陕西省西安地区2020届高三下学期八校联考理科数学试题(B卷) Word版含解析
- 1 -
西安地区陕师大附中 西安高级中学 西安高新一中 西安交大
附中 西安市 83 中
西安市 85 中 西安市一中 西安铁一中 西安中学 西工大附中
八校联考
2020 届高三年级数学(理科)试题
本试卷共 23 题,共 150 分,共 4 页.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
注意事项:
1. 答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在条形
码区域内.
2. 选择题必须使用 2B 铅笔填涂;非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书
写,字体工整,笔迹清楚.
3. 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;
在草稿纸、试题卷上答题无效.
4. 作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色的签字笔描黑.
5. 保持卡面清洁,不要折叠、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正液、刮纸
刀.
一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,
只有一项是符合题目要求的.
1. 若集合 ,集合 ,则下列各式正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先求解出两个集合,根据两个集合的包含关系即可确定出选项.
详解】 ,
∴ ,
【
{ }| 3xM y y= = ( ){ }| lg 1S x y x= = −
M S M∪ = M S S∪ = M S=
M S∩ = ∅
{ }| 0M y y= > { }| 1S x x= >
S M⊆
- 2 -
∴ ,
故选:A.
【点睛】本题考查了集合之间的关系及集合的运算,属于简单题目,解题时主要是根据两个
集合中元素所满足的条件确定出两个集合,再确定出两个集合之间的包含关系.
2. 若 ,则 所对应的的象限为( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】
先根据 ,利用复数的模和除法运算求得复数 ,再利用复数的几何
意义求解.
【详解】 ,
∴ ,
故选:D.
【点睛】本题主要考查复数的运算以及复数的几何意义,属于基础题.
3. 某城市收集并整理了该市 2019 年 1 月份至 10 月份各月最低气温与最高气温(单位: )
的数据,绘制了下面的折线图.已知该市的各月最低气温与最高气温具有较好的线性关系,则
根据该折线图,下列结论错误的是( )
A. 最低气温与最高气温为正相关
B. 10 月的最高气温不低于 5 月的最高气温
C. 最低气温低于 的月份有 4 个
D. 月温差(最高气温减最低气温)的最大值出现在 1 月
M S M∪ =
( )2 4 3i z i− = − + z
( )2 4 3i z i− = − + 2+z i=
( )2 4 3i z i− = − +
( )
( )( )
5 25 22 2 2
iz ii i i
+∴ = = = +− − +
2z i= −
C°
0 C°
- 3 -
【答案】C
【解析】
【分析】
由该市 2019 年 1 月份至 10 月份各月最低气温与最高气温(单位: 的数据的折线图,得最
低气温低于 的月份有 3 个.
【详解】解:由该市 2017 年 1 月份至 10 月份各月最低气温与最高气温(单位: 的数据的
折线图,得:
在 中,最低气温与最高气温为正相关,故 正确;
在 中,10 月的最高气温不低于 5 月的最高气温,故 正确;
在 中,最低气温低于 的月份有 3 个,故 错误.
在 中,月温差(最高气温减最低气温)的最大值出现在 1 月,故 正确;
故选: .
【点睛】本题考查命题真假的判断,考查折线图等基础知识,考查运算求解能力,考查数形
结合思想,属于基础题.
4. 将 3 本相同的小说,2 本相同的诗集全部分给 4 名同学,每名同学至少 1 本,则不同的分
法有( )
A. 24 种 B. 28 种 C. 32 种 D. 36 种
【答案】B
【解析】
试题分析:第一类:有一个人分到一本小说和一本诗集,这种情况下的分法有:先将一本小
说和一本诗集分到一个人手上,有 种分法,将剩余的 本小说, 本诗集分给剰余 个同学,
有 种分法,那共有 种;第二类:有一个人分到两本诗集,这种情况下的分法有:
先两本诗集分到一个人手上,有 种情况,将剩余的 本小说分给剩余 个人,只有一种分法,
那共有: 种,第三类:有一个人分到两本小说,这种情况的分法有:先将两本小说分
到一个人手上,有 种情况,再将剩余的两本诗集和一本小说分给剩余的 个人,有 种分法,
那共有: 种,综上所述:总共有: 种分法,故选 B.
