2020年湖南省永州市高考数学三模试卷(理科) (含答案解析)

2020年湖南省永州市高考数学三模试卷(理科) (含答案解析)

为真”的充分不必要条件 为真”是命题“ D. 命题“ ”的充要条件 䁪䁕 ൅ 䁪䁕 ”是“ ൅ 的两个内角，则“ 䁨 C. 已知 A，B 是 ” 1 ᦙ䁪 ，则 ൌ ”的否命题是“若 1 ᦙ䁪 ൌ ，则 ൌ 香 ሼͲ 香 ൏ ȁ ͲB. “若 ሼͲ ， ሼͲ ： ，则￢ 香 ሼ 香 ൏ ൅ Ͳ ሼ ， ሼ 䁧A. 若 p： 下列说法正确的是 ൏. 亿立方米 Ͳ.൏ D. 2018 年 11 月天然气的日均产量同比去年 11 月增加 亿立方米 Ͳ.൏ C. 2018 年 11 月天然气的日均产量比上个月增加 个百分点 .上 B. 2018 年 11 月天然气的产量的增速比上月增加 A. 可以估计 2018 年 11 月天然气的总产量约为 144 亿立方米 䁧 法错误的是 年 11 月规模以上工业天然气产量的月度走势图，则下列说 ݔ Ͳ1൏ 下图给出的是 2017 年 11 月 . ȁ ȁ D. ȁ ȁ C. ȁ ȁ B. ȁ ȁ 䁧 A. ，则 ൌ ， ൏ 1 ൌ ൏ ， ൏ ൌ 已知 . C. 2 D. 䁧A. 1 B. 对应的点与原点的距离是 1香䁕 在复平面内，复数 . 2，3， 1 D. 2， 1 C. 1， Ͳ B. Ͳ1 ൌ 䁧A. ，则 ൌ ሼ ݔ 1 ȁ ሼ ȁ ൏ ， ൌ ሼ ݔ ȁ ሼ ݔ 1 ȁ ൏ 已知集合 1. 一、单项选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分） 年湖南省永州市高考数学三模试卷(理科) 2020 答 用数字作 䁧 5 名大学生分配到 3 个公司实习，每个公司至少一名．则不同的分配方案有______ 1. 项的系数是__________． ሼ 的展开式中， 䁧1 ݔ ሼ 䁧1 香 ሼ 的展开式中，各项的二项式系数之和是 64，则 䁧1 ݔ ሼ 已知在 1. 䁧 香 二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分） D. 䁧Ͳ 䁧 香 C. 䁧1 䁧 香 B. 䁧 ݔ Ͳ 䁧A. 有两个极值点，则实数 k 的取值范围是 ሼ 香 ݈ሼ 1 ሼ ݔ 㘷䁧 ሼ 䁧ሼ ൌ 已知函数 1. D. C. B. A. 上是增函数． 1 䁧 ݔ 在区间 䁧ሼ 对称； ሼ ൌ 的图象关于直线 䁧ሼ 对称； 上 Ͳ 䁧 ݔ 的图象关于点 䁧ሼ ； 上 䁧ሼ ൌ ᦙ䁪䁧ሼ ݔ 的表达式可改写为 䁧ሼ 的整数倍； 必是 ሼ1 ݔ ሼ 可得 䁧ሼ1 ൌ 䁧ሼ ൌ Ͳ 由 䁧 有下列命题：其中正确的是 䁧ሼ 䁧ሼ ൌ 䁪䁕䁧ሼ 香 关于函数 11. 香1 D. 香 1 1 C. 1香1 B. 香 1 䁧A. ，则双曲线 C 的离心率的值是 1 ൌ 1 与双曲线左支交于点 B，且 1 边 的顶点 A 在 y 轴上， 1 ，正三角形 ， 1 的左、右焦点分别是 ൌ 1 ݔ ሼ 已知双曲线 C： 1Ͳ. ݔ 香 D. 1 香 C. 香 B. ݔ 1 香 䁧A. 