高中数学人教a版选修4-1阶段质量检测（一）a卷word版含解析

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阶段质量检测(一) A 卷 一、选择题(本大题共 10小题，每小题 5分，共 50分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的) 1．如图，已知 AD DB ＝ 4 5 ，DE∥BC，则 EC AC 等于( ) A.9 5 B.5 4 C.5 9 D.4 9 解析：选 C ∵DE∥BC，AD DB ＝ 4 5 ， ∴ AB DB ＝ 9 5 .∴DB AB ＝ 5 9 . 又∵ DB AB ＝ EC AC ，∴ EC AC ＝ 5 9 . 2.如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB 于 D，AD＝3，CD＝2，则 AC∶ BC的值是( ) A．3∶2 B．9∶4 C. 3∶ 2 D. 2∶ 3 解析：选 A Rt△ACD∽Rt△CBD， ∴ AC BC ＝ AD CD ＝ 3 2 . 3．在△ABC 中，AB＝9，AC＝12，BC＝18，D 为 AC 上一点，DC＝2 3 AC，在 AB上 取一点 E，得到△ADE.若图中的两个三角形相似，则 DE的长是( ) A．6 B．8 C．6或 8 D．14 解析：选 C 依题意，本题有两种情形： (1)如图 1，过 D作 DE∥CB交 AB于 E. 则 AD AC ＝ DE CB . 又∵DC＝2 3 AC， ∴ AD AC ＝ 1 3 . ∴DE＝1 3 BC＝6. (2)如图 2，作∠ADE＝∠B，交 AB于 E， 则△ADE ∽△ABC. ∴ AD AB ＝ DE BC . 又∵AD＝1 3 AC＝4， ∴DE＝AD·BC AB ＝ 4×18 9 ＝8. ∴DE的长为 6或 8. 4．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜边 BC上的高，DE是 △ACD 的高，且 AC＝5，CD＝2，则 DE的值为( ) A.2 21 5 B. 21 5 C.3 21 5 D.2 12 5 解析：选 A AC2＝CD·BC， 即 52＝2×BC， ∴BC＝25 2 . ∴AB＝ BC2－AC2＝ 252 4 －52＝5 21 2 . ∵ DE AB ＝ DC BC ，∴DE＝2 21 5 . 5．如图，在 Rt△ABC 中，CD为斜边 AB上的高，若 BD＝3 cm， AC＝2 cm，则 CD和 BC的长分别为( ) A. 3 cm和 3 2 cm B．1 cm和 3 cm C．1 cm和 3 2 cm D. 3 cm和 2 3 cm 解析：选 D 设 AD＝x， 则由射影定理得 x(x＋3)＝4， 即 x＝1(负值舍去)， 则 CD＝ AD·BD＝ 3(cm)， BC＝ BD·AB＝ 33＋1＝2 3(cm)． 6.如图，DE∥BC，S△ADE∶S 四边形DBCE＝1∶8，则 AD∶DB的值为( ) A．1∶4 B．1∶3 C．1∶2 D．1∶5 解析：选 C 由 S△ADE∶S 四边形DBCE＝1∶8， 得 S△ADE∶S△ABC＝1∶9. ∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC. ∴ AD AB 2＝ S△ADE S△ABC ＝ 1 9 . ∴ AD AB ＝ 1 3 ， AD DB ＝ 1 2 . 7．△ABC和△DEF满足下列条件，其中不一定使△ABC与△DEF相似的是( ) A．∠A＝∠D＝45°38′，∠C＝26°22′，∠E＝108° B．AB＝1，AC＝1.5，BC＝2，DE＝12，EF＝8，DF＝16 C．BC＝a，AC＝b，AB＝c，DE＝ a，EF＝ b，DF＝ c D．