【数学】2020届一轮复习苏教版简单的逻辑联结词全称量词与存在量词学案
§1.4 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
考情考向分析 逻辑联结词和含有一个量词的命题的否定是高考的重点；命题的真假判断常以函数、不等式为载体，考查学生的推理判断能力，题型为填空题，低档难度．
1．简单的逻辑联结词
(1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词．
(2)命题p且q、p或q、非p的真假判断
p
q
p且q
p或q
非p
真
真
真
真
假
真
假
假
真
假
假
真
假
真
真
假
假
假
假
真
2.全称量词和存在量词
(1)全称量词：“所有”、“任意”、“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词，用符号“∀”表示．
(2)存在量词：“有一个”、“有些”、“存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词，用符号“∃”表示．
3．全称命题、存在性命题及含一个量词的命题的否定
命题名称
语言表示
符号表示
命题的否定
全称命题
对M中任意一个x，有p(x)成立
∀x∈M，p(x)
∃x∈M，綈p(x)
存在性命题
存在M中的一个x，使p(x)成立
∃x∈M，p(x)
∀x∈M，綈p(x)
概念方法微思考
含有逻辑联结词的命题的真假有什么规律？
提示 p∨q：一真即真；p∧q：一假即假；p，綈p：真假相反．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)命题“3≥2”是真命题．( √ )
(2)命题p和綈p不可能都是真命题．( √ )
(3)“全等三角形的面积相等”是存在性命题．( × )
(4)命题綈(p∧q)是假命题，则命题p，q都是真命题．( √ )
题组二 教材改编
2．[P13习题T3]已知p：2是偶数，q：2是质数，则命题綈p，綈q，p∨q，p∧q中真命题的个数为________．
答案 2
解析 p和q显然都是真命题，所以綈p，綈q都是假命题，p∨q，p∧q都是真命题．
3．[P16例1]命题“∃x∈N，x2≤0”的否定是____________．
答案 ∀x∈N，x2>0
4．[P23测试T6]命题“对于函数f(x)＝x2＋(a∈R)，存在a∈R，使得f(x)是偶函数”为________命题．(填“真”或“假”)
答案 真
解析 当a＝0时，f(x)＝x2(x≠0)为偶函数．
题组三 易错自纠
5．命题“綈p为真”是命题“p∧q为假”的________条件．
答案 充分不必要
解析 由綈p为真知，p为假，可得p∧q为假；反之，若p∧q为假，则可能是p真q假，从而綈p为假．故“綈p为真”是“p∧q为假”的充分不必要条件．
6．下列命题中的假命题是________．(填序号)
①∃x∈R，lg x＝1；
②∃x∈R，sin x＝0；
③∀x∈R，x3>0；
④∀x∈R,2x>0.
答案 ③
解析 当x＝10时，lg 10＝1，则①为真命题；
当x＝0时，sin 0＝0，则②为真命题；
当x<0时，x3<0，则③为假命题；
由指数函数的性质知，∀x∈R,2x>0，则④为真命题．
7．已知命题p：∀x∈R，x2－a≥0；命题q：∃x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0.若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围为__________．
答案 (－∞，－2]
解析 由已知条件，知p和q均为真命题，由命题p为真，得a≤0，由命题q为真，得Δ＝4a2－4(2－a)≥0，即a≤－2或a≥1，所以a≤－2.
题型一 含有逻辑联结词的命题的真假判断
1．设a，b，c是非零向量．已知命题p：若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c.则下列命题中的真命题是________．(填序号)
①p∨q；②p∧q；③(綈p)∧(綈q)；④p∨(綈q)．
答案 ①
解析 如图所示，
若a＝，b＝，c＝，则a·c≠0，命题p为假命题；显然命题q为真命题，所以p∨q为真命题．
2．设命题p：函数y＝log2(x2－2x)的单调增区间是[1，＋∞)，命题q：函数y＝的值域为(0,1)，则下列命题中是真命题的为________．(填序号)
①p∧q；②p∨q；③p∧(綈q)；④綈q.
答案 ②
解析 函数y＝log2(x2－2x)的单调增区间是(2，＋∞)，所以命题p为假命题．
由3x>0，得0<<1，
所以函数y＝的值域为(0,1)，故命题q为真命题．
所以p∧q为假命题，p∨q为真命题，p∧(綈q)为假命题，綈q为假命题．
3．已知命题p：若平面α⊥平面β，平面γ⊥平面β，则有平面α∥平面γ.命题q：在空间中，对于三条不同的直线a，b，c，若a⊥b，b⊥c，则a∥c.对以上两个命题，有以下命题：
①p∧q为真；②p∨q为假；③p∨q为真；④(綈p)∨(綈q)为假．
其中，正确的是________．(填序号)
答案 ②
解析 命题p是假命题，这是因为α与γ也可能相交；命题q也是假命题，这两条直线也可能异面，相交．
思维升华 “p∨q”“p∧q”“綈p”等形式命题真假的判断步骤
(1)确定命题的构成形式；
(2)判断其中命题p，q的真假；
(3)确定“p∧q”“p∨q”“綈p”等形式命题的真假．
题型二 含有一个量词的命题
命题点1 全称命题、存在性命题的真假
例1 下列四个命题：
①∃x∈(0，＋∞)，x
；
④∀x∈，x<.
其中真命题序号为________