䁧ሼ ሼ 香 成立，则实数 a 的取值范围是 使不等式 ሼ ݔ 11 ，若存在 䁧 ݔ 1 ൌ 上是减函数，且 ݔ 11 在 䁧ሼ 设奇函数 9. D. C. B. 1 䁧A. 在正方形内任取一点，则该点在正方形的内切圆内的概率为 ൏. ݔ D. C. 香 1 䁧 A. 1 B. 等于 䁧 香 ，则 上Ͳ 的夹角为 与 均为单位向量，且 设向量 . 上 Ͳ D. 上 1൏ C. 上 B. 上 上 A. 䁪䁕 ൌ 䁧 ，则 ᦙ䁪 ൌ 且 ᦙ䁪 ൌ ᦙ䁪䁨 中，若 䁨 在 上. ．的余弦值 ݔ ݔ 求二面角 䁧 ； 求证： 䁧1 点 F 是 BC 的中点． ， ൌ 上Ͳ 如图，已知边长为 2 的正三角形 ABE 所在的平面与菱形 ABCD 所在的平面垂直，且 1൏. ． 的前 n 项和 求等比数列 䁧 的通项公式； 求等差数列 䁧1 的前三项． 是等比数列 11 ， ， 1 ，若 1 ൌ ，其中 已知公差不为 0 的等差数列 1. 三、解答题（本大题共 7 小题，共 82.0 分） 与 SD 所成角的余弦值为________． 平面 ABC，D 为 BC 中点，则异面直线 AB 䁨 ൌ 䁨 ൌ 中， ݔ 䁨 在三棱锥 1上. ______． ൌ ，则 交 y 轴于点 S，若 1 ， 1 足为 垂直 l，垂 1 的焦点为 F，准线为 l，l 交 x 轴于点 T，A 为 E 上一点． ൌ ሼ 已知抛物线 E： 1൏. 的学生中随机抽取 3 名学生参加“中国 含 80 分 䁧 在选取的样本中，从竞赛成绩在 80 分以上 Ⅱ 䁧 求样本容量 n 和频率分布直方图中的 x、y 的值； Ⅰ 䁧 ． 的数据 9Ͳ1ͲͲ ， ൏Ͳ上Ͳ 中仅列出了得分在 图 䁧 的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图 9Ͳ1ͲͲ ， ൏Ͳ9Ͳ ， Ͳ൏Ͳ ， 上ͲͲ ， ൏Ͳ上Ͳ 进行统计．按照 样本容量为 䁧 学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数作为样本 20. 为选拔选手参加“中国谜语大会”，某中学举行了一次“谜语大赛”活动．为了了解本次竞赛 ？若存在，求出点 P 坐标；若不存在，请说明理由． 过点 A 作与 x 轴不垂直的直线 l 与椭圆 C 交于点 M，N，椭圆 C 上是否存在点 P，使得恒有 䁧 求椭圆 C 的标准方程； 䁧1 ． 1Ͳ 1Ͳ sin ൌ 且 三等分椭圆 C 的短轴， 1 䁧Ͳ ， 1 䁧Ͳ ݔ 的左焦点为 F，点 ൌ 1䁧 ൅ ൅ Ͳ 香 ሼ 已知椭圆 C： .19 ．的最大值 上的动点，求 䁨 和 䁨1 若 分别为曲线 䁧 的直角坐标方程； 䁨 的普通方程和 䁨1 写出曲线 䁧1 ． ൌ sin ݔ 极坐标方程为 䁨 轴为极轴建立极坐标系，曲线 在以原点 O 为极点，x 轴正半 . 为参数 ൌ sin 䁧 ሼ ൌ cos 的参数方程为 䁨1 22. 在直角坐标系 xOy 中，曲线 ，求实数 a 的取值范围． 䁧ሼ 䁧1 ݔ ሼ ݔ ሼcosሼ 时， ሼ Ͳ 若 䁧 的最小值； 䁧ሼ 时，求 ሼ ൅ Ͳ 当 䁧1 ． 䁧ሼ ൌ ሼ ݔ sinሼ 21. 已知函数 X 的分布列及数学期望． 