高考数学一轮复习专题9_7抛物线讲文

高考数学一轮复习专题9_7抛物线讲文

专题 9.7 抛物线 考 点 考纲内容 5 年统计 分析预测 抛 物 线 (1)了解圆锥曲线的实际背 景,了解圆锥曲线在刻画现 实世界和解决实际问题中的 作用. (2)了解抛物线的定义、几何 图形、标准方程及简单性质. （4）了解圆锥曲线的简单应 用. (5)理解数形结合的思想. 2013•新课标 II. 10; 2014•新课标 I. 10；II.10; 2015•新课标 I. 5； 2016•新课标 I.20;II.5; 2017•新课标 I.20;II.12. 1.考查抛物线的定义； 2.考查抛物线的标准方程，结合 抛物线的基本量之间的关系，利 用待定系数法求解； 3.考查抛物线的几何性质； 4.考查抛物线与双曲线、椭圆的 综合问题. 5.备考重点： (1)掌握抛物线的定义、标准方 程、几何性质； （2）熟练运用方程思想及待定系 数法； （3）利用数形结合思想，灵活处 理综合问题. 【知识清单】 1. 抛物线的标准方程及几何性质 图形 标准方程 y2=2px（p＞0） y2=－2px（p＞0） x2=2py（p＞0） x2=－2py（p＞0） 顶点 O（0，0） 范围 x≥0， y R x≤0， y R y≥0， x R y≤0， x R 对称轴 x 轴 y 轴 焦点 ,02 pF      ,02 pF     0, 2 pF      0, 2 pF     离心率 e=1 准线方程 2 px   2 px  2 py   2 py  焦半径 0| | 2 pMF x  0| | 2 pMF x  0| | 2 pMF y  0| | 2 pMF y  对点练习： 【2016 高考新课标 1 卷】以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于 A、B 两点,交 C 的准线于 D、E 两点.已知 |AB|= 4 2 ,|DE|= 2 5 ,则 C 的焦点到准线的距离为（ ） (A)2 (B)4 (C)6 (D)8 【答案】B 2. 抛物线的定义及应用 平面内与一个定点 F 和一条定直线l （l 不经过点 F ）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点 F 叫做抛 物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线． 对点练习： 【2017 山东，文 15】在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线 2 2 2 2 1( 0 0)x y a ba b    ， 的右支与焦点为 F 的抛 物线 2 2 ( 0)x py p  交于 A,B 两点,若|AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为 . 【答案】 2 2y x  【解析】 3. 直线和抛物线的位置关系 （1）将直线的方程 y kx m  与抛物线的方程 y2=2px（p＞0）联立成方程组，消元转化为关于 x 或 y 的一 元二次方程，其判别式为Δ. 2 2 2 0ky py pm   若 0k  ，直线与抛物线的对称轴平行或重合，直线与抛物线相交于一点； 若 0k  ①Δ＞0  直线和抛物线相交，有两个交点； ②Δ＝0  直线和抛物线相切，有一个公共点； ③Δ＜0  直线和抛物线相离，无公共点． （2）直线与抛物线的相交弦 设直线 y kx m  交抛物线 2 2 2 2 1x y a b   ( 0, 0)a b  于点 1 1 1 2 2 2( , ) , ( , ),P x y P x y 两点，则 2 2 1 2 1 2 1 2| | ( ) ( )PP x x y y    = 2 21 2 1 2 1 2 ( ) [1 ( ) ]y yx x x x    = 2 1 21 | |k x x  同理可得 1 2 1 22 1| | 1 | | ( 0)PP y y kk     这里 1 2| |,x x 1 2| |,y y 的求法通常使用韦达定理，需作以下变形： 2 1 2 1 2 1 2| | ( ) 4x x x x x x    2 1 2 1 2 1 2| | ( ) 4y y y y y y    对点练习： 【2016 高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 : 2 0l x y   ，抛物线 2: y 2 ( 0)C px p  （1）若直线 l 过抛物线 C 的焦点，求抛物线 C 的方程； （2）已知抛物线 C 上存在关于直线 l 对称的相异两点 P 和 Q. ①求证：线段 PQ 的中点坐标为 (2 , ).p p  ； ②求 p 的取值范围. 