考点:1、分布计数乘法原理;2、分类计数加法原理.
C)°
0 C°
C)°
A A
B B
C 0 C° C
D D
C
4 2 1 3
3 3 4 12× =
4 3 3
4 1 4× =
4 3 3
4 3 12× = 12 4 12 28+ + =
- 4 -
【方法点睛】本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用,属于难题.有关
排列组合的综合问题,往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题,解答这类问
题理解题意很关键,一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、
“是排列还是组合”,在应用分类计数加法原理讨论时,既不能重复交叉讨论又不能遗漏,这样
才能提高准确率.
5. 函数 的图像的大致形状是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
化简函数解析式,利用指数函数的性质判断函数的单调性,即可得出答案.
【详解】根据
(0 1)| |
xxay ax
= < <
0 1a< <
- 5 -
,
是减函数, 是增函数.
在 上单调递减,在 上单调递增
故选:D.
【点睛】本题主要考查了根据函数表达式求函数图象,解题关键是掌握指数函数图象的特征,
考查了分析能力和计算能力,属于中档题.
6. 在三棱锥 P-ABC 中,平面 PAC⊥平面 ABC,∠PCA=90°,△ABC 是边长为 4 的正三角形,PC
=4,M 是 AB 边上的一动点,则 PM 的最小值为( )
A. 2 B. 2
C. 4 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】
构造△PCM,根据面面垂直以及线面垂直的性质,△PCM 是直角三角形,根据点到直线的垂线
段最短,当 M 是 AB 的中点时,CM 的长最小,此时 PM 的长最小.
【详解】如图,连接 CM,
则由题意 PC⊥平面 ABC,
可得 PC⊥CM,所以 PM= ,
(0 1)| |
xxay ax
= < <
, 0
, 0
x
x
a xy
a x
>∴ = − <
0 1a< <
∴ xy a= xy a= −
(0 1)| |
xxay ax
= < < (0 )+ ∞, ( )0−∞,
3 7
7 3
2 2PC CM+
- 6 -
要求 PM 的最小值只需求出 CM 的最小值即可.
在△ABC 中,当 CM⊥AB 时,CM 有最小值,
此时有 CM=
所以 PM 的最小值为
【点睛】本题考查了面面垂直及线面垂直的性质,考查了点到直线的距离中垂线段最短;已
知面面垂直时,一般先从现有的线段中寻找平面的垂线,若图中不存在,再作辅助线.
7. 我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”,设△ABC 三
个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,面积为 S,则“三斜求积”公式为 S=
.若 a2sinC=4sinA,(a+c)2=12+b2,则用“三斜求积”公式
求得△ABC 的面积为( )
A. B. 2 C. 3 D.
【答案】A
【解析】
由 正 弦 定 理 得 , 且 , 代 入 面 积 公 式 得
.
点睛:本题主要考查中国古代数学史,考查正弦定理的应用,考查新定义公式的理解和应用.
由于题目已经给出三角形的面积公式,我们只需在题目中找到公式中需要的条件,即可求出
三角形的面积.在两个已知条件中,第一个应用正弦定理可以转化为边的关系,第二个可直接
求值,将这两个代入三角形面积公式,即可得出结论.
8. 如果 ,那么 的取值范围为( )
A. B.
C. D.
【答案】B
34 2 32
× =
2 7
2 2 2
2 2 21[ ( ) ]4 2
a c ba c
+ −−
3 6
2 4 , 4a c a ac= = 2 2 2 12 2 4a c b ac+ − = − =
21 16 2 34
− =
2 2log log3 2x
π π− ≤ sin x
1 1,2 2
−
1 ,12
−
1 1 1, ,12 2 2
−
1 3, ,12 2 2
3 −
- 7 -
【解析】
【分析】
首先根据 ,求得 的取值范围,进而求得 的取值范围即可.
【详解】∵ ,
∴ ,
∴ ,
∴ ,
故选:B.
【点睛】本题考查了对数函数相关不等式,考查了绝对值不等式,同时考查了三角函数的值
域,需要一定的计算能力,属于中档题.