内的学生人数，求随机变量 䁧൏Ͳ9Ͳ. 谜语大会”，设随机变量 X 表示所抽取的 3 名学生中得分在 ． 9 香 香 香 ，求证 香 香 ൌ ʹ 的最大值为m，且 䁧ሼ 设a，b，c为正实数，若函数 䁧 的解集； 䁧ሼ ݔ 求不等式 䁧1 ． 䁧ሼ ൌ ሼ 香 ݔ ሼ ݔ 1 已知函数 .23 ．故选 D ． ȁ ȁ 则 ൌ ൅ ൌ ൏ ൌ ， ൏ ൌ ൏ ൏ 1 ȁ ൌ ൏ ൏ ൌ ൏ ൌ 所以 ， ൌ ൌ ， ൏ ൌ ൏ ൏ 1 ൌ ൏ ， ൏ ൌ ൏ ൌ 解： 本题考查指数函数及其性质，属于基础题． 解析： 3.答案：D 本题考查复数的运算，属于基础题． 即得． 1香䁕 化简 故选 B． ． ，到原点的距离为 䁧11 对应的点为 1 香 䁕 1香䁕 ൌ 1 ݔ 䁕则 解析：解： 2.答案：B 故选：B． ． 1， ൌ Ͳ ， 1，2，3，4，5，6， ൌ Ͳ ， ȁ ሼ ȁ 1 ൌ ሼ ݔ 解：由题意得 可求出集合 A，B，然后进行交集的运算即可． 本题主要考查交集的运算，属于基础题． 解析： 1.答案：B 答案与解析】】 ：解析 6.答案：D 础题． 本题考查命题的真假判断与应用，考查命题的否定与否命题，考查充分必要条件的判定方法，是基 命题的真假判断与充分必要条件的判定方法判断 D． 写出全称命题的否定判断 A；写出命题的否命题判断 B；由充分必要条件的判定方法判断 C；由复合 故选：C． 为真”的必要不充分条件，故 D 错误． 为真”是命题“ 命题“ 均为真， 为真”，则 p、q 为真”是命题，说明 p、q 中至少有一个为真命题，反之，若“ 命题“ 的充要条件，故 C 正确； ” 䁪䁕 ൅ 䁪䁕 ”是“ ൅ ，可知，“ ൅ ൅ 䁪䁕 ൅ 䁪䁕 的两个内角，由 䁨 已知 A，B 是 ”，故 B 错误； 1 ᦙ䁪 ，则 ”的否命题是“若 1 ᦙ䁪 ൌ ，则 ൌ “若 ，故 A 错误； 香 ሼͲ 香 ൏ Ͳ ሼͲ ， ሼͲ ： ，则￢ 香 ሼ 香 ൏ ൅ Ͳ ሼ ， ሼ 解析：解：若 p： 5.答案：C 故选 D． 亿立方米，故 D 错误． Ͳ.上 2018 年 11 月天然气的日均产量同比去年 11 月增加 亿立方米，故 C 正确， Ͳ.൏ 亿立方米，比 10 月份增加 .൏ 2018 年 11 月份天然气的日均产量为 ，故 B 正确， 1Ͳ.1 ݔ .൏ ൌ .上 因为 ． .൏ 2018 年 10 月份天然气的产量的增速为 ． 1Ͳ.1 2018 年 11 月份天然气的产量的增速为 亿立方米，故 A 正确， .൏ Ͳ ൌ 1 解：因为 11 月份有 30 天，故 11 月份天然气的总产量约为 利用统计图表对其进行分析判断正误即可得． 本题考查了统计图表，属于基础题． 解析： 答案：D.4 ，本题主要考查函数的奇偶性和单调性以及数形结合的思想方法 解析： 9.答案：D 本题考查几何概型，考查面积的计算，属于基础题． 内的概率． 以面积为测度，计算圆的面积，正方形的面积，即可求得点 P 落在 故选：B． ൌ 内的概率为 以面积为测度，可得点 P 落在 ，正方形的面积为 圆的面积为 解析：解：设圆的半径为 r，则正方形的边长为 2r 8.