【数学】2018届一轮复习北师大版三角函数的图象与性质教案

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文档介绍

【数学】2018届一轮复习北师大版三角函数的图象与性质教案

第 1 讲 三角函数的图象与性质         三角函数的定义、诱导公式及基本关系 自主练透 夯实双基 1.三角函数:设 α 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点 P(x,y),则 sin α=y,cos α=x,tan α= y x.各象限角的三角函数值的符号:一全正,二正弦,三正切,四余弦. 2.同角关系:sin2α+cos2α=1, sin α cos α=tan α. 3.诱导公式:在 kπ 2 +α,k∈Z 的诱导公式中“奇变偶不变,符号看象限”. [题组通关] 1.已知 cos(π 2+φ )=- 3 2 ,且角 φ 的终边上有一点(2,a),则 a=(  ) A.- 3          B.2 3 C.±2 3 D. 3 B [解析] 由 cos(π 2+φ )=- 3 2 得 sin φ= 3 2 ,则 a 4+a2= 3 2 ,解得 a=2 3. 2.已知角 α 的顶点与原点重合,始边与 x 轴的正半轴重合,终边上一点 P(-4,3),则 cos(π 2+α )sin(-π-α) cos(11π 2 -α)sin(9π 2 +α) 的值为________. [解析] 原式= -sin α·sin α -sin α·cos α=tan α.根据三角函数的定义,得 tan α= y x=- 3 4,所以 原式=- 3 4. [答案] - 3 4 3.(2016·高考全国卷乙)已知 θ 是第四象限角,且 sin(θ+π 4 )= 3 5,则 tan(θ-π 4 )=________. [解析] 法一:因为 sin (θ+π 4 )= 3 5,所以 cos(θ-π 4 )=sin[π 2+(θ-π 4 )]=sin(θ+π 4 )= 3 5, 因为 θ 为第四象限角,所以-π 2+2kπ<θ<2kπ,k∈Z,所以- 3π 4 +2kπ<θ- π 4<2kπ-π 4, k∈Z,所以 sin(θ-π 4 )=- 1-(3 5 )2 =- 4 5,所以 tan(θ-π 4 )= sin(θ-π 4 ) cos(θ-π 4 ) =- 4 3. 法二:因为 θ 是第四象限角,且 sin(θ+π 4 )= 3 5,所以 θ+π 4为第一象限角,所以 cos(θ+π 4 ) = 4 5,所以 tan(θ-π 4 )= sin(θ-π 4 ) cos(θ-π 4 ) = -cos[π 2+(θ-π 4 )] sin[π 2+(θ-π 4 )] =- cos(θ+π 4 ) sin(θ+π 4 ) =- 4 3. [答案] - 4 3 应用三角函数的概念和诱导公式的注意事项 (1)当角的终边所在的位置不是唯一确定的时候要注意分情况解决,机械地使用三角函 数的定义就会出现错误. (2)应用诱导公式与同角关系开方运算时,一定注意三角函数的符号;利用同角三角函 数的关系化简要遵循一定的原则,如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等.              三角函数的图象与解析式 高频考点 多维探明 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象 (1)“五点法”作图 设 z=ωx+φ,令 z=0,π 2,π,3π 2 ,2π,求出 x 的值与相应的 y 的值,描点、连线可得. (2)图象变换 y=sin x ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ―→向左(φ>0)或向右(φ<0) 平移|φ|个单位 y=sin(x+φ) ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ―→横坐标变为原来的(ω>0)倍 纵坐标不变 y=sin(ωx+φ) ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ―→纵坐标变为原来的A(A>0)倍 横坐标不变 y=Asin(ωx+φ).  由函数图象求解析式或求值 (2016·高考全国卷甲)函数 y=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则(  ) A.y=2sin(2x-π 6)     B.y=2sin(2x-π 3) C.y=2sin(x+π 6 ) D.y=2sin(x+π 3 ) 【解析】 由题图易知 A=2,因为周期 T 满足 T 2=π 3-(-π 6 ),所以 T=π,ω= 2π T =2. 