9. 已知双曲线 的左焦点为 ,左、右顶点为 、 , 为双曲线
上任意一点,则分别以线段 , 为直径的两个圆的位置关系为( )
A. 外切或外离 B. 相交或内切 C. 内含或外离 D. 内切或外
切
【答案】D
【解析】
【分析】
设线段 的中点为 , ,分 在双曲线的左支和 在双曲线的右支上两种情况,
结合三角形的中位线和双曲线的定义判断.
【详解】设线段 的中点为 , ,则:
①当 在双曲线的左支时,如图所示:
2 2log log3 2x
π π− ≤ x sin x
2 2log log3 2x
π π− ≤
0 3 2x
π π< − ≤
5, ,6 3 3 6x
π π π π ∈ −
1sin ,12x ∈ −
( )2 2
2 2 1 0, 0x y a ba b
− = > > 1F 1A 2A P
1PF 1A 2A
1PF A 1 2PF r= P P
1PF A 1 2PF r=
P
- 8 -
,∴两圆外切;
②当 在双曲线的右支时,如图所示:
,∴两圆内切;
故选 D.
【点睛】本题主要考查双曲线的定义和两圆的位置关系,还考查了数形结合的思想,属于基
础题.
10. 设点 分别为椭圆 的左、右焦点,点 是椭圆 上任意一点,若使得
成立的点恰好是 个,则实数 的值可以是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
2
1
2OA PF a r= = +
P
2
1
2OA PF r a= = −
1 2,F F
2 2
: 19 5
x yC + = P C
1 2PF PF m⋅ = 4 m
1
2 3 5 8
- 9 -
由 题 意 , 先 求 出 a 、 b 、 c , 设 , 表 示 出 向 量
,再整理得出 m 的取值,得出答案.
【详解】因为点 分别为椭圆 的左、右焦点;
即 ,
设
由 可得
又因为 P 在椭圆上,即
所以
要使得 成立的点恰好是 个,则
解得 1
+
λ
[ )3,− +∞ ( )3,− +∞ [ ),e− +∞ ( ),e− +∞
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【解析】
【分析】
先建立不等式组 ,再用 表示出 , ,接着将 转
化 ,最后构建新函数 得到
即可解题.
【详解】解:因为 ,( )
所以 有两个正根,∴ ,
即: ,又∵ , , , ,∴
,
令 , ,
∴ 在 上单调递减,
∴ ,
故选:A.
【点睛】本题考查利用导函数研究不等式恒成立问题,利用导函数研究极值问题,是中档题.
二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.
13. 若函数 为奇函数,则 ______.
【答案】1.
【解析】
【分析】
根据函数 为奇函数,由 为偶函数求解.
【详解】∵函数 为奇函数,
为
4 8 0
1 0
a
a
∆ = − > >
a 1 2x x 1 2x x+ ( ) ( )1 2f x f xλ > +
1 1ln 12a a
λ > − + − ( ) ( )2 ln 1 1g x x x x= − + − > ( )1 3gλ ≥ = −
( ) 2 2 lnf x ax x x= − + 0x >
( ) 21 2 2 1' 2 2 0ax xf x ax x x
− += − + = =
4 8 0
1 0
a
a
∆ = − > >
10 2a< < 2
1 12 2 1 0ax x− + = 2
2 22 2 1 0ax x− + = 1 2
1
2x x a
= 1 2
1x x a
+ =
( ) ( ) 2 2
1 1 1 21 22 22 ln 2 lnax x x axf xf x xxλ − + + − +> + =
1 1 1 2 2 2
1 12 ln 2 ln2 2x x x x x x= − − + + − − + ( )1 2 1 2
1 1ln 1 ln 12x x x x a a
= − + + − = − + −
( ) ( )2 ln 1 1g x x x x= − + − > ( ) 1' 2 0g x x
= − <
( )g x ( )1,+∞
( )1 3gλ ≥ = −
( ) ( )( )1f x x x x a= − + a =
( ) ( )( )1f x x x x a= − + ( )( )1y x x a= − +
( ) ( )( )1f x x x x a= − +
- 12 -
∴函数 为偶函数,
∴ .
故答案为:1
【点睛】本题主要考查函数奇偶性的应用,属于基础题.
14. 设 为单位向量,且 ,若以向量 为邻边的三角形的面积
为 ,则 的值为__________.
【答案】
【解析】
【详解】两端平方得 ,
又 ,
得 ,即 夹角为 ,所以 ,
即 ,又 ,
所以 .