答案：B 故选 C． ， 香 1 ൌ 1 ൌ 䁧 香 ൌ 香 ， 上Ͳ 的夹角为 与 均为单位向量，且 向量 解： 本题考查平面向量的数量积的运算，是基础题．直接应用数量积计算求值． 解析： 7.答案：C 故选 D． ， 上 Ͳ ൌ 1香cos ൌ ൌ cos ݔ 䁪䁕 ൌ sin 则 ，B 为锐角， 䁨 ൌ ，即 䁨 ݔ ൌ Ͳ ， 䁪䁕䁨ᦙ䁪 ݔ 䁪䁕ᦙ䁪䁨 ൌ sin䁧䁨 ݔ ൌ Ͳ 即 ， 䁪䁕䁨ᦙ䁪 ൌ 䁪䁕ᦙ䁪䁨 利用正弦定理化简得： ， ᦙ䁪 ൌ ᦙ䁪䁨 中， 䁨 解：在 代入计算即可得到结果． ᦙ䁪 ൌ 将 ，用 A 表示出 B，再 ൌ 䁨 已知等式利用正弦定理化简，再利用两角差的正弦函数公式整理后得到 本题考查了正弦定理，两角差的正弦函数公式，半角公式，属于中档题． ．正确 ，所以 上 ݔ ሼ ൌ 䁪䁕䁧ሼ 香 ݔ 䁧 上 ݔ ሼ ൌ 䁪䁕 上 ൌ ᦙ䁪䁧 䁧ሼ ൌ ᦙ䁪䁧ሼ ݔ 错误． ，所以 㘷ʹ 䁧㘷ݔʹ ሼ1 ݔ ሼ ൌ 即 ， ሼ1 ݔ ሼ ൌ 䁧㘷 ݔ ʹ ，所以 ൌ ʹ ൌ 㘷ሼ 香 ሼ1 香 ，得 䁧ሼ1 ൌ 䁧ሼ ൌ Ͳ 由 解析：解： 11.答案：A 本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的定义和余弦定理，考查运算能力，属于中档题． ，再由双曲线的定义和离心率公式计算即可得到所求值． ൌ 1 得 中，由余弦定理求 1 ，在 1 ൌ 1 ，由向量共线可得 ൌ 的边长为 4，求得 1 不妨设 故选：B． ． 1香1 ൌ ൌ 则 ， 1ݔ1 ൌ 解得 ， ൌ ݔ 1 ൌ 1 ݔ 1 由双曲线的定义可得 ， ൌ 1 ， ൌ 1 1 ൌ 1 香 1上 ݔ 1 ݔ 1 1cos1 香 1 ൌ 1 中，由余弦定理可得 1 在 ， 1 ൌ 1 ，可得 1 ൌ 1 由 ． ൌ ， 1 ൌ ൌ 的边长为 4，则 1 解析：解：不妨设 10.答案：B ݔ 故选：D． ൌݔ 直线还可以向上平移，所以 成立，图中为临界状态，此时 䁧ሼ ሼ 香 使不等式 ሼ ݔ 11 若 的函数图像，根据题意，如图所示： 䁧ሼ ൌ ሼ 香 画一个满足 ， 1 ൌ 䁧ሼ 䁧1 ൌݔ 令 䁧 ݔ 1 ൌ 上是减函数且 ݔ 11 在 䁧ሼ 奇函数 解： 化为两个函数图象的位置关系去求解． ”转 䁧ሼ ሼ 香 在客观题中，灵活地选择方法，根据条件，作出符合题意的一个函数图象，再将“ 属于中等题。 ．项的系数为 120 ሼ ，故 ൌ 1Ͳሼ ሼ 1 ݔ 上Ͳሼ Ͳሼ 项为 ሼ ， ൌ 上Ͳሼ ሼ ൌ 䁨上 ，则 ൌ ，令 ൌ Ͳሼ ሼ ൏ ൌ 䁨上 ，则 ൌ ，令 ሼ ൌ 䁨上 䁧ሼ 香1 ൌ 䁨上 ． ൌ 上 ，所以 ൌ 上 解析： 13.答案：120 㘷 故选：B． ， 㘷 ൅ 1 ， ݈㘷 1 且 ሼ ൌ ݈㘷 ൅ Ͳ 有一个不等于 1 的正根， ݔ 㘷 ൌ Ͳ ሼ 正实根， 有两个不同 ݔ 㘷䁧ሼ ݔ 1 ൌ Ͳ ሼ 䁧 有两个不同正实根， ൌ Ͳ ሼ 䁧ሼݔ1香㘷ݔ㘷ሼ ሼ ሼ ൌ 㘷 ݔ ሼ 㘷 香 ሼ 䁧ሼݔ1 ሼ ̵䁧ሼ ൌ 所以 有两个极值点， ሼ 香 ݈ሼ 1 ሼ ݔ 㘷䁧 ሼ 䁧ሼ ൌ 解：因为 ． 