【答案】（1） xy 82  （2）①详见解析，② )3 4,0( 【解析】（1）抛物线 2: y 2 ( 0)C px p  的焦点为 ( ,0)2 p 由点 ( ,0)2 p 在直线 : 2 0l x y   上，得 0 2 02 p    ，即 4.p  所以抛物线 C 的方程为 2 8 .y x （2）设 1 1 2 2(x ,y ), (x ,y )P Q ，线段 PQ 的中点 0 0(x ,y )M 因为点 P 和 Q 关于直线 l 对称，所以直线 l 垂直平分线段 PQ, 于是直线 PQ 的斜率为 1 ，则可设其方程为 .y x b   ①由 2 2y px y x b       消去 x得 2 2 2 0(*)y py pb   因为 P 和 Q 是抛物线 C 上的相异两点，所以 1 2 ,y y 从而 2(2 ) 4( 2 ) 0p pb     ，化简得 2 0p b  . 方程（*）的两根为 2 1,2 2y p p pb    ，从而 1 2 0 .2 y yy p   因为 0 0(x ,y )M 在直线 l 上，所以 0 2 .x p  因此，线段 PQ 的中点坐标为 (2 , ).p p  ②因为 M(2 , ).p p  在直线 y x b   上 所以 (2 ) bp p     ，即 2 2 .b p  由①知 2 0p b  ，于是 2(2 2 ) 0p p   ，所以 4.3p  因此 p 的取值范围为 4(0, ).3 【考点深度剖析】 纵观近几年的高考试题，高考对抛物线的考查，主要考查以下几个方面：一是考查抛物线的标准方程，结 合抛物线的定义及抛物线的焦点，利用待定系数法求解；二是考查抛物线的几何性质，较多地涉及准线、 焦点、焦准距等；三是考查直线与抛物线的位置关系问题，综合性较强，往往与向量结合，涉及方程组联 立，根的判别式、根与系数的关系、弦长问题等，其中，过焦点的直线较多. 选择题或填空题与椭圆、双曲线综合趋势较强，解答题增多. 【重点难点突破】 考点 1 抛物线的标准方程及几何性质 【1-1】已知 P 是抛物线 2y x 上任意一点，则当 P 点到直线 2 0x y   的距离最小时， P 点与该抛物 线的准线的距离是( ) A．2 B．1 C． 2 1 D． 4 1 【答案】C 【解析】当直线 bxy  与抛物线相切于 P 点时，到直线 02  yx 的距离最小，把 bxy  代入 2xy  得 02  bxx ，由于相切 041  b 得 4 1b ，因此      4 1,2 1P ，此点到准线 4 1y 的 距离为 2 1 . 【1-2】已知抛物线的顶点在原点，焦点在 x 轴的正半轴上，若抛物线的准线与双曲线 5x2－y2= 20 的两条 渐近线围成的三角形的面积等于 54 ，则抛物线的方程为( ) A．y2=4x B．y2=8x C．x2=4y D．x2=8y 【答案】B 【1-3】已知抛物线 2 2 ( 0)y px p  的准线与圆 2 2 6 7 0x y x    相切，则 p 的值为( ). A． 1 2 B．1 C．2 D．4 【答案】C 【解析】圆 07622  xyx 化为 16)3( 22  yx ， )0(2  ppx 与圆 16)3( 22  yx 相切， 12  p ，即 2p . 【综合点评】1. 在求抛物线方程时，由于标准方程有四种形式，易混淆，可先根据题目的条件作出草图， 确定方程的形式，再求参数 p，若不能确定是哪一种形式的标准方程，应写出四种形式的标准方程来，不要 遗漏某一种情况；2. 标准方程中的参数 p 的几何意义是指焦点到准线的距离；p＞0 恰恰说明定义中的焦点 F 不在准线l 上这一隐含条件；参数 p 的几何意义在解题时常常用到，特别是具体的标准方程中应找到相当 于 p 的值，才易于确定焦点坐标和准线方程. 【领悟技法】 1．涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方 向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性． 2．