15. 我国的《洛书》中记载着世界上最古老的幻方:将 1,2,…,9 填入方格内使三行、三列、
两条对角线的三个数之和都等于 15,如图所示.
一般地,将连续的正整数 1,2,…, 填入 个方格中,使得每行、每列、每条对角线上
的数的和相等,这个正方形叫做 阶幻方.记 阶幻方的对角线上数的和为 ,例如
, , ,……,那么 ______.
【答案】 .
【解析】
( )( )1y x x a= − +
1a =
1 2 3, ,e e e ( )3 1 2
1 02e e ke k= + >
1 2,e e
1
2 k
3
2
2
2 2
11 4 k ke e= + + ⋅
1 2
1 1
2 2S e e sinθ= =
1sinθ = 1 2,e e 90°
1 2 0e e⋅ =
2 3
4k = 0k >
3
2k =
2n n n×
n n nN
3 15N = 4 34N = 5 65N = nN =
( )2 1
2
n n +
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【分析】
首先根据题意得到 ,再利用等差数列求和即可.
【详解】由题知: ,
,
,
……,
所以 .
故答案为:
【点睛】本题主要考查等差数列的求和,熟记公式为解题关键,属于简单题.
16. 设当 时,函数 取得最大值,则 ______.
【答案】 .
【解析】
【分析】
利用辅助角公式先对函数化简,可得 ,其中 ,
由题意得 ,得 ,从而可求出 的值
【详解】解:
令 ,则 ,
因 当 时,函数 取得最大值,
所以 ,所以 ,
所以 ,
所以
所以
为
( )21 1 2nN nn
= + + +
( )3
1 1 2 9 153N = + +…+ =
( )4
1 1 2 16 343N = + + + =…
( )5
1 1 2 25 653N = + + + =…
( ) ( ) ( )2 2 2
2 1 1
2
1
2
1 1 2nN nn n
n n n n+ +
== + + + = ×
( )2 1
2
n n +
x θ= ( ) 3sin 4cosf x x x= − cosθ =
4
5
−
( ) 5sin( )f x x ϕ= − 3 4cos ,sin5 5
ϕ ϕ= =
5sin( ) 5θ ϕ− = 2 ,2 k k Z
πθ ϕ π− = + ∈ cosθ
( ) 3 43sin 4cos 5( sin cos )5 5f x x x x x= − = −
3 4cos ,sin5 5
ϕ ϕ= = ( ) 5(sin cos cos sin ) 5sin( )f x x x xϕ ϕ ϕ= − = −
x θ= ( ) 3sin 4cosf x x x= −
5sin( ) 5θ ϕ− = 2 ,2 k k Z
πθ ϕ π− = + ∈
2 ,2 k k Z
πθ ϕ π= + + ∈
cos cos( 2 ),2 k k Z
πθ ϕ π= + + ∈
4cos sin 5
θ ϕ= − = −
- 14 -
故答案为: ,
【点睛】此题考查辅助角公式的应用,属于基础题
三、解答题:共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.第 17 题~第 21
题为必考题,每个考题考生必须作答.第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答.
(一)必考题:共 60 分.
17. 设数列 的前 项和为 ,已知 , , .
求数列 的通项公式;
若 ,求 的前 项和为 .
【答案】 ; .
【解析】
【分析】
证出数列 是以首项为 ,公差为 的等差数列,进而写出数列 的通项公式;
结合平方差公式和等差数列求和公式求出结果即可.
【详解】解: , ,
,①
当 时, ,②
由① ②得 ,
, ,
, 数列 是以首项为 ,公差为 的等差数列,
,即 ,
当 时,上式显然成立,所以 , .
