高考数学考点37双曲线试题解读与变式

高考数学考点37双曲线试题解读与变式

考点 37 双曲线 【考纲要求】 （1）了解双曲线的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用； （2）了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质； （3）了解双曲线的简单应用； （4）理解数形结合的思想． 【命题规律】 双曲线是历年高考命题的重点热点，多与直线、圆、椭圆、抛物线、平面向量等综合命题， 尤以考查双曲线的离心率与渐近线为最常见，常以选择题、填空题的形式呈现，较少考查直 线与双曲线的位置关系，在解答题不考双曲线． 预计 2018 年高考对双曲线的考查会以双曲线的定义、标准方程、几何性质为主，在客观题 中进行考查，难度中等偏低． 【典型高考试题变式】 （一）双曲线的定义 【例 1】【2015 新课标Ⅰ】已知 F 是双曲线C ： 2 2 18 yx   的右焦点，P 是C 左支上一点，  0,6 6A ，当 APF 周长最小时，该三角形的面积为＿＿＿＿＿＿． 【答案】12 6 【解析】设双曲线的左焦点为 1F ，由双曲线定义知， 12PF a PF  ，∴ APF 的周长 为 12PA PF AF PA a PF AF      ＝ 1 2PA PF AF a   ．由于 2AF a 是定值，要使 APF 的周长最小，则 1PA PF 最小，即 1, ,P A F 共线，∵  0,6 6A ，  1 3,0F  ，∴直线 1AF 的方程为 13 6 6 x y  ，即 3 2 6 yx   代入 2 2 18 yx   整理得 2 6 6 90 0y y   ，解得 6 6y  或 8 6y   (舍)，所以 P 点的纵坐标为 2 6 ，∴ 1 1APF AFF PFFS S S    ＋ 1 16 6 6 6 2 6 12 62 2       ． 【方法技巧归纳】双曲线定义的主要应用方面：（1）判定平面内动点与两定点的轨迹是否 为双曲线，进行根据要求可求出双曲线方程；（2）在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、 余弦定理，结合 1 2 2PF PF a  ，运用平方的方法，建立与 1 2PF PF 的联系． 【变式 1】【变为利用定义求距离】已知双曲线 2 2 125 9 x y  上有一点 M 到右焦点 1F 的距离 为 18，则点 M 到左焦点 2F 的距离是（ ） A．8 B．28 C．12 D．8 或 28 【答案】D 【 解 析 】 根 据 双 曲 线的 定 义 可 知 点 M 到 两 焦 点 的距 离 的 差 的 绝 对 值 为 2a ， 即 1 2 2 10,MF MF a   又 1 18,MF  则 2 8 28MF  或 ，故选 D． 【变式 2】【变为利用余弦定理结合定义处理焦点三角形】已知 M 为双曲线 2 2 2 2: 1x yC a b   右支上一点， ,A F 分别为双曲线C 左顶点和的右焦点， MF AF ，若 60MFA   ，则 双曲线C 的离心率为（ ） A． 2 B．3 C． 4 D． 6 【答案】C （二）双曲线的标准方程 【例 2】（1）【2017 天津卷】已知双曲线 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b     的左焦点为 F ，离心率为 2 ．若经过 F 和  0,4P 两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为 （ ） A． 2 2 14 4 x y  B． 2 2 18 8 x y  C． 2 2 14 8 x y  D． 2 2 18 4 x y  【答案】B 【解析】由题意得 2c a  ，且 4b a c  ，结合 2 2 2a b c  可解得 2 2a b  ，所以双曲 线的方程为 2 2 18 8 x y  ，故选 B． （2）【2016 全国新课标Ⅰ卷】已知方程 2 2 2 2 13 x y m n m n    表示双曲线，且该双曲线两焦 点间的距离为 4，则 n 的取值范围是（ ） A．(–1,3) B．(–1, 3 ) C．(0,3) D．