㘷 ， 1 㘷 ൅ ， ሼ ൌ ݈㘷 1 ， ሼ ൌ ݈㘷 ൅ Ͳ 有两个不等正根，进一步转化为 ̵䁧ሼ ൌ Ͳ 有两个极值点转化为 䁧ሼ 本题考查了利用导数研究函数的极值．属难题． 解析： 解析： 12.答案：B 本题主要考查三角函数的图象和性质，要求熟练掌握三角函数的性质，综合性较强． 利用三角函数的图象和性质分别判断． 故选 A． 正确． 上是增函数，所以 1 䁧 ݔ 在区间 䁧ሼ ，所以函数 上 1 ൏ ݔ 即函数的一个单调增区间为 ， 上 1 ሼ ൏ ݔ 时，得 㘷 ൌ Ͳ ，当 上 香 㘷 1 香 㘷 ሼ ൏ ݔ ，得 香 㘷 香 㘷 ሼ 香 ݔ 由 不正确． 对称，所以 不 ሼ ൌ 的图象关于直线 䁧ሼ 不是函数的最大值，所以 ൌ 䁪䁕 ൌ Ͳ 香 ൌ 䁪䁕䁧 䁧 因为 确． 正 对称，所以 上 Ͳ 䁧 ݔ 的图象关于点 䁧ሼ ，所以 ൌ 䁪䁕Ͳ ൌ Ͳ 上 香 上 ൌ 䁪䁕䁧 ݔ 䁧 ݔ 因为 ʹ ൌ ，解得 ሼ ൌ Ͳ 令 ． 䁧ሼ ݔ 1 ʹ ൌݔ 的方程为 1 直线 ， ʹ ݔ1ݔ1 ൌݔ ʹݔͲ 的斜率为 1 直线 ， 1䁧 ݔ 1ʹ 垂直 l， 1 ， 䁧ʹ ൅ Ͳ ， ʹ ʹ 䁧 设 ， 䁧 ݔ 1Ͳ ， ሼ ൌݔ 1 䁧1Ͳ准线为 l，即为 的焦点为 ൌ ሼ 解析：解：如图：抛物线 E： 15.答案：4 故答案为 150． 种不同的分配方案． ൏ 上 ൌ 1൏Ͳ 故共有 种情况， ൌ 上 、将分好的 3 组对应 3 个公司，有 种分组方法， 1൏ 香 1Ͳ ൌ ൏ 则将 5 名大学生分成 3 组，每组至少一人，有 种分组方法， ൌ 1Ͳ 1 䁨1 1 䁨 䁨൏ 若分成 311 的三组，有 种分组方法， ൌ 1൏ 1 䁨1 䁨 䁨൏ 若分成 221 的三组，有 、先将 5 名大学生分成 3 组，每组至少一人，有 221、311 两种情况； 解：分 2 步进行分析： 种情况，进而由分步计数原理计算可得答案． ൌ 上 将分好的 3 组对应 3 个公司，有 、 两种情况，分别求出每种情况的分组方法数目，再由分类计数原理可得全部的分组方法数目， 、先将 5 名大学生分成 3 组，每组至少一人，分析可得有 221、311 根据题意，分 2 步进行分析： 意排列、组合公式的灵活运用． 本题考查分步、分类计数原理的运用，分析本题要先分组，再对应三个公司进行全排列，解题时注 解析： 答案：150.14 ，平面 SAC 平面 SAC， 由题意 ． ൌ 1 ，又 ൌ ൏ ，由勾股定理得 ൌ 䁨 ൌ ൌ 令 就是异面直线 AB 与 SD 所成角， ， 䁨 ，E 分别为 BC，AC 的中点， 解：如图，取 AC 中点为 E，连结 DE，SE， 出异面直线 AB 与 SD 所成角的余弦值． 就是异面直线 AB 与 SD 所成角，由此能求 ，从而 䁨 取 AC 中点为 E，连结 DE，SE，则 考查运算求解能力，是基础题． 本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识， 解析： 上 上 16.答案： 本题考查了抛物线的方程、性质，考查了转化思想、数形结合思想，属于中档题． 根据抛物线的性质，以及直线方程和斜率，即可求出答案． 