,
4
5
−
{ }na n nS 1 1a = 2
1
2 1 2
3 3
n
n
S a n nn += − − − *n N∈
( )1 { }na
( )2 ( )1 n
n nb a= − { }nb 2n 2nT
( )1 2
na n= ( )2 2
2 2n nT n= +
( )1 na
n
1 1 { }na
( )2
( )1 2
1
2 1 2
3 3
n
n
S a n nn += − − − *n N∈
∴ ( )( )3 2
1 1
1 21 22 3 3 3n n n
n n nS na n n n na+ +
+ += − − − = −
2n ≥ ( ) ( ) ( )
1
1 12 1 3n n
n n nS n a−
− += − −
− ( ) ( )1 12 2 1 1n n n nS S na n a n n− +− = − − − +
12 2 2n n na S S −= − ∴ ( ) ( )1 12 1n n nna na n na+= −− +−
1 11
n na a
n n
+ − =+
∴ na
n
1 1
∴ ( )1 1 1na n nn
= + × − = 2
na n= ( )2n ≥
1n = 2
na n= *n N∈
( )2 ( ) ( ) 21 1n n
n nb a n= − = −
- 15 -
.
【点睛】本题考查等差数列的通项公式的求法,结合求和公式的知识点,考查分析问题能力,
运算求解能力,属于中档题.
18. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中将底面为直角三角形的直棱柱称
为堑堵,将底面为矩形的棱台称为刍童.在如图所示的堑堵 与刍童
的组合体中 , .
(1)证明: 平面 ;
(2)若 , , ,三棱锥 的体积为 ,求二面角
的余弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2) .
【解析】
【分析】
(1)分别证明 和 即可;
(2)建立空间坐标系,利用向量法求解.
【详解】(1)∵ ,∴ ,
∴ ( ) ( )2
2
2 22 2 21 2 3 4 2 1 2n nT n= − + − + + − − +
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 1 2 1 4 3 4 3 2 2 1 2 2 1n n n n= + × − + + × − + + + − × − −
( )1 2 3 4 2 1 2n n= + + + + + − +
22n n= +
ABM DCP−
1 1 1 1ABCD A B C D− AB AD= 90MAB∠ = °
BD ⊥ MAC
1AB = 1 1 2AD = 3MA = 1 1 1A A B D− 2 3
3
1M AC B− −
15
5
−
BD AC⊥ MA BD^
AB AD= BD AC⊥
- 16 -
∵ ,∴ ,
∴ 平面 ;
(2)设 ,棱台的高为 ,以 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,
则三棱锥 的体积为 , ,
∴ , , ,
故 , ,
设平面 的法向量为 ,由 可得: ,
令 ,则 ,
取平面 的法向量为 ,则 ,
易知二面角 的平面角为钝角,故二面角 的余弦值为 .
【点睛】本题考查线面垂直的证明,考查向量法求二面角的余弦值,属于中档题.
19. 东方商店欲购进某种食品(保质期两天),此商店每两天购进该食品一次(购进时,该食
90MAB∠ = ° MA BD^
BD ⊥ MAC
BD AC O∩ = h O
1 1 1A A B D− 2 2 3
3 3
h = 3h =
( )1 0, 2, 3B − 2 ,0,02A
2 ,0,02C
−
1
2 , 2, 32B A
= −
( )2,0,0CA =
1ACB ( ), ,n x y z= 1 0
0
n B A
n CA
⋅ =
⋅ =
2 2 3 02
2 0
x y z
x
− + =
=
3y = ( )0, 3, 2n =
MAC ( )0,1,0m = 3 15cos , 55
m nm n
m n
⋅= = =
1M AC B− − E BF C− − 15
5
−
- 17 -
品为刚生产的).根据市场调查,该食品每份进价 元,售价 元,如果两天内无法售出,则
食品过期作废,且两天内的销售情况互不影响,为了了解市场的需求情况,现统计该产品在
本地区 天的销售量如下表:
(视样本频率为概率)
(1)根据该产品 天的销售量统计表,记两天中一共销售该食品份数为 ,求 的分布列
与期望
(2)以两天内该产品所获得的利润期望为决策依据,东方商店一次性购进 或 份,哪一
种得到的利润更大?
【答案】(1)见解析(2)见解析
【解析】
【分析】
(1)根据题意可得 的取值为 ,计算相应的概率值即可确定分布列和
数学期望;
(2)分别求解当购进 份时的利润和购进 份时的利润即可确定利润更高的决策.