求抛物线方程应注意的问题 (1)当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种； (2)要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系； (3)要注意参数 p 的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题． 【触类旁通】 【变式一】如图，过抛物线 y2＝2px (p>0)的焦点 F 的直线 l 交抛物线于点 A、B，交其准线于点 C，若|BC| ＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线方程为( ) A．y2＝9x B．y2＝6x C．y2＝3x D．y2＝ 3 x 【答案】C 【变式二】【2018 届广西钦州市高三上第一次检测】抛物线 的焦点为 ，点 为该抛物线上的动 点，点 是抛物线的准线与坐标轴的交点，则 的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 由题意可知，抛物线的准线方程为 x=﹣1，A（﹣1，0）， 过 P 作 PN 垂直直线 x=﹣1 于 N， 由抛物线的定义可知 PF=PN，连结 PA，当 PA 是抛物线的切线时， 有最小值，则∠APN 最大，即∠PAF 最 大，就是直线 PA 的斜率最大， 设在 PA 的方程为：y=k（x+1），所以 ， 解得：k2x2+（2k2﹣4）x+k2=0， 所以△=（2k2﹣4）2﹣4k4=0，解得 k=±1， 所以∠NPA=45°， =cos∠NPA= ． 故选 B． 【综合点评】1、抛物线的定义与方程的形式是解决抛物线几何性质问题时必须要考虑的两个重要因素． 2、求动点的轨迹方程时，可用定义法列等量关系，化简求解；也可判断后，用类似于公式法的待定系数法 求解，但要判断准确，注意挖掘题目中的隐含条件，防止重、漏解. 考点 2 抛物线的定义及应用 【2-1】过抛物线 y 2=4x 的焦点作直线，交抛物线于 A(x1, y 1) ，B(x2, y 2)两点，如果 x1+ x2=6，那么|AB|= （ ） A．8 B．10 C．6 D．4 【答案】A 【解析】由于 42 p ，因此 2p ，根据焦点弦公式 82621  pxxAB . 【2-2】【2017 届浙江省温州市高三第二次模拟】过抛物线 的焦点 的直线交该抛物线于 ， 两点．若 （ 为坐标原点），则 _______. 【答案】 【解析】设 ，则由抛物线的定义可得 ，则 ，故 ，故直线 的方程为 代入抛物线方程整理可 得 ，则 ，则 ，所以 ，应填答案 。 【2-3】【2017 课标 II，文 12】已知 F 是抛物线 C: 2 8y x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交 y 轴 于点 N 。若 M 为 FN 的中点，则 FN  。 【答案】6 【解析】如图所示，不妨设点 M 位于第一象限，设抛物线的准线与 x 轴交于点 'F ，做 MB l 与点 B ，NA l 与点 A ， 点评：抛物线的定义是联系抛物线上的点到焦点距离和到准线距离的桥梁，解题时要注意合理转化． 【综合点评】 1．已知渐近线方程 y＝mx，若焦点位置不明确要分 m＝b a 或 m＝a b 讨论，求离心率值，需要寻求 a,b,c 的等式， 求离心率取值范围，需寻求关于 a,b,c 的不等式关系，并结合 2 2 2c a b  求． 2．注意数形结合思想在处理渐近线夹角，离心率范围求法中的应用． 【领悟技法】 1．抛物线上的点到焦点距离等于到准线距离，注意转化思想的运用． 2.利用抛物线定义可以解决距离的最大和最小问题，该类问题一般情况下都与抛物线的定义有关．实现由 点到点的距离与点到直线的距离的转化． (1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解． (2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理 解决． 【触类旁通】 【变式 1】【2018 届湖北省部分重点中学高三起点】抛物线 的焦点为 ，过焦点 倾斜角为 的 直线与抛物线相交于两点 两点，若 ，则抛物线的方程为 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【变式 2】【2016 高考浙江理数】若抛物线 y2=4x 上的点 M 到焦点的距离为 10，则 M 到 y 轴的距离是_______． 