(0, 3 ) 【答案】A 【方法技巧归纳】求双曲线标准方程的思路：（1）如果已知双曲线的中心在原点，且确定 焦点在 x 轴上或 y 轴上，则设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于 , ,a b c 的方程， 解出 2 2,a b 即可求得双曲线的标准方程（求得的方程可能是一个，也可能是两个，注意合理 取舍，但不要漏解）；（2）当焦点的位置不确定时，有两种方法来解决：一种是分类讨论， 注意考虑要全面；另一种是如果已知中心在原点，但不能确定焦点的具体位置，可以设 双 曲线的一般方程为  2 2 1 0mx ny mn   ． 【变式 1】【变为利用双曲线定义求方程】双曲线 2 2 2 2 1( , 0)x y a ba b    离心率为 3 ，左右 焦点分别为 1 2,F F ， P 为双曲线右支上一点， 1 2F PF 的平分线为 l ，点 1F 关于 l 的对称 点为 2, 2Q F Q  ，则双曲线方程为（ ） A． 2 2 12 x y  B． 2 2 12 yx   C． 2 2 13 yx   D． 2 2 13 x y  【答案】B 【 解 析 】 由 题 意 ， 得 直 线 l 是 线 段 1FQ 的 中 垂 线 ， 则 1 2 2 22 2a PF PF PQ PF F Q      ，即 1a  ，又因为该双曲线的离心率为 3c a  ， 所以 23, 2c b  ，双曲线的方程为 2 2 12 yx   ，故选 B． 【变式 2】【变为根据双曲线的几何性质与平面图形面积求方程】已知 O 为直角坐标系的坐 标原点，双曲线 :C 2 2 2 2 1( 0)x y b aa b     上有一点  5,P m （ 0m  ），点 P 在 x 轴上 的射影恰好是双曲线C 的右焦点，过点 P 作双曲线C 两条渐近线的平行线，与两条渐近线 的交点分别为 A ， B ，若平行四边形 PAOB 的面积为 1，则双曲线的标准方程是（ ） A． 2 2 14 yx   B． 2 2 12 3 x y  C． 2 2 16 yx   D． 2 2 13 7 2 2 x y  【答案】A （三）双曲线的几何性质 【例 2】（1）【2017 新课标Ⅱ卷】若 1a  ，则双曲线 2 2 2 1x ya   的离心率的取值范围是 （ ） A． 2, B． 2,2 C． 1, 2 D． 1,2 【答案】C 【解析】由题意 2 2 2 2 2 2 1 11c ae a a a     ，因为 1a  ，所以 2 11 1 2a    ，则 21 2e  ， 即1 2e  ，故选 C． （2）【2017 全国卷Ⅰ】已知双曲线C ：   2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b     的右顶点为 A，以 A 为圆心， b 为半径作圆 A，圆 A 与双曲线C 的一条渐近线交于 M、N 两点。若 60MAN   ，则C 的 离心率为________． 【答案】 2 3 3 【解析】如图所示， AP MN ， MN 为双曲线的渐近线 by xa  上的点， ( ,0)A a ， AM AN b  ．因为 AP MN ，所以 30PAN   ， ( ,0)A a 到直线 by xa  的距离 2 2 | | 1 bAP b a   ，在 Rt PAN 中，cos PAPAN NA  ，代入计算得 2 23a b ，即 3a b ．由 2 2 2c a b  得 2c b ，所以 2 2 3 33 c be a b    ． 【方法技巧归纳】（1）已知离心率求渐近线方程，即 e＝c a ⇒c2＝e2·a2＝a2＋b2⇒e2＝1＋b2 a2， 即得渐近线方程为 y＝± e2－1x；（2）已知渐近线方程 y kx  ，若焦点位置不明确要分 k ＝b a 或 k＝a b 两种情况讨论．已知渐近线方程为 by xa   ，可由 2 2 2a b c  ，得 2 2 2 21 b c a a   ， 从而求得离心率 2 21 be a   ；（3）已知离心率可得出双曲线的渐近线方程，即得出渐近线 的斜率，从而可解决与渐近线夹角有关的问题；通过联立方程组求得直线与双曲线的渐近线 的交点，把条件转化为一个关于 b a 的不等式，再利用 2 2 2a b c  ，转化为关于 c a 的不等式， 即得离心率的取值范围． 