【详解】(1)根据题意可得
,
,
,
,
,
,
,
的分布列如下:
8 12
100
100 ξ ξ
32 33
ξ 30,31,32,33,34,35,36
32 33
( ) 1 1 130 5 5 25P ξ = = × =
( ) 1 3 331 25 10 25P ξ = = × × =
( ) 1 2 3 3 132 25 5 10 10 4P ξ = = × × + × =
( ) 1 1 3 2 733 2 25 10 10 5 25P ξ = = × × + × × =
( ) 3 1 2 2 1134 210 10 5 5 50P ξ = = × × + × =
( ) 2 1 235 25 10 25P ξ = = × × =
( ) 1 1 136 10 10 100P ξ = = × =
ξ
- 18 -
(2)当购进 份时,利润为
,
当购进 份时,利润为
,
可见,当购进 份时,利润更高.
【点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望的计算,概率统计的预测作用等
知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
20. 已知点 是抛物线 焦点,过 的弦被焦点分成两段的长分别是 2 和
6.
(1)求此抛物线的方程;
(2) 是抛物线外一点,过 点作抛物线的两条切线 , ( , 是切点),两切线分
别交 轴于 , ,直线 交抛物线对称轴于点 ,求证四边形 是平行四边形.
【答案】(1) ;(2)证明见解析.
【解析】
【分析】
(1)设过 的弦所在直线方程为: ,其与抛物线交于 ,证
明 ,则可求解.
(2)设 , ,根据切线分别表示出直线 、 的方程,则 、 的
坐标能表示出,联立直线 、 的方程,则 的坐标可表示出,表示出直线 的方程,
的
ξ 30 31 32 33 34 35 36
p 1
25
3
25
1
4
7
25
11
50
2
25
1
100
( ) 1 3 1 7 11 2 130 31 32 33 34 35 36 32.825 25 4 25 50 25 100E ξ = × + × + × + × + × + × + × =
32
( ) ( )21 3 132 4 31 4 8 30 4 1625 25 25
× × + × − × + × − × 107.52 13.92 4.16 125.6= + + =
33
( ) ( ) ( )59 1 3 133 4 32 4 8 31 4 16 30 4 24100 4 25 25
× × + × − × + × − × + × − ×
77.88 30 12.96 3.84 124.68= + + + =
125.6 124.68> 32
F ( )2 2 0x py p= > F
P P PA PB A B
x C D AB Q PCQD
2 6x y=
F 2
py kx= + ( ) ( )1 1 2 2, , ,M x y N x y
1 1 2
MF NF p
+ =
2
1
1, 6
xA x
2
2
2 , 6
xB x
PA PB C D
PA PB P AB
- 19 -
则 的坐标可表示出,最后说明 即可.
【详解】解:(1) ,
设过 的弦所在直线方程为: ,其与抛物线交于 ,
联立 ,即 , ,
所以 ,
不妨设 ,
,
,
∴此抛物线的方程为: ;
(2)设 , , ,
∴直线 的方程为: ,
即: ;令 ,所以 ,
同理,直线 的方程为: ;令 ,所以 ,
直线 的方程为: ,即: ;
令 ,所以 ,
Q CP QD=
0, 2
pF
F 2
py kx= + ( ) ( )1 1 2 2, , ,M x y N x y
2 2
2
x py
py kx
= = +
2 22 0x kpx p− − = 2
1 2 1 22 ,x x pk x x p+ = ⋅ = −
( ) 2
1 2 1 2 2y y k x x p pk p+ = + + = +
2 2 2
1 2
1 2 24 4
x x py y p
= =
1 22, 62 2
p pMF y NF y= + = = + =
( )
1 2
1 2
2
1 2 1 2 1 2 1 2
1 1 1 1 22 2
2 2 2 2 2 4
p py y y y p
p p p p p pMF NF py y y y y y y y
+ + + + ++ = + = = = + + + + + + +
1 1 1 1 2 , 32 6 pMF NF p
+ = + = =
2 6x y=
2
1
1, 6
xA x
2
2
2 , 6
xB x
3
xy′ =
PA ( )1
1 13
xy y x x− = −
2
1 1
3 6
x xy x= − 10, 2
xy x= = 1 ,02
xC
PB
2
2 2
3 6
x xy x= − 20, 2
xy x= = 2 ,02
xD
AB ( ) ( )2 2 2
1 1 2
1 2 16 6 6
x x xy x x x x
− − = − −
1 2 1 2
6 6
x x x xy x
+= −
1 20, 6
x xx y= = − 1 20, 6
x xQ −
- 20 -
,所以 ,
, ,所以 ,
∴四边形 是平行四边形.