AB＝AC，DE＝DF，∠A＝∠D＝40° 解析：选 C A项中∠A＝∠D，∠B＝∠E＝108°， ∴△ABC∽△DEF； B项中 AB∶AC∶BC＝EF∶DE∶DF＝2∶3∶4； ∴△ABC∽△EFD； D项中 AB AC ＝ DE DF ，∠A＝∠D， ∴△ABC∽△DEF； 而 C项中不能保证三边对应成比例． 8．在 Rt△ACB 中，∠C＝90°，CD⊥AB于 D.若 BD∶AD＝1∶4，则 tan∠BCD的值 是( ) A.1 4 B.1 3 C.1 2 D．2 解析：选 C 由射影定理得 CD2＝AD·BD， 又 BD∶AD＝1∶4. 令 BD＝x，则 AD＝4x(x>0)， ∴CD2＝4x2， ∴CD＝2x，tan∠BCD＝BD CD ＝ x 2x ＝ 1 2 . 9.如图，在▱ABCD中，E为 CD上一点，DE∶CE＝2∶3，连接 AE， BE，BD且 AE，BD交于点 F，则 S△DEF∶S△EBF∶S△ABF等于( ) A．4∶10∶25 B．4∶9∶25 C．2∶3∶5 D．2∶5∶25 解析：选 A ∵AB∥CD，∴△ABF∽△EDF. ∴ DE AB ＝ DF FB ＝ 2 5 . ∴ S△DEF S△ABF ＝ 2 5 2＝ 4 25 . 又△DEF和△BEF等高． ∴ S△DEF S△EBF ＝ DF FB ＝ 2 5 ＝ 4 10 . ∴S△DEF∶S△EBF∶S△ABF＝4∶10∶25. 10．如图，已知 a∥b，AF BF ＝ 3 5 ， BC CD ＝3，则 AE∶EC等于( ) A.12 5 B. 5 12 C.7 5 D.5 7 解析：选 A ∵a∥b，∴ AE EC ＝ AG CD ， AF BF ＝ AG BD . ∵ BC CD ＝3，∴BC＝3CD，∴BD＝4CD. 又 AF BF ＝ 3 5 ， ∴ AG BD ＝ AF BF ＝ 3 5 .∴ AG 4CD ＝ 3 5 .∴AG CD ＝ 12 5 . ∴ AE EC ＝ AG CD ＝ 12 5 . 二、填空题(本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分．把答案填写在题中的横线上) 11．如图，设 l1∥l2∥l3，AB∶BC＝3∶2，DF＝20，则 DE＝________. 解析：EF∶DE＝AB∶BC＝3∶2， ∴ DE DF ＝ 2 5 ，又 DF＝20，∴DE＝8. 答案：8 12．如图，AB 与 CD相交于点 E，过 E作 BC的平行线与 AD 的延长线交于点 P，已 知∠A＝∠C，PD＝2DA＝2，则 PE＝________. 解析：∵PE∥BC，∠C＝∠A， ∴∠PED＝∠C＝∠A. ∴△PDE∽△PEA. ∴ PE PA ＝ PD PE ， 即 PE2＝PD·PA. 又 PD＝2，DA＝1， ∴PA＝3. ∴PE2＝2×3＝6，故 PE＝ 6. 答案： 6 13.如图，在矩形 ABCD中，AB＝ 3，BC＝3，BE⊥AC，垂足为 E， 则 ED＝________. 解析：在 Rt△ABC中，BC＝3，AB＝ 3， 所以∠BAC＝60°. 因为 BE⊥AC，AB＝ 3，所以 AE＝ 3 2 . 在△EAD中，∠EAD＝30°，AD＝3， 由余弦定理知， ED2＝AE2＋AD2－2AE·AD·cos∠EAD ＝ 3 4 ＋9－2× 3 2 ×3× 3 2 ＝ 21 4 ， 故 ED＝ 21 2 . 答案： 21 2 14．如图，▱ABCD中，N是 AB延长线上一点， BC BM － AB BN 的值为________． 解析：∵AD∥BM，∴ AB BN ＝ DM MN . 又∵DC∥AN， ∴ DM MN ＝ MC MB . ∴ DM＋MN MN ＝ MC＋MB MB ， 即 DN MN ＝ BC BM . ∴ BC BM － AB BN ＝ DN MN － DM MN ＝ MN MN ＝1. 答案：1 三、解答题(本大题共 4小题，共 50分．解答应写出必要的文字说明、 证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分 12分)如图，△ABC 中，BC的中点为 D，∠ADB和∠ADC 的平分线 分别交 AB，AC于点M，N. 