【变式 1】【变为根据渐近线方程求离心率】已知双曲线 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b     的一条渐 近线方程是 5 2y x ，则该双曲线的离心率等于（ ） A． 3 14 14 B． 3 2 4 C． 3 2 D． 4 3 【答案】C 【解析】依题意，得 5 2 b a  ，故 2 31 2 be a       ，故选 C． 【变式 2】【变为根据渐近线相关直线的夹角求离心率取值范围】已知 1F ， 2F 分别是双曲线 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b     的左、右焦点，过 2F 与双曲线的一条渐近线平行的直线交另一条 渐近线于点 M ，若 1 2F MF 为锐角，则双曲线离心率的取值范围是（ ） A． 2, B． 2, C． 1,2 D． 1, 2 【答案】 A （四）双曲线与圆的交汇 【例 4】【2017 新课标Ⅱ卷】若双曲线 C ：   2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b     的一条渐近线被圆  2 22 4x y   所截得的弦长为 2，则C 的离心率为（ ） A．2 B． 3 C． 2 D． 2 3 3 【答案】A 【解析】由几何关系可得，双曲线   2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b     的渐近线方程为 0bx ay  ，圆 心  2,0 到渐近线距离为 2 22 1 3d    ，则点  2,0 到直线 0bx ay  的距离为 2 2 2 0 2 3b a bd ca b      ，即  2 2 2 4 3 c a c   ，整理可得 2 24c a ，双曲线的离心率 2 2 4 2ce a    ．故选 A． 【方法技巧归纳】圆锥曲线与圆的交汇点比较多，如利用圆的半径与椭圆的相关的距离交汇、 过圆锥曲线上相关点构成圆、圆心的位置与圆锥曲线的焦点与顶点间关系进行交汇等.解答 时注意结合圆锥曲线的定义、几何性质、圆的性质，以及结合相关的平面几何求解． 【变式 1】【变为双曲线渐近线与圆相切】已知 F 点为双曲线 2 2 2 2: 1x yC a b   ( 0, 0)a b  的一个焦点，以点 F 为圆心的圆与C 的渐近线相切，且与C 交于 ,A B 两点，若 AF x 轴， 则C 的离心率为__________． 【答案】 2 【解析】双曲线的焦点 F 到渐近线的距离为 b ，由 AF x 轴得 2b ba  ， a b ，所以 2 2 2c a b a   ， 2ce a   ． 【变式 2】【变为过焦点的直线与圆相切】从双曲线 2 2 2 2 2 2: ( 0, 0)C b x a y a b a b    的 左焦点 1F 引圆 2 2 2x y a  的切线为T ，且l 交双曲线的右支于点 P ，若点T 是线段 1F P 的 中点，则双曲线C 的渐近线方程为__________． 【答案】 2 0x y  【解析】设双曲线的右焦点为 2F ，O 为坐标原点， 2 2 2 2 1 1 | |FT FO OT c a b     ， 1 12 2F P FT b  ， 2 2 2F P OT a  ，由双曲线的定义， 1 2 2F P F P a  ，即 2 2 2b a a  ，所以 2b a  ，所以双曲线的渐近线的方程为 2y x  ，即 2 0x y  ． （五）双曲线与椭圆的交汇 【例 5】【2017 全国卷 3】已知双曲线 C ：   2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b     的一条渐近线方程为 5 2y x ,且与椭圆 2 2 112 3 x y  有公共焦点，则C 的方程为（ ） A． 2 2 18 10 x y  B． 2 2 14 5 x y  C． 2 2 15 4 x y  D． 2 2 14 3 x y  【答案】B 【方法技巧归纳】此类综合题型一般表现为有相同的焦点、准线过焦点、顶点等为另一曲线 的焦点、双曲线渐近线与抛物线准线的关系、以及它们的交点等形式，或借助其它方式交汇 在一起．