【点睛】以直线和抛物线的位置关系为载体,考查求抛物线的标准方程,同时考查用向量法
证明四边形是平行四边形,难题.
21. 已知函数 .
(1)当 时,若不等式 恒成立,求实数 的取值范围;
(2)若 ,证明 .
【答案】(1) (2)见解析
【解析】
【分析】
(1)求出函数导数 ,令 ,再利用导数求得函数
的单调性与最值,即可求解;
(2)由(1)可知当 时,当 时, ,转化为 ,
进而转化为 ,构造新函数 ,利用导数即可求
解.
【详解】(1)由条件得 ,令 ,则 .
①当 时,在 上, , 单调递增
∴ ,即 ,
∴ 在 上为增函数,∴ ∴ 时满足条件.
②当 时,令
2
1 1
2
2 2
3 6
3 6
x xy x
x xy x
= −
= −
1 2 1 2,2 6
x x x xP
+
2 1 2,2 6
x x xCP =
2 1 2,2 6
x x xQD =
CP QD=
PCQD
( ) 21xf x e x ax= − − −
0x ≥ ( ) 0f x ≥ a
0x > ( ) ( ) 21 ln 1xe x x− + >
1, 2
−∞
( ) 1 2xf x e ax′ = − − ( ) 1 2xh x e ax= − − ( )h x
1
2a = 0x >
2
1 2
x xxe > + + 2(e 1)ln( 1)x x x− + >
ln( 1) 2
2x x
x
+ > + ( ) ln( 1) 2 ( 0)2
x xxF x x= +− >+
( ) 1 2xf x e ax= − −′ ( ) 1 2xh x e ax= − − ( ) 2xh x e a′ = −
2 1a ≤ [ ]0,+∞ ( ) 0h x′ ≥ ( )h x
( ) ( )0h x h≥ ( ) ( )0 0f x f′ ′≥ =
( )f x [ ]0,+∞ ( ) ( )0 0f x f≥ = 1
2a ≤
2 1a > ( ) 0h x′ =
- 21 -
解得 ,在 上, , 单调递减,
∴当 时,有 ,即 ,
在 上为减函数,∴ ,不合题意.
综上实数 的取值范围为 .
(2)由(1)得,当 , 时, ,即 ,
要证不等式 ,只需证明 ,只需证明
,
只需证 ,
设 ,则 ,
∴当 时, 恒成立,故 在 上单调递增,
又 ,∴ 恒成立.∴原不等式成立.
【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用,以及不等式的证明,着重考查了转化与化
归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力,对于恒成立问题,通常要构造新函数,利
用导数研究函数的单调性,求出最值,进而得出相应的含参不等式,从而求出参数的取值范
围;也可分离变量,构造新函数,直接把问题转化为函数的最值问题.
(二)选考题.共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所
做的第一题计分.
[选修 4—4:坐标系与参数方程]
22. 在平面直角坐标系 中,圆 : ,以 为极点、 轴的非负半
轴为极轴建立极坐标系(两种坐标系取相同的单位长度).直线 : 与曲线 交于 、
两点,其中 , .
(1)求曲线 的极坐标方程;
ln2x a= [ ]0,ln2a ( ) 0h x′ < ( )h x
( )0,ln2x a∈ ( ) ( )0 0h x h< = ( ) ( )0 0f x f′ ′< =
( )f x ( )0,ln2a ( ) ( )0 0f x f< =
a 1, 2
−∞
1
2a = 0x >
2
1 2
x xe x> + +
2 2 21 2 2
x x x xe x
+− > + + =
( ) ( ) 21 ln 1xe x x− + > ( )
2
1 ln 1
x xe x
− > +
( )
2 22
2 ln 1
x x x
x
+ > +
( ) 2ln 1 2
xx x
+ > +
( ) ( ) 2ln 1 ( 0)2
xF x x xx
= + − >+
( ) ( ) ( )( )
2 2
2 2
1
1 2 1 2
x xF x x x x x
= − =+ + + +
′
0x > ( ) 0F x′ > ( )F x ( )0,+∞
( )0 0F = ( ) 0F x >
xOy C ( ) ( )2 25 5 19x y− + − = O x
l 0
θ θ= C A B
( )0 0,θ π∈ 0
4cos 5
θ =
C
- 22 -
(2)求 的值.