【答案】 9 【解析】 1 10 9M Mx x    【综合点评】利用抛物线定义进行距离转化的同时，要注意平面几何知识在其中的重大运用． 考点 3 直线和抛物线的位置关系 【3-1】2017 课标 II，文 12】过抛物线 2: 4C y x 的焦点 F ，且斜率为 3 的直线交C 于点 M （ M 在 x 轴上方），l 为C 的准线，点 N 在l 上且 MN l ,则 M 到直线 NF 的距离为( ) A. 5 B. 2 2 C. 2 3 D. 3 3 【答案】C 【3-2】【2017 届浙江省温州市高三 8 月模拟】过抛物线 2 4y x 的焦点 F 的直线分别交抛物线于 ,A B 两点， 交直线 1x   于点 P ，若  , ,PA AF PB BF R         ，则    ______________． 【答案】0 【解析】直线 1x   是抛物线的准线，如图设 ,A B 在直线l 上的射影分别是 ,M N ， AM AF ， BN BF ， PA PA AF AM  ，PB PB BF BN  ，因为 //AM BN ，所以 PA PB AF BF  ，  ，又 0, 0   ， 所以 0   ． 【3-3】【2017 课标 1，文 20】设 A，B 为曲线 C：y= 2 4 x 上两点，A 与 B 的横坐标之和为 4． （1）求直线 AB 的斜率； （2）设 M 为曲线 C 上一点，C 在 M 处的切线与直线 AB 平行，且 AM  BM，求直线 AB 的方程． 【答案】（1）1； （2） 7y x  ． 【解析】 将 y x m  代入 2 4 xy  得 2 4 4 0x x m   ． 当 16( 1) 0m    ，即 1m   时， 1,2 2 2 1x m   ． 从而 1 2| |= 2 | | 4 2( 1)AB x x m   ． 由题设知| | 2 | |AB MN ，即 4 2( 1) 2( 1)m m   ，解得 7m  ． 所以直线 AB 的方程为 7y x  ． 【综合点评】在解决直线与抛物线位置关系的问题时，其方法类似于直线与椭圆的位置关系．在解决此类 问题时，除考虑代数法外，还应借助平面几何的知识，利用数形结合的思想求解． 【领悟技法】 .已知过抛物线 2 2 ( 0)y px p  的焦点 F 的直线交抛物线于 A、B 两点。 设 A(x1,y1)，B(x2,y2)，则： ①焦点弦长 1 2 2 2| | | | ( )sin pAB x x p AB AB   或 为 的倾斜角 ② 2 2 1 2 1 2 -4 px x y y p ， ③ 1 1 2 | | | |FA FB p   ，其中|AF|叫做焦半径， 1| | 2 pFA x  ④焦点弦长最小值为 2p。根据 2 2| | sin 2 pAB  可见，当 为 时，即 AB 垂直于 x 轴时，弦 AB 的长最短， 最短值为 2p。 【触类旁通】 【变式一】【2017 北京，理 18】已知抛物线 C：y2=2px 过点 P（1，1）.过点（0， 1 2 ）作直线 l 与抛物线 C 交于不同的两点 M，N，过点 M 作 x 轴的垂线分别与直线 OP，ON 交于点 A，B，其中 O 为原点. （Ⅰ）求抛物线 C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； （Ⅱ）求证：A 为线段 BM 的中点. 【答案】（Ⅰ）方程为 2y x ，抛物线 C 的焦点坐标为（ 1 4 ，0），准线方程为 1 4x   .（Ⅱ）详见解析. 【解析】 试题分析：（Ⅰ）代入点 P 求得抛物线的方程，根据方程表示焦点坐标和准线方程；（Ⅱ）设直线 l 的方程 为 1 2y kx  （ 0k  ），与抛物线方程联立，得到根与系数的关系，直线 ON 的方程为 2 2 yy xx  ，联立求得点 B 的坐标 2 1 1 2 ( , )y yx x ，证明 1 2 1 1 2 2 0y yy xx    . 【变式 2】【2017 课标 3，文 20】在直角坐标系 xOy 中，曲线 2 2y x mx   与 x 轴交于 A，B 两点，点 C 的坐标为 (0,1) .当 m 变化时，解答下列问题： （1）能否出现 AC⊥BC 的情况？说明理由； （2）证明过 A，B，C 三点的圆在 y 轴上截得的弦长为定值. 