由 x=π 3时,y=2 可知 2×π 3+φ=π 2+2kπ(k∈Z),所以 φ=-π 6+2kπ(k∈Z),结合选项可知函 数解析式为 y=2sin(2x-π 6). 【答案】A  三角函数的图象变换 (1)(2016·高考全国卷乙)将函数 y=2sin (2x+π 6)的图象向右平移 1 4个周期后,所得 图象对应的函数为(  ) A.y=2sin(2x+π 4) B.y=2sin(2x+π 3) C.y=2sin(2x-π 4) D.y=2sin(2x-π 3) (2)(2016·武汉市武昌区调研)已知函数 f(x)=2sin (ωx+π 6)-1(ω>0)的图象向右平移 2π 3 个 单位后与原图象重合,则 ω 的最小值是(  ) A.3 B. 3 2 C. 4 3 D. 2 3 【解析】 (1)函数 y=2sin (2x+π 6)的周期为 π,所以将函数 y=2sin (2x+π 6)的图象向右 平移π 4个单位长度后,得到函数图象对应的解析式为 y=2sin [2(x-π 4 )+π 6] =2sin(2x-π 3).故选 D. (2)将 f(x)的图象向右平移 2π 3 个单位后得到图象的函数解析式为 2sin[ω(x-2π 3 )+π 6]-1= 2sin(ωx-2ωπ 3 +π 6)-1,所以2ωπ 3 =2kπ,k∈Z,所以 ω=3k,k∈Z,因为 ω>0,k∈Z,所以 ω 的最小值为 3. 【答案】 (1)D (2)A 解决三角函数图象问题的方法及注意事项 (1)已知函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象求解析式时,常采用待定系数法,由图 中的最高点、最低点或特殊点求 A;由函数的周期确定 ω;确定 φ 常根据“五点法”中的五 个点求解,其中一般把第一个零点作为突破口,可以从图象的升降找准第一个零点的位 置. (2)在图象变换过程中务必分清是先相位变换,还是先周期变换,变换只是相对于其中 的自变量 x 而言的,如果 x 的系数不是 1,就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和 方向. [题组通关] 1.(2016· 石 家 庄 市 第 一 次 模 考 ) 函 数 f(x) = Asin(ωx + φ) (A > 0,ω > 0,|φ| < π 2)的部分图象如图所示,则 f (11π 24 )的值为(  ) A.- 6 2          B.- 3 2 C.- 2 2 D.-1 D [解析] 由图象可得 A= 2,最小正周期 T=4×(7π 12-π 3)=π,则 ω= 2π T =2.又 f(7π 12 ) = 2sin(7π 6 +φ)=- 2,得 φ=π 3,则 f(x)= 2sin(2x+π 3),f(11π 24 )= 2sin(11π 12 +π 3)= 2sin 5π 4 =-1,选项 D 正确. 2.(2016·高考全国卷丙)函数 y=sin x- 3cos x 的图象可由函数 y=2sin x 的图象至少向 右平移________个单位长度得到. [解析] 因为 y=sin x- 3cos x=2sin(x-π 3 ),所以函数 y=sin x- 3cos x 的图象可由函 数 y=2sin x 的图象至少向右平移π 3个单位长度得到. [答案] π 3 3.某同学用“五点法”画函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(ω > 0,|φ| < π 2)在某一个周期内的图 象时,列表并填入了部分数据,如下表: ωx+φ 0 π 2 π 3π 2 2π x π 3 5π 6 Asin(ωx+φ) 0 5 -5 0 请将上表数据补充完整,并直接写出函数 f(x)的解析式. [解] 根据表中已知数据,解得 A=5,ω=2,φ=-π 6,数据补全如下表: ωx+φ 0 π 2 π 3π 2 2π x π 12 π 3 7π 12 5π 6 13 12π Asin(ωx+φ) 0 5 0 -5 0 且函数解析式为 f(x)=5sin(2x-π 6).                  三角函数的性质 共研典例 类题通法 1.三角函数的单调区间 y=sin x 的单调递增区间是[2kπ-π 2,2kπ+π 2](k∈Z), 单调递减区间是[2kπ+π 2,2kπ+3π 2 ](k∈Z); y=cos x 的单调递增区间是[2kπ-π,2kπ](k∈Z),单调递减区间是[2kπ,2kπ+π](k∈Z); y=tan x 的递增区间是(kπ-π 2,kπ+π 2)(k∈Z). 