解答时主要利用它们的几何量之间的关系通过建立简单的方程或不等式来解决． 【变式 1】【变为无坐标系下确定椭圆与双曲线离心率间的交汇】如图，在 ABC 中， 30CAB CBA     ， AC 、 BC 边上的高分别为 BD 、 AE ，若以 A 、 B 为焦点，且 过 D 、 E 的椭圆与双曲线的离心率分别为 1e ， 2e ，则 1 2 1 1 e e  的值为＿＿＿＿＿＿． 【答案】 3 【解析】设 2AB c ,则在椭圆中,由椭圆的定义有 3 2c c a  ,∴ 1 1 1 3 2 a e c   ,同理 在双曲线中,有 3 2c c a  , 2 1 3 1 2 a e c   ,故 1 2 1 1 3e e   ． 【变式 2】【变少渐近线方程且根据最值求离心率】已知双曲线 2C 与椭圆 1C ： 2 2 14 3 x y  具有相同的焦点，则两条曲线相交于四个交点形成四边形面积最大时双曲线 2C 的离心率为 __________． 【答案】 2 【解析】由题意设  ,P m n 第一象限的交点，则 2cos , 3sinm t n t  ，交点四边形的面积 4 2 3sin cos 4 3sin2S t t t   ，当sin2 1 ,4t t k k Z     时取最大值，此时 60, 2cos 2, 3sin4 4 2k m n      ，即点 62, 2P       在双曲线上，由双曲线的 焦点为    1 21,0 , 1,0F F ，则双曲线的定义可得  2 1 3 2 2 12 1 2 2 PF     ，  2 2 3 2 2 12 1 2 2 PF     ，则 1 2 2 2 2 PF PF   ，即 2 2a  ，故双曲线的 离心率 1 2 2 2 e   ． 【数学思想】 1．函数思想的渗透 由于双曲线问题中某些元素处于运动变化之中，存在着相互联系、相互制约的量，它们之间 往往构成函数关系，从而可用函数的思想方法来解决，如求距离、面积、角度的最值及取值 范围等． 2．方程思想的渗透 求双曲线的标准方程一般结合待定系数法，通过建立方程(组)来解决；判断直线与双曲线的 位置关系和求相关参数的值常常须建立关于参数的方程来解决；解决直线与双曲线的位置关 系问题往往须转化为二次方程来解决． 3．分类讨论思想的渗透 若题中的涉及到双曲线曲线类型或点、直线、曲线的相互间的位置变化不明确时，常常需要 进行分类讨论解答． 4．转化与化归思想 转化与化归思想在双曲线问题的解决中可谓无处不在，特别是利用定义转化焦半径、平面几 何知识的转化，往往能使问题得到快速的解决． 【处理集合问题注意点】 1．在双曲线的定义中易忽视条件“ 1 22 | |a F F ”与“差的绝对值”； 2．易忽略双曲线的标准方程   2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b     中的 0a b  条件； 3．求解双曲线方程方程中含有参数问题时，或根据条件无法确定焦点的位置时，注意不要 忽视焦点的位置，常常要通过分类讨论进行解答； 4．求解与双曲线相关的最值或几何量的取值范围时，如果建立的函数的自变量是双曲线点 的坐标，此时易忽视双曲线方程中未知数的取值范围． 5．解答直线与双曲线位置关系综合题时，一般要注意直线与双曲线的位置关系的限制条件， 直线的斜率是否存在的讨论，也可能存在考虑问题不全面或不进行严密的推导而导致错误． 【典例试题演练】 1．【2017 届江西省南昌市高三第一次模】若双曲线 2 2 2: 1yC x b   （ 0b  ）的离心率为 2， 则b  （ A．1 B． 2 C． 3 D．2 【答案】C 【解析】由题意得， 2 22 2 3ce c b c aa         ，故选 C． 2．【2018 河北省邯郸市届摸底】 1 2,F F 分别是双曲线 2 2 : 19 7 x yC   的左、右焦点， P 为 双曲线C 右支上一点，且 1 8PF  ，则 1 2PF F 的周长为（ ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】 D 【 解 析 】 由 双 曲 线 的 方 程 可 知 ： 3, 7, 4a b c   ， 则 2 1 1 22 2, 2 8PF PF a F F c     ，据此可知 1 2PF F 的周长为 4 6 8 18   ，故选 D． 