故答案为：4． ． ൌ 香 1 ൌ 香 ʹ ൌ ． ൌ 1 ʹ 解得 ， ʹ ݔ ൌ ʹ ʹ ， ， ݔ ʹ ʹ ݔ1 ൌ ʹ ʹݔͲ 㘷 ൌ ． ʹ Ͳݔ䁧ݔ1 ൌ ݔͲ ʹ 㘷 ൌ ， ʹ 䁧Ͳ ， Ͳ 1， 䁧Ͳ ， 䁧Ͳ ， 0， 䁧Ͳ ， Ͳ 0， 䁧 ， Ͳ 0， 䁧Ͳ 则 ． ݔ ሼ 以 O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 平面 ABE， 平面 ABE，所以 䁨 又因为平面 ． ， 解：连结 DO，由题意知 䁧 ． 平面 EOF，所以 又 平面 EOF． ，所以 ，所以 䁨 又因为 ， 䁨 因为四边形 ABCD 为菱形，所以 ， 平面 ABCD，所以 因为 平面 ABCD． 平面 ABE，所以 䁨 又因为平面 ． 证明：取 AB 的中点 O，连结 EO，OF，AC，由题意知 䁧1 18.答案：解： ，由等比数列的求和公式，计算可得所求和． ൌ 的首项为 2，公比为 求得等比数列 䁧 得到所求通项公式； ，由等差数列的通项公式和等比数列中项性质，可得公差 d，进而 公差 d 不为 0 的等差数列 䁧1 能力，属于基础题． 解析：本题考查等差数列的通项公式和等比数列中项性质、求和公式的运用，考查方程思想和运算 ． ݔ 1 䁧 ൌ 1ݔ 䁧1ݔ ൌ 前 n 项和 ， ൌ 的首项为 2，公比为 等比数列 䁧 ； ൌ 香 䁧 ݔ 1 ൌ ݔ 1 则 ， 舍去 ൌ 䁧Ͳ 解得 ， ൌ 䁧 香 1Ͳ 䁧 香 即 ， ൌ 111 可得 的前三项， 是等比数列 11 ， ， 1 ，若 1 ൌ ， 公差 d 不为 0 的等差数列 䁧1 17.答案：解： ． 上 上 故答案为： ． 上 上 上 ൌ 1 ൌ cos ൌ 中， ൌ 上在 ， 香 1 ݔ Ͳ䁧1 香 香 Ͳ ൌ ሼ1ሼ ݔ ሼͲ䁧ሼ1 香 ሼ 香 ሼͲ ൌ 䁧ሼ1 ݔ ሼͲ䁧ሼ ݔ ሼͲ 香 䁧1 ݔ Ͳ䁧 ݔ Ͳ ， ൌ 䁧ሼ ݔ ሼͲ ݔ Ͳ ， ൌ 䁧ሼ1 ݔ ሼͲ1 ݔ Ͳ ，则 䁧ሼͲͲ 设 ． ൅ Ͳ 香 上䁧9 香 1൏㘷 ൌ 1㘷 ， 9香1൏㘷 ݔ1上 ሼ1ሼ ൌ ， 香 上㘷 㘷 ሼ1 香 ሼ ൌ 所以 ， ݔ 1㘷ሼ ݔ 1上 ൌ Ͳ ሼ 䁧9 香 1൏㘷 整理得 ൌ 1 香 ሼ 1 ൌ 㘷ሼ ݔ 由 ， 1 ൌ 㘷ሼ ݔ ，直线 l 方程为 䁧ሼ ， 䁧ሼ11 设 䁧 ． ൌ 1 香 ሼ 所以椭圆 C 的方程为 ， ൌ 香 ൌ 所以 ， ൌ 1 1 ൌ ，即 tan ൌ 得 1Ͳ 1Ͳ sin ൌ ，由 ݔ ൌ 设 ， ൌ 1 三等分椭圆 C 的短轴，得 1 䁧Ͳ ， 1 䁧Ͳ ݔ 由点 䁧1 19.答案：解： 系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关 的余弦值． ݔ ݔ 利用向量法能求出二面角 ݔ ሼ. 空间直角坐标系 平面 ABE，以 O 为原点，建立如图所示的 推导出 . ， 连结 DO，由题意知 䁧 ． 从而 . 平面 ，由此能证明 ， 䁨 边形 ABCD 为菱形，得 ，由四 䁨. 平面 . 