【答案】（1）不会；（2）详见解析 【解析】试题分析：（1）设    1 2,0 , ,0A x B x ，由 AC⊥BC 得 1 2 1 0x x   ；由韦达定理得 1 2 2x x   ，矛盾， 所以不存在（2）可设圆方程为 2 2 2 0x y mx Ey     ,因为过 (0,1) ，所以 1E  ，令 0x  得 2 2 0 1 2y y y y      或 ，即弦长为 3. 令 0x  得 1 21, 2y y   ，所以过 A，B，C 三点的圆在 y 轴上截得的弦长为  1 2 3   ，所以 所以过 A，B，C 三点的圆在 y 轴上截得的弦长为定值 解法 2：设过 A，B，C 三点的圆与 y 轴的另一个交点为 D， 由 1 2 2x x   可知原点 O 在圆内，由相交弦定理可得 1 2 2OD OC OA OB x x   ， 又 1OC  ，所以 2OD  ， 所以过 A，B，C 三点的圆在 y 轴上截得的弦长为 3OC OD  ，为定值. 【综合点评】抛物线弦的中点坐标和方程的两根之和的密切联系是解决中点弦问题的关键，方程的思想也 是解析几何的核心思想. 【易错试题常警惕】 易错典例：求过点 )1,0( 的直线，使它与抛物线 xy 22  仅有一个交点。 易错分析：对直线和抛物线有一个交点理解有误以及． 正确解析：1.当所求直线斜率不存在时，即直线垂直 x 轴，因为过点 )1,0( ，所以 ,0x 即 y 轴，它正好与 抛物线 xy 22  相切。 2.当所求直线斜率为零时，直线为 y = 1 平行 x 轴，它正好与抛物线 xy 22  只有一个交点。 3.一般地，设所求的过点 )1,0( 的直线为 1 kxy )0( k ,则      xy kxy 2 1 2 ，  .01)22(22  xkxk 令 ,0 解得 k = 1 2 ,∴ 所求直线为 .12 1  xy 综上，满足条件的直线为： .12 1,0,1  xyxy 温馨提示：直线和抛物线有一个交点有两种情况：相切以及平行于对称轴． 【学科素养提升之思想方法篇】 数形结合百般好，隔裂分家万事休——数形结合思想 我国著名数学家华罗庚曾说过:"数形结合百般好，隔裂分家万事休。""数"与"形"反映了事物两个方面的属 性。我们认为，数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系。数形结合就是把抽象的数学语言、数 量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过"以形助数"或"以数解形"即通过抽象思维与形象思维 的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的. 数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互 转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化.在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点： 第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几 何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化； 第三是正确确定参数的取值范围. 【典例】【2017 浙江，21】如图，已知抛物线 2x y ，点 A 1 1( )2 4  ， ， 3 9( )2 4B ， ，抛物线上的点 )2 3 2 1)(,(  xyxP ．过点 B 作直线 AP 的垂线，垂足为 Q． （Ⅰ）求直线 AP 斜率的取值范围； （Ⅱ）求 |||| PQPA  的最大值． 【答案】（Ⅰ） )1,1( ；（Ⅱ） 27 16 【解析】 （Ⅱ）联立直线 AP 与 BQ 的方程 1 1 0,2 4 9 3 0,4 2 kx y k x ky k           解得点 Q 的横坐标是 )1(2 34 2 2   k kkxQ ，因为|PA|= 2 11 ( )2k x  = )1(1 2  kk |PQ|= 1 )1)(1()(1 2 2 2   k kkxxk Q ，所以|PA||PQ|= 3)1)(1(  kk 令 3)1)(1()(  kkkf ，因为 2)1)(24()('  kkkf ，所以 f(k)在区间 )2 1,1( 上单调递增， )1,2 1( 上单调递减，因此当 k= 1 2 时， |||| PQPA  取得最大值 27 16 ．