3．【2018 湖北省荆州中学月考二】已知双曲线 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b     的离心率为 6 2 ， 则其渐近线方程为（ ） A． 2y x  B． 2 2y x  C． 1 2y x  D． 2y x  【答案】 B 【解析】双曲线 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b     的离心率为 6 2 ,即 6 2 c a  ．又 2 2 2 2 2 2 2 61 2 c c a b b a a a a      ，解得： 2 2 1 2 b a  ， 2 2 b a  ，则其渐近线方程为 2 2y x  ，故选 B． 4．【2017 山西省孝义市考前热身】已知双曲线C 的中点在原点O ，焦点  2 5,0F  ，点 A 为左支上一点，满足 OA OF 且 4AF  ，则双曲线C 的方程为（ ） A． 2 2 116 4 x y  B． 2 2 136 16 x y  C． 2 2 14 16 x y  D． 2 2 116 36 x y  【答案】 C 5．【河北省 2017 届衡水中学押题卷】定义平面上两条相交直线的夹角为：两条相交直线交 成 的 不 超 过 90 的 正 角 ． 已 知 双 曲 线 E ： 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b     ， 当 其 离 心 率 2,2e     时，对应双曲线的渐近线的夹角的取值范围为（ ） A． 0, 6      B． ,6 3       C． ,4 3       D． ,3 2       【答案】D 【解析】由题意，得     2 2 2 2 2 2 21 2,4 , 1,3c b be a a a       ，设双曲线的渐近线与 x 轴的夹 角为 ，双曲线的渐近线为 by xa   ，则 ,4 6       ，结合题意相交直线夹角的定义可 得双曲线的渐近线的夹角的取值范围为 ,3 2       ，故选 D． 6．【2017 届河南天一大联考高三理上段测二】过双曲线 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b     的右焦点 且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A ， B 两点，与双曲线的渐进线交于 C ， D 两点，若 3| | | |5AB CD ，则双曲线离心率的取值范围为（ ） A． 5[ , )3  B． 5[ , )4  C． 5(1, ]3 D． 5(1, ]4 【答案】B 【解析】当 x c 时代入 2 2 2 2 1x y a b   得 2by a   ，则 2 2 , , ,b bA c B ca a           ，则 22bAB a  , 将 x c 代 入 by xa   , 得 bcy a   , 则 , , ,bc bcC c D ca a           , 则 2bcCD a  ． ∵ 3 5AB CD , ∴ 22 3 2 5 b bc a a   ， 即 3 5b c , 则 2 2 2 2 29 9 25 25b c c a c    , 即 2 216 25 c a ,则 2 25 16e  ,则 5 4e  ，故选 B． 7．【山东莱芜市第一中学 2017 年高三数学模拟】已知 a b ，椭圆 1C 的方程为 2 2 2 2 1x y a b   ， 双曲线 2C 的方程为 2 2 2 2 1x y a b   ， 1C 与 2C 的离心率之积为 3 2 ，则 2C 的渐近线方程为 ( ) A． 2 0x y  B． 2 0x y  C． 2 0x y  D． 2 0x y  【答案】A 8．【四川省泸州市 2017 届高三三诊】已知 Rt ABC 中， 3, 1AB AC  ， 2A   ，以 ,B C 为焦点的双曲线 2 2 2 2 1x y a b   （ 0, 0a b  ）经过点 A ，且与 AB 边交于点 D ，若 AD BD 的值为（ ） A． 7 2 B．3 C． D．