取 AB 的中点 O，连结 EO，OF，AC，由题意知 䁧1 解析： ． 1 ʹ ൌ ʹ ᦙ䁪 ൌ 则 ， 的平面角为 ݔ ݔ 设二面角 ， Ͳ 0， ʹ ൌ 䁧1 平面 ABCD，所以平面 DFB 的一个法向量为 可知 䁧1 又由 ． 1 ൌ 䁧1 ，所以 ሼ ൌ 1 ，令 ൌ ሼ ݔ ൌ Ͳ ൌ Ͳ ݔ ൌ 则 ， y， ൌ 䁧ሼ .设平面 DEF 的一个法向量为 ݔ ൌ 䁧Ͳ ， ݔ 0， ൌ 䁧 1 P X 1 2 3 的分布列为： ， ൌ 䁨 Ͳ 䁨 䁨൏ 䁧 ൌ ൌ ， ൌ 䁨 1 䁨 䁨൏ 䁧 ൌ ൌ ， 1 ൌ 䁨 䁨 1 䁨൏ 䁧 ൌ 1 ൌ 的人数 X 的可能取值为 1，2，3 ൏Ͳ9Ͳ 抽取的 3 名学生中得分在 内的学生有 2 人，共 7 人． 9Ͳ1ͲͲ 分数在 内的学生有 5 人， ൏Ͳ9Ͳ 由题意可知，分数在 Ⅱ 䁧 ． ሼ ൌ Ͳ.1ͲͲ ݔ Ͳ.ͲͲ ݔ Ͳ.Ͳ1Ͳ ݔ Ͳ.Ͳ1上 ݔ Ͳ.ͲͲ ൌ Ͳ.ͲͲ ， ൏Ͳ1Ͳ ൌ Ͳ.ͲͲ ൌ ， Ͳ.Ͳ1上1Ͳ ൌ ൏Ͳ ൏ ൌ 样本容量 由题意可知， Ⅰ 䁧 20.答案：解： 可得点 P 的坐标． ൌ Ͳ ，计算 䁧ሼͲͲ ，与椭圆联立，设 1 ൌ 㘷ሼ ݔ 设直线 l 方程为 䁧 ，可得 c，即可得出椭圆方程； tan ൌ 得 1Ͳ 1Ͳ sin ൌ 由题意得 b，由 䁧1 本题考查了椭圆的性质及几何意义和直线与椭圆的位置关系，是较难题． 解析：【试题解析】 ． ，使得恒有 䁧Ͳ1 所以椭圆 C 上存在点 在椭圆 C 上， 䁧Ͳ1 ，且 ൌ Ͳ 时， Ͳ ൌ 1 ሼͲ ൌ Ͳ 当 ． Ͳ ൌ 1 ሼͲ ൌ Ͳ ，即 Ͳ 香 1Ͳ ൌ ሼͲ ൌ Ͳ 首先应满足 ， 9 ൌ Ͳ 1 Ͳ 香 香 香 Ͳ 香 ሼͲ 9香1൏㘷 ݔ1ሼͲ㘷 ݔ1上ݔ䁧Ͳ香1Ͳ㘷 ൌ 9 Ͳ 香 1 香 香 Ͳ 香 ሼͲ 香 㘷Ͳ䁧ሼ1 香 ሼ 香 ሼͲ ሼ1ሼ ݔ 䁧 㘷 ൌ 䁧1 香 㘷 9 香 Ͳ 香 1 䁧ሼ1 香 ሼ ݔ Ͳ㘷䁧ሼ1 香 ሼ ݔ ሼ1ሼ ݔ 㘷 香 㘷 ൌ ሼ1ሼ ݔ ሼͲ䁧ሼ1 香 ሼ 香 ሼͲ ． ̵䁧 ൌݔ 1 ݔ ȁ Ͳ ݔ 1 ȁ 1 ̵䁧Ͳ ൌ 1 ݔ Ͳ ，而 1 得 䁧 Ͳ 䁧Ͳ Ͳ 则 上单调递减． 䁧ʹ 上单调递增，在 䁧Ͳʹ 在 䁧ሼ ． ̵䁧ʹ ൌ Ͳ 使得 ʹ ，则一定存在 ̵䁧 ȁ Ͳ ， ̵䁧Ͳ Ͳ 若 . Ⅰ 时， ȁ 即 ൅ Ͳ ̵ 当 ，不合题意； 䁧ሼ Ͳ ，则 䁧Ͳ ൌ Ͳ 单调递减，又 䁧ሼ ， ሼ Ͳ ， ̵䁧ሼ Ͳ 时， 即 ݔ Ͳ ൌ ̵ 当 ， ݔ ൌ ̵ ， ̵䁧 ൌݔ 1 ݔ ， ̵䁧Ͳ ൌ 1 ݔ 又 上先增后减． Ͳ 在 ̵䁧ሼ 单调递减． 䁧ሼ ， ̵䁧ሼ Ͳ 时， ሼ 当 单调递增， 䁧ሼ ， ̵䁧ሼ Ͳ 时， ሼ Ͳ ̵䁧ሼ ൌ ሼcosሼ当 ， 䁧ሼ ൌ cosሼ 香 ሼ䁪䁕ሼ ݔ ̵䁧ሼ ൌ cosሼ 香 ሼ䁪䁕ሼ ݔ 令 䁧ሼ ൌ 䁪䁕ሼ ݔ ሼᦙ䁪ሼ ݔ ሼ 䁪䁕ሼ ݔ ሼᦙ䁪ሼ ݔ ሼ Ͳ䁧ሼ Ͳ设 问题可转化为 䁧 ． ݔ 䁧ሼʹ䁕 ൌ 时， ሼ ൅ Ͳ 当 ݔ 䁧ሼ ൅ ݔ ൅ 时， ሼ ൅ ݔ 当 ൌ 的极小值为 䁧ሼ 时， ሼ Ͳ ̵䁧ሼ ൅ Ͳ 时 ሼ ， ̵䁧ሼ ȁ Ͳ 时 ሼ Ͳ 䁧1 ̵䁧ሼ ൌ 1 ݔ cosሼ 21.