求证：MN∥BC. 证明：∵MD平分∠ADB， ∴ AD BD ＝ AM MB . ∵ND平分∠ADC，∴ AD DC ＝ AN NC . ∵BD＝DC，∴ AM MB ＝ AD BD ＝ AD DC ＝ AN NC . ∴MN∥BC. 16．(本小题满分 12分)如图，已知△ABC 中，AB＝AC，AD是中 线，P是 AD上一点，过 C作 CF∥AB，延长 BP交 AC于点 E，交 CF 于点 F. 求证：BP2＝PE·PF. 证明：连接 PC， ∵AB＝AC，AD是中线， ∴AD是△ABC的对称轴， 故 PC＝PB. ∠PCE＝∠ABP. ∵CF∥AB， ∴∠PFC＝∠ABP， 故∠PCE＝∠PFC. ∵∠CPE＝∠FPC， ∴△EPC∽△CPF， 故 PC PF ＝ PE PC ， 即 PC2＝PE·PF， ∴BP2＝PE·PF. 17．(本小题满分 12分)如图，四边形 ABCD是平行四边形，P是 BD上任意一点，过 P点的直线分别交 AB，DC于 E，F，交 DA，BC 的延长线于 G，H. (1)求证：PE·PG＝PF·PH； (2)当过 P点的直线绕点 P旋转到 F，H，C重合时，请判断 PE，PC，PG的关系，并 给出证明． 解：(1)证明：∵AB∥CD，∴ PE PF ＝ PB PD . ∵AD∥BC，∴ PH PG ＝ PB PD . ∴ PE PF ＝ PH PG .∴PE·PG＝PF·PH. (2)关系式为 PC2＝PE·PG. 证明：由题意可得到右图， ∵AB∥CD， ∴ PE PC ＝ PB PD . ∵AD∥BC， ∴ PC PG ＝ PB PD . ∴ PE PC ＝ PC PG ，即 PC2＝PE·PG. 18．(本小题满分 14分)如图(1)，已知矩形 ABCD中，AB＝1，点M在对角线 AC上， AM＝ 1 4 AC，直线 l过点M且与 AC垂直，与边 AD相交于点 E. (1)如果 AD＝ 3，求证点 B在直线 l上； (2)如图(2)，如果直线 l与边 BC相交于点 H，直线 l把矩形分成的两部分的面积之比为 2∶7，求 AD的长； (3)如果直线 l分别与边 AD，AB相交于 E，G，当直线 l把矩形分成的两部分的面积之 比为 1∶6时，求 AE的长． 解：(1)证明：连接 BD，交 AC于 O点， ∵四边形 ABCD为矩形，∴OA＝1 2 AC. ∵AM＝ 1 4 AC，∴AM＝OM. 在 Rt△ABD中，AB＝1，AD＝ 3， ∴BD＝ AB2＋AD2＝2. ∴BO＝OA＝AB＝1. ∴△AOB是等边三角形．又 AM＝OM， ∴BM⊥AO.∴点 B在直线 l上． (2)设 AD＝a，则 AC＝ 1＋a2. ∵∠EAM＝∠CAD，∠AME＝∠D＝90°， ∴△AEM∽△ACD.∴AE AC ＝ AM AD . 又 AM＝ 1 4 AC＝1 4 1＋a2， ∴AE＝AC·AM AD ＝ 1＋a2 4a . 由 AE∥HC，得△AEM∽△CHM， ∴ AE HC ＝ AM MC ＝ 1 3 .∴HC＝3AE. 又 BH＝BC－HC＝a－31＋a2 4a ＝ a2－3 4a ， 而 S 梯形ABHE＝ 1 2 (AE＋BH)·AB ＝ 1 2 1＋a2 4a ＋ a2－3 4a ·1＝a2－1 4a . ∵S 梯形ABHE∶S 梯形EHCD＝2∶7， ∴S 梯形ABHE＝ 2 9 S 矩形ABCD＝ 2 9 a. ∴ a2－1 4a ＝ 2 9 a. 解得 a＝3，即 AD＝3. (3)如图，由题意知直线 l分别交 AD，AC，AB于 E，M，G三点， 则有△AEG∽△DCA， ∴ AG AD ＝ AE DC . ∵DC＝1， ∴AE＝AG AD . ∵S△AEG＝ 1 2 AE·AG， S△AEG S 多边形EGBCD ＝ 1 6 ， ∴ S△AEG S 矩形ABCD ＝ 1 7 . ∴ 1 2 AE·AG AD·DC ＝ 1 7 ， 即 AE·AG AD ＝ 2 7 . ∴AE2＝ 2 7 ，AE＝ 14 7 .