4 【答案】D 【解析】由题意 2 2AB AC a   ，则 1a  ；设 , 3AD x BD x   ，则 2 2 2 1CD AD AC x    ，由双曲线的定义可得  2 1 3 2x x    ，解之得 12 5x  ，此时 12 12 3, 35 5 5AD BD    ，所以 12 43 AD BD   ，故选 D． 9．【2017 河北唐山市期末】已知O 为坐标原点，F 是双曲线   2 2 2 2: 1 0, 0x y a ba b      的 左焦点， ,A B 分别为  的左、右顶点，P 为  上一点，且 PF x 轴， 过点 A 的直线l 与 线段 PF 交于点 M ，与 y 轴交于点 E ，直线 BM 与 y 轴交于点 N ，若 2OE ON ，则  的离心率为 （ A．3 B． 2 C． 3 2 D． 4 3 【答案】A 【解析】易证得 MFA EOA  ，则 | | | | | | | | MF EO FA OA  ，即 | | | | | | ( )| | | | EO FA EO c aMF OA a     ；同理 MFB NOB  ， | | | | | | ( )| | | | NO FB NO c aMF OB a     ，所以 | | ( )EO c a a   | | ( )NO c a a   ，又 2OE ON ，所以 2( )c a a c   ，整理，得 3c a  ，故选 A． 10．【2017 重庆一中届期中】已知    2,0 , 2,0A B ,若在斜率为 k 的直线l 上存在不同的两 点 ,M N ，满足： 2 3,MA MB  2 3NA NB  且线段 MN 的中点为 6,1 ，则 k 的值为( ) A． 2 B． 1 2  C． 1 2 D． 2 【答案】D 【解析】根据条件可知点 ,M N 在以 ,A B 为焦点的双曲线上， 2 4,2 2 3c a  ，那么 2 1b  ，双曲线方程是 2 2 13 x y  ，那么设    1 1 2 2, , ,M x y N x y ，所以 2 21 1 2 22 2 13 13 x y x y         ， 两式相减得      1 2 1 2 1 2 1 2 03 x x x x y y y y       ，两边同时除以 1 2x x ，可得 12 2 03 k  ，解得 2k  ，故选 D． 11．【2017 届重庆市第一中学 12 月月考】已知 2F 是双曲线 2 2: 12 yE x   的右焦点，过点 2F 的直线交 E 的右支于不同两点 ,A B ，过点 2F 且垂直于直线 AB 的直线交 y 轴于点 P ，则 2PF AB 的取值范围是（ ） A． 20, 4      B． 30, 4      C． 2 ,14      D． 3 ,14      【答案】B 【解析】当直线 AB 的斜率不存在时，  2,3A ，  2,3 B ， 4AB ， 32 PF ，则 4 32  AB PF ，故排除 A；当 2k 时，直线 AB 为  32  xy ，直线 2PF 为  32 1  xy ，       2 3,0，P ，设  11, yxA ，  22 , yxB 联立得        022 32 22 yx xy ，化简得 07342  xx ，由韦达定理得 7,34 2121  xxxx ，故 2 352 PF ， 10AB ， 故 4 2 20 152  AB PF ，故排除 C，D，故选 B． 12．【山东省日照市 2017 届高三第三次模拟】在等腰梯形 ABCD 中， AB CD 且 2, 1, 2AB AD CD x   ，其中  0,1x ，以 ,A B 为焦点且过点 D 的双曲线的离心率 为 1e ，以 ,C D 为焦点且过点 A 的椭圆的离心率为 2e ，若对任意  0,1x ，不等式 1 2t e e  恒成立，则t 的最大值为（ ） A． 3 B． 5 C．2 D． 2 【答案】B 【解析】在等腰梯形 ABCD 中， 2 2 2 2 cosBD AD AB AD AB DAB     ＝1 4 －  2 1 2 1 x    ＝1 4x ,  0,1x 由双曲线的定义可得 1 1 1 1 4 1 2, 1,2 1 4 1 xa c e x       ,由椭圆的定义可得 2 2 2 1 4 1 2, ,2 1 4 1 x xa c x e x       ,则 1 2 2 2 1 4 1 1 4 1 xe e x x        ＝ 2 1 4 1 21 4 1 x x     ．