2.y=Asin(ωx+φ),当 φ=kπ(k∈Z)时为奇函数; 当 φ=kπ+π 2(k∈Z)时为偶函数; 对称轴方程可由 ωx+φ=kπ+π 2(k∈Z)求得. y=Acos(ωx+φ),当 φ=kπ+π 2(k∈Z)时为奇函数; 当 φ=kπ(k∈Z)时为偶函数; 对称轴方程可由 ωx+φ=kπ(k∈Z)求得. y=Atan(ωx+φ),当 φ= kπ 2 (k∈Z)时为奇函数. (2016·高考天津卷)已知函数 f(x)=4tan x·sin(π 2-x )cos(x-π 3 )- 3. (1)求 f(x)的定义域与最小正周期; (2)讨论 f(x)在区间[-π 4,π 4]上的单调性. 【解】 (1)f(x)的定义域为{x|x ≠ π 2+kπ,k ∈ Z}. f(x)=4tan xcos xcos(x-π 3 )- 3 =4sin xcos(x-π 3 )- 3 =4sin x(1 2cos x+ 3 2 sin x)- 3 =2sin xcos x+2 3sin2x- 3 =sin 2x+ 3(1-cos 2x)- 3 =sin 2x- 3cos 2x=2sin(2x-π 3). 所以 f(x)的最小正周期 T= 2π 2 =π. (2)令 z=2x-π 3,函数 y=2sin z 的单调递增区间为[-π 2+2kπ,π 2+2kπ],k∈Z. 由-π 2+2kπ≤2x-π 3≤π 2+2kπ,得 - π 12+kπ≤x≤ 5π 12+kπ,k∈Z. 设 A=[-π 4,π 4],B={x|- π 12+kπ ≤ x ≤ 5π 12+kπ,k ∈ Z}, 易知 A∩B=[- π 12,π 4]. 所以,当 x∈[-π 4,π 4]时,f(x)在区间[- π 12,π 4]上单调递增,在区间[-π 4,- π 12]上单调 递减. 三角函数的单调性、周期性及最值的求法 (1)三角函数单调性的求法 求形如 y=Asin(ωx+φ)(或 y=Acos(ωx+φ))(A、ω、φ 为常数,A≠0,ω>0)的单调区间 的一般思路是令 ωx+φ=z,则 y=Asin z(或 y=Acos z),然后由复合函数的单调性求解. (2)三角函数周期性的求法 函数 y=Asin(ωx+φ)(或 y=Acos(ωx+φ))的最小正周期 T= 2π |ω|.应特别注意 y=|Asin(ωx +φ)|的最小正周期为 T= π |ω|. (3)三角函数最值(或值域)的求法 在求最值(或值域)时,一般要先确定函数的定义域,然后结合三角函数性质可得函数 f(x) 的最值. [题组通关] 1.(2016·兰州市诊断考试)将函数 f(x)=cos 2x 的图象向右平移π 4个单位后得到函数 g(x) 的图象,则 g(x)具有性质(  ) A.最大值为 1,图象关于直线 x=π 2对称 B.在(0,π 4 )上单调递增,为奇函数 C.在(-3π 8 ,π 8)上单调递增,为偶函数 D.周期为 π,图象关于点(3π 8 ,0)对称 B [解析] 由题意可知将 f(x)=cos 2x 的图象向右平移π 4个单位得到 g(x)=cos [2(x-π 4 )] =cos(π 2-2x) =sin 2x 的图象,因为函数 g(x)为奇函数,所以排除 C,又当 x=π 2时函数值为 0,当 x= 3π 8 时,函数值为 2 2 ,所以 A 和 D 中对称的说法不正确,选 B. 2.已知函数 f(x)=2sin xsin(x+π 6 ). (1)求函数 f(x)的最小正周期和单调递增区间; (2)当 x∈[0,π 2 ]时,求函数 f(x)的值域. [解] (1)f(x)=2sin x( 3 2 sin x+1 2cos x) = 3× 1-cos 2x 2 + 1 2sin 2x =sin(2x-π 3)+ 3 2 . 函数 f(x)的最小正周期为 T=π. 由-π 2+2kπ≤2x-π 3≤π 2+2kπ,k∈Z, 解得- π 12+kπ≤x≤ 5π 12+kπ,k∈Z, 所以函数 f(x)的单调递增区间是[- π 12+kπ, 5π 12+kπ],k∈Z. (2)当 x∈[0,π 2 ]时,2x-π 3∈[-π 3, 2π 3 ], sin(2x-π 3)∈[- 3 2 ,1], 可得函数 f(x)的值域为[0,1+ 3 2 ]. 课时作业 1.(2016·广州市五校联考)下列函数中,周期为 π 的奇函数是(  ) A.y=sin xcos x      B.y=sin2x C.y=tan 2x D.y=sin 2x+cos 2x A [解析] y=sin2x 为偶函数;y=tan 2x 的周期为π 2;y=sin 2x+cos 2x 为非奇非偶函数, 故 B、C、D 都不正确,选 A. 2.已知角 α 的终边与单位圆 x2+y2=1 交于 P(1 2,y0),则 sin(π 2+2α)=(  ) A.- 1 2 B.1 C. 1 2 D.