【答案】(1) ;(2) .
【解析】
【分析】
(1)本题首先可将圆的直角坐标方程转化为 ,然后通过直角坐
标方程与极坐标方程的互化即可得出结果;
(2)本题首先可根据 得出 ,然后联立圆的极坐标方程以及 得出
,最后通过韦达定理以及 即可得出结果.
【详解】(1)因为圆 的直角坐标方程为 ,即
,
所以圆 的极坐标方程为: ;
(2)因为 , ,所以 ,
联立 ,可得 ,
则 , ,
故 .
【点睛】本题考查直角坐标方程与极坐标方程的互化以及极坐标方程的应用,可通过
以及 进行直角坐标方程与极坐标方程之间的互化,考查韦达定理的应
用,是中档题.
[选修 4—5:不等式选讲]
23. 已知 , ,且 .
(1)若 恒成立,求 的取值范围;
(2)证明: .
AB
2 10 cos 10 sin 31 0ρ ρ θ ρ θ− − + = 6 2
2 2 10 10 31 0x y x y+ − − + =
0
4cos 5
θ = 0
3sin 5
θ = 0
θ θ=
2 14 31 0ρ ρ− + = 1 2AB ρ ρ= −
C ( ) ( )2 25 5 19x y− + − =
2 2 10 10 31 0x y x y+ − − + =
C 2 10 cos 10 sin 31 0ρ ρ θ ρ θ− − + =
( )0 0,θ π∈ 0
4cos 5
θ = 0
3sin 5
θ =
2
0
10 cos 10 sin 31 0ρ ρ θ ρ θ
θ θ
− − + =
=
2 14 31 0ρ ρ− + =
1 2 14ρ ρ+ = 1 2 31ρ ρ =
( )2
1 2 1 2 1 2+ 4 6 2AB ρ ρ ρ ρ ρ ρ= − = − =
cosx ρ θ= siny ρ θ=
0a > 0b > 2 2 2a b+ =
2 2
1 4 2 1 1x xa b
+ ≥ − − − x
( )5 51 1 4a ba b
+ + ≥
- 23 -
【答案】(1) ;(2)见解析.
【解析】
分析:(1)运用乘 1 法和基本不等式可得 + 的最小值,再由绝对值不等式的解法,即
可得到所求范围;
(2))变形、运用基本不等式或柯西不等式,即可得证.
详解:(1)设
由 ,得 .
故 .
所以 .
当 时, ,得 ;
当 时, ,解得 ,故 ;
当 时, ,解得 ,故 ;
综上, .
(2)
,
,
.
点睛:含绝对值不等式的解法有两个基本方法,一是运用零点分区间讨论,二是利用绝对值
9 9{ | }2 2x x− ≤ ≤
2
1
a 2
4
b
, 1
12 1 1 3 2, 12
1, 2
x x
y x x x x
x x
≥
= − − − = − ≤ <
− <
2 2 2a b+ = ( )2 21 12 a b+ =
( )2 2
2 2 2 2
1 4 1 1 4
2 a ba b a b
+ = + +
2 2
2 2
1 41 42
b a
a b
= + + +
2 2
2 2
1 4 91 4 22 2
b a
a b
≥ + + ⋅ =
9 2 1 12 x x≥ − − −
1x ≥ 9
2x ≤ 91 2x≤ ≤
1 12 x≤ < 93 2 2x − ≤ 13
6x ≤ 1 12 x≤ <
1
2x < 9
2x− ≤ 9
2x ≥ − 9 1
2 2x− ≤ <
9 9
2 2x− ≤ ≤
( )5 51 1 a ba b
+ +
5 5
4 4 b aa b a b
= + + +
( ) 5 522 2 2 22b aa b a ba b
= + + + −
( ) ( )5 52 22 2 2 2 2 22 2 4b aa b a b a ba b
≥ + + ⋅ − = + =
- 24 -
的几何意义求解.法一是运用分类讨论思想,法二是运用数形结合思想,将绝对值不等式与
函数以及不等式恒成立交汇、渗透,解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活
应用,这是命题的新动向.