令   1 2 1 41 4 1 0, 5 1 , 2t x e e t t            在  0, 5 1 , 上单调递减，所以 1 2 1 45 1 52 5 1 e e          ，故选 B． 13．【2017 届广西柳州市高三理 10 月模拟】设双曲线 2 2 19 6 x y  的左、右焦点分别为 1F 、 2F ，过 1F 的直线l 交双曲线左支于 A 、 B 两点，则 2 2| | | |AF BF 的最小值等于＿＿＿＿ ＿＿． 【答案】16 【 解 析 】 2 2 2 1 1 2 2 6| | | | 2 | | 2 | | 4 | | 4 4 3 163 bAF BF a AF a BF a AB a a              ． 14．【2017 届山西省太原市高三模拟考试（一）】已知双曲线经过点 2 2,1 ，其一条渐近 线方程为 1 2y x ，则该双曲线的标准方程为__________． 【答案】 2 2 14 x y  【解析】设双曲线方程为 2 2 ( 0)4 x y     ，则   2 22 2 14   ，解得 1  ，故双曲 线的方程为 2 2 14 x y  ． 15 ．【 江 苏 省 高 邮 市 2018 届 高 三 期 初 考 】 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 ， 若 双 曲 线 2 2 2 14 x y m m   的离心率为 6 ，则 m 的值为_______． 【答案】1 或 4 【解析】很明显 0m  ，双曲线的焦点位于 x 轴上，由双曲线的方程可得： 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4, 4, 1 1 6c a b b ma m b m e a a a m            ，整理可得： 2 5 4 0m m   ，解得： 1m  或 4m  ，即 m 的值为 1 或 4． 16．【河北省石家庄市 2017 届高三毕业班第二次模拟】双曲线 2 2 2 2 1x y a b   （ 0a  ， 0b  ） 上一点  3,4M  关于一条渐进线的对称点恰为右焦点 2F ，则该双曲线的标准方程为 __________． 【答案】 2 2 15 20 x y  17．【2017 云南大理州统测一】已知双曲线 2 2 12 xy   与不过原点 O 且不平行于坐标轴的 直线l 相交于 ,M N 两点，线段 MN 的中点为 P ，设直线l 的斜率为 1k ，直线OP 的斜率为 2k ，则 1 2k k  ＿＿＿＿． 【答案】 1 2 【解析】设      1 1 2 2 0 0, , , ,M x y N x y P x y ，则 2 2 2 21 2 1 21, 12 2 x xy y    ，根据点差法可 得     1 2 1 2 1 2 1 2 2 x x x xy y y y     ，所以直线l 的斜率为   01 2 1 2 1 1 2 1 2 02 2 xy y x xk x x y y y      ，直线OP 的斜率为 0 2 0 yk x  ， 0 0 1 2 0 0 1 2 2 x yk k y x    ． 18．【河南省名校联盟 2018 届高三第一次段考】以双曲线 2 2 2 2 1x y a b   的两焦点为直径作圆， 且该圆在 x 轴上方交双曲线于 A ， B 两点；再以线段 AB 为直径作圆，且该圆恰好经过双 曲线的两个顶点，则双曲线的离心率为__________． 【答案】 2 【解析】设 A 点在第一象限，且坐标为  1 1,x y ，以双曲线的两焦点为直径作圆，方程为 2 2 2x y c  ，联立 2 2 2 2 2 2 2 1 x y c x y a b      ，求出 2 2 2 ,a b c bA c c      ，则 2 2 2 ,a b c bB c c      ， 线段 AB 中点 M 坐标为 2 0, b c       ，由题意有 M 点与双曲线的顶点之间的距离为 2 2a b c c  ， 所以 4 2 2 2 2 b a b ca c c   ，得出 a b ，故该双曲线为等轴双线，离心率为 2 ．