答案：解： 分布列及数学期望． 的人数 X 的可能取值为 1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量 X 的 ൏Ͳ9Ͳ 中得分在 内的学生有 2 人，抽取的 3 名学生 9Ͳ1ͲͲ 内的学生有 5 人，分数在 ൏Ͳ9Ͳ 由题意可知，分数在 Ⅱ 䁧 由样本容量和频数频率的关系能求出样本容量 n 和频率分布直方图中的 x、y 的值． Ⅰ 䁧 解析：本题考查频率分布直方图的应用，考查随机变量 X 的分布列及数学期望的求法，属于中档题 ． 1൏ ൌ 香 香 ൌ 1 ， 香 香 ൌ 的最大值为 3， 䁧ሼ 可知， 䁧1 证明：由 䁧 ． ሼሼ ݔ 的解集为 䁧ሼ ݔ ， ሼ ȁ 1 ݔ ，得 ሼ 香 1 ݔ 时，由 ݔ ȁ ሼ ȁ 1 时，不成立；当 ሼ ݔ 时，成立；当 ሼ 1 当 ， 䁧ሼ ݔ ， ሼ 1 ሼ 香 1 ݔ ȁ ሼ ȁ 1 ݔ ሼ ݔ 䁧ሼ ൌ ， 䁧ሼ ൌ ሼ 香 ݔ ሼ ݔ 1 解： 䁧1 23.答案： 利用两点间距离公式，以及两角和与差的三角函数转化求解距离的最值即可． 䁧 利用参数方程以及极坐标与普通方程的互化求解即可． 䁧1 用，考查计算能力． 解析：本题考查参数方程以及极坐标的应用，直线与曲线的位置关系，两角和与差的三角函数的应 香 1. 1 max ൌ 时， sin ൌݔ 当 ， ݔ sin 香 ൏ 香 1 香 1 ൌ ݔ sin 香 sin ݔ 䁨 香 1 ൌ cos 䁧 . 设 P 点的坐标为 䁧 ൌ 1. 香 ݔ ሼ ，即 ൌ ݔ 香 ሼ 的直角坐标方程为 䁨 曲线 ， ൌ 1 香 ሼ 的直角坐标方程为 䁨1 曲线 䁧1 22.答案：解： 恒成立即可求解． 䁧ሼ Ͳ 的单调性，令 䁧ሼ 导数分析函数 ，利用 䁧ሼ ൌ 䁪䁕ሼ ݔ ሼᦙ䁪ሼ ݔ ሼ ，构造函数 䁪䁕ሼ ݔ ሼᦙ䁪ሼ ݔ ሼ Ͳ䁧ሼ Ͳ 问题可转化为 䁧 对函数求导，研究函数单调性，然后求最值； 䁧1 解析：本题考查了导数的综合应用，属于难题． ݔ 1 综上所述，实数 a 的取值范围为 ，不合题意． 䁧ሼ ȁ Ͳ 时， ሼ Ͳ 䁧Ͳ ൌ Ͳ 又 . 上单调递减 䁧Ͳ 在 ̵䁧 ൌ Ͳ. 䁧ሼ 使得 Ͳ ̵䁧 ȁ Ͳ存在 ，则 ̵䁧Ͳ ȁ Ͳ 若 . Ⅲ ． ̵䁧 ൌݔ 1 ݔ Ͳ ݔ 1 ̵䁧Ͳ ൌ 1 ݔ Ͳ 此时， 上恒成立． Ͳ 在 䁧ሼ Ͳ ，则 䁧Ͳ ൌ Ͳ 上单调递增且 Ͳ 在 䁧ሼ ，则 ̵䁧 Ͳ ， ̵䁧Ͳ Ͳ 若 . Ⅱ ． 9 香 香 香 ，利用基本不等式即可得到 ൌ 䁧 香 䁧 香 香 香 香 ，再根据 香 香 ൌ 的最大值为 3，从而得到 䁧ሼ 可知， 䁧1 由 䁧 ，利用零点分段法解不等式即可； 䁧ሼ ݔ 写为分段函数的形式，然后根据 䁧ሼ 将 䁧1 属中档题． 解析：本题考查了绝对值不等式的解法和利用综合法证明不等式，考查了分类讨论思想和转化思想， ． 9 香 香 香 时等号成立， 香 ൌ ， ൌ 当且仅当 ， 9 ൌ 香香 ൌ 䁧 香 䁧 香 䁧 香 香 香 b，c 为正实数，，