- 3 2 A [解析] 由题意知当 x= 1 2时,y0=- 3 2 或 y0= 3 2 ,即 sin α=- 3 2 或 sin α= 3 2 ,又因 为 sin(π 2+2α)=cos 2α=1-2sin2α,所以 sin(π 2+2α)=1-2× 3 4=- 1 2. 3.(2016·福建省毕业班质量检测)若 sin (π 2+α )=- 3 5,且 α∈(π 2,π ),则 sin(π-2α)= (  ) A. 24 25 B. 12 25 C.- 12 25 D.- 24 25 D [解析] 由 sin(π 2+α )=cos α=- 3 5,且 α∈(π 2,π ),得 sin α= 4 5,所以 sin(π-2α)=sin 2α=2sin α·cos α=-24 25,选项 D 正确. 4.(2016·沈阳市教学质量监测(一))某函数部分图象如图所示,它的函数解析式可能是 (  ) A.y=sin(-5 6x+3π 5 ) B.y=sin(6 5x-2π 5 ) C.y=sin(6 5x+3π 5 ) D.y=-cos(5 6x+3π 5 ) C [解析] 不妨令该函数解析式为 y=Asin(ωx+φ)(ω>0),由图知 A=1, T 4=3π 4 -π 3= 5π 12, 于是 2π ω= 5π 3 ,即 ω= 6 5,π 3是函数的图象递减时经过的零点,于是 6 5×π 3+φ=2kπ+π,k∈Z, 所以 φ 可以是 3π 5 ,选 C. 5.已知 ω>0,函数 f(x)=sin (ωx+π 4)在(π 2,π )上单调递减,则 ω 的取值范围是(  ) A.[1 2, 5 4 ] B.[1 2, 3 4 ] C.(0, 1 2 ] D.(0,2] A [解析] 由π 20,所以 sin α-cos α<0,所以 sin α-cos α=-7 5. [答案] - 7 5 8.已知函数 y=cos x 与 y=sin(2x+φ)(0≤φ<π),它们的图象有一个横坐标为π 3的交点, 则 φ 的值是________. [解析] 由题意,得 sin(2 × π 3+φ)=cos π 3, 因为 0≤φ<π,所以 φ=π 6. [答案] π 6 9.已知 f(x)=sin 2x- 3cos 2x,若对任意实数 x∈(0,π 4 ],都有|f(x)|0)个单位长度,得到的图象关于直线 x=3π 4 对称,求 θ 的最小 值. [解] (1)f(x)= 2sin x+ 6cos x =2 2(1 2sin x+ 3 2 cos x)=2 2sin(x+π 3 ). 由 f(α)=2,得 sin(α+π 3 )= 2 2 , 即 α+π 3=2kπ+π 4或 α+π 3=2kπ+ 3π 4 ,k∈Z. 于是 α=2kπ- π 12或 α=2kπ+ 5π 12,k∈Z. 又 α∈[0,π],故 α=5π 12. (2)将 y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的 1 2(纵坐标不变),得到 y=2 2sin (2x+π 3)的图象,再将 y=2 2sin (2x+π 3)图象上所有点的横坐标向右平行移动 θ 个单位长度, 得到 y=2 2sin (2x-2θ+π 3)的图象. 由于 y=sin x 的图象关于直线 x=kπ+π 2(k∈Z)对称, 令 2x-2θ+π 3=kπ+π 2,解得 x= kπ 2 +θ+ π 12,k∈Z. 由于 y=2 2sin (2x-2θ+π 3)的图象关于直线 x= 3π 4 对称, 令 kπ 2 +θ+ π 12= 3π 4 ,解得 θ=- kπ 2 + 2π 3 ,k∈Z. 由 θ>0 可知,当 k=1 时,θ 取得最小值π 6. 14.已知定义在区间[-π, 3π 2 ]上的函数 y=f(x)的图象关于直线 x=π 4对称,当 x≥π 4时, f(x)=-sin x. (1)作出 y=f(x)的图象; (2)求 y=f(x)的解析式; (3)若关于 x 的方程 f(x)=a 有解,将方程中的 a 取一确定的值所得的所有解的和记为 Ma, 求 Ma 的所有可能的值及相应的 a 的取值范围. [解] (1)y=f(x)的图象如图所示. (2)任取 x∈[-π,π 4], 则π 2-x∈[π 4, 3π 2 ], 因为函数 y=f(x)的图象关于直线 x=π 4对称, 则 f(x)=f(π 2-x ),又当 x≥π 4时,f(x)=-sin x, 则 f(x)=f(π 2-x )=-sin(π 2-x ) =-cos x, 即 f(x)=Error! (3)当 a=-1 时,f(x)=a 的两根为 0,π 2,则 Ma=π 2;当 a∈(-1,- 2 2 )时,f(x)=a 的四 根满足 x1
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