天鹅想,我的家在天上,应该把货物拉到我家,于是,天鹅伸长脖子 拼命往天上飞.梭子鱼想,我的家在河里,应该往 河里拉,于是,梭子鱼使劲往河里拽.虾想,我的家 在池塘里,应该把货送到池塘,于是,虾弓着身子 往池塘拉.他们三个累的精疲力尽,车子却纹丝 不动. 情景导学 精读教材·必备知识 精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 问题1:车子为什么纹丝不动? 答案　天鹅、梭子鱼和虾用力的方向不一致. 问题2:这则故事给我们的启示是什么? 答案　要想成功,就要好好合作,用力方向要合理. 精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 1.向量的加法 (1)定义:求① 的运算,叫做向量的加法.这种求向量和的方法,称为 向量加法的三角形法则. 对于零向量与任意向量a,规定0+a=a+0=a. (2)向量求和的法则: 教材研读 两个向量和 精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 三角形法则 已知非零向量a,b,在平面内任取一点A,作  =a,   =b,则向量  叫做a与b的和,记作② ,即a+ b=  +  =    AB  BC  AC  AB  BC  AC  平行四边形法则 以同一点O为起点的两个已知向量a,b,以OA,OB 为邻边作③ ,则以O为起点的向量  (OC是▱ OACB的对角线)就是向量a与b的和,即   =a+b   OC  OC  a+b ▱ OACB 精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 特别提醒 三角形法则与平行四边形法则的区别与联系 三角形法则 平行四边形法则 区别 满足条件 两向量“首尾相接” 两向量“共起点” 适用范围 所有向量 不共线的两向量 联系 平行四边形法则与三角形法则在本质上是一致的.这两种求向量和的方 法,通过向量平移能相互转化,解决具体问题时视情况而定 精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 2.向量加法的运算律 (1)交换律:a+b=④ . (2)结合律:(a+b)+c=⑤ . 思考:向量加法的运算律与实数加法的运算律相同吗? b+a a+(b+c) 提示　相同. 3.|a|-|b|,|a±b|,|a|+|b|三者的关系 根据三角形的三边关系可得|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当向量a,b方向相同时 取“=”. 精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 探究一　向量加法运算法则的应用 互动探究·关键能力 例1　如图所示,已知向量a、b、c,试作出向量a+b+c.   精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 解析　解法一:如图1所示,首先在平面内任取一点O,作向量  =a,接着作向量   =b,则得向量  =a+b,然后作向量  =c,则向量  =(a+b)+c=a+b+c.   解法二:如图2所示,首先在平面内任取一点O,作向量  =a,  =b,  =c,以OA、 OB为邻边作▱ OADB,连接OD,则  =  +  =a+b,再以OD、OC为邻边作▱ OA  AB  OB  BC  OC  OA  OB  OC  OD  OA  OB  精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 ODEC,连接OE,则  =  +  =a+b+c.   OE  OD  OC  精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 思维突破 向量求和法则的应用技巧 (1)当两个不共线向量求和时,三角形法则和平行四边形法则都可以用. (2)多个向量求和时,可先求两个向量的和,再和其他向量求和. 精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 跟踪训练 1-1　如图(1)、图(2)所示,试作出向量a与b的和.   精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 解析　如图①、图②所示.  即为所求.     OB  精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 探究二　向量加法运算律的应用 例2　化简下列各式: (1)  +  +  +  +  ; (2)(  +  )+  +  +  . AB  DF  CD  BC  FA  AB  DE  CD  BC  EA  精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 解析　(1)  +  +  +  +  =  +  +  +  +  =  +  +  +  =  +  =0. (2)(  +  )+  +  +  =(  +  )+(  +  )+  =  +  +  =  +  =0. AB  DF  CD  BC  FA  AB  BC  CD  DF  FA  AC  CD  DF  FA  AD  DA  AB  DE  CD  BC  EA  AB  BC  CD  DE  EA  AC  CE  EA  AE  EA  精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 跟踪训练 2-1　化简:(  +  )+(  +  )+  =　　　 .AB  MB  BO  BC  OM  解析　(  +  )+(  +  )+  =(  +  )+  +(  +  )=  +  +  =  .AB  MB  BO  BC  OM  AB  BC  MB  BO  OM  AC  MB  BM  AC  精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 探究三　向量加法的实际应用 例3　在某地抗震救灾时,一架飞机先从A地按北偏东35°方向飞行800 km到达 B地接到受伤人员,然后从B地按南偏东55°方向飞行800 km将受伤人员送往C 地医院,求这架飞机飞行的路程及两次飞行的位移的和. 精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 解析　如图所示,设  ,  分别表示飞机从A地按北偏东35°方向飞行800 km 到达B地,从B地按南偏东55°方向飞行800 km到达C地.   则飞机飞行的路程是|  |+|  |,两次飞行的位移的和是  +  =  . AB  BC  AB  BC  AB  BC  AC  精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 依题意,有|  |+|  |=800+800=1 600(km),∠ABC=35°+55°=90°, 所以|  |=  =  =800  (km). 其中∠BAC=45°,所以方向为北偏东35°+45°=80°. 故飞机飞行的路程是1 600 km,两次飞行的位移和的大小为800  km,方向为 北偏东80°. AB  BC  AC  2 2| | | |AB BC  2 2800 800 2 2 精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 思维突破 向量加法解决实际问题的应用技巧 (1)准确画出几何图形,将几何图形中的边转化为向量. (2)将所求问题转化为向量的加法运算,进而利用向量加法的几何意义进行求 解. 精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 跟踪训练 3-1　如图,用两根绳子把重10 N的物体W吊在水平木杆AB上,∠ACW=150°,∠ BCW=120°,求A处和B处所受力的大小(绳子的质量忽略不计).   精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 解析　如图,设  ,  分别表示A,B所受的力,   10 N的重力用  表示,则  +  =  . 易得∠ECG=180°-150°=30°,∠FCG=180°-120°=60°, ∴|  |=|  |×cos 30° CE  CF  CG  CE  CF  CG  CE  CG  精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 =10× =5  (N). |  |=|  |×cos 60°=10× =5(N). 故A处所受的力的大小为5  N,B处所受的力的大小为5 N. 3 2 3 CF  CG  1 2 3 精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 课堂检测 评价检测·素养提升 1.在四边形ABCD中,若  =  +  ,则  (　 　) A.四边形ABCD一定是矩形 B.四边形ABCD一定是菱形 C.四边形ABCD一定是正方形 D.四边形ABCD一定是平行四边形 AC  AB  AD  D 解析　由向量加法的平行四边形法则可知,四边形ABCD必为平行四边形. 精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 2.化简  +  +  +  的结果为  (　 　) A.  　 B.  　 C.  　 D.  OP  PQ  PS  SP  QP  OQ  SP  SQ  B 解析   +  +  +  =  +0=  .OP  PQ  PS  SP  OQ  OQ  精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 3.(多选题)在如图所示的▱ ABCD中,下列结论正确的是  (　　 )   A.  =  　 B.  +  =  C.  =  +  　 D.  +  =0 AB  DC  AD  AB  AC  AB  BD  AD  AD  CB  ABD 解析　由▱ ABCD知A,B,D正确,因为  =  +  ≠  +  ,所以C错误.AB  AD  DB  BD  AD  精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 4.若a表示“向东走8 km”,b表示“向北走8 km”,则|a+b|=　　　 ,a+b的方 向是　　 　 .东北方向 解析　如图所示,作  =a,  =b,   则a+b=  +  =  , 所以|a+b|=|  |=  =8  (km), 因为∠AOB=45°,所以a+b的方向是东北方向. OA  AB  OA  AB  OB  OB  2 28 8 2 精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 5.如图,已知向量a,b,c,求作向量a+b+c.   精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 解析　在平面内任取一点O,作  =a,  =b,  =c,如图所示:   则由向量加法的三角形法则,得   =a+b,  =a+b+c,故  即为所求向量a+b+c. OA  AB  BC  OB  OC  OC  精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 逻辑推理——向量加法的应用 如图,在正六边形OABCDE中,  =a,  =b,试用向量a,b将  ,  ,  表示出来.   OA  OE  OB  OC  OD  素养演练 精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 解析　如图,连接BE,AD,设正六边形的中心为P,则四边形ABPO,AOEP,ABCP, OPDE均为平行四边形.   由向量加法的平行四边形法则得   =  +  =a+b. ∵  =  =  , OP  OA  OE  AB  OP  ED  精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 ∴  =  =a+b. 在△AOB中,根据向量加法的三角形法则, 得  =  +  =a+a+b. 同理,在△OBC中,  =  +  =a+a+b+b, 在△OED中,  =  +  =  +  =b+a+b. 素养探究:用已知向量表示待求向量,可以利用向量的平移性,根据三角形法 AB  ED  OB  OA  AB  OC  OB  BC  OD  OE  ED  OE  OP  则、平行四边形法则,结合正六边形的几何性质转化求解,体现了逻辑推理的 核心素养. 精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 针对训练 P,Q是△ABC的边BC上的两点,且BP=QC.求证:   +  =  +  .AB  AC  AP  AQ  证明　如图,取BC的中点O,连接AO并延长至点D,使OD=AO,连接BD,CD,则四 边形ABDC是平行四边形,所以  +  =  ,又BP=QC,BO=CO,所以PO=QO,连 接PD,QD,则四边形APDQ是平行四边形,所以  +  =  ,所以  +  =  +   . AB  AC  AD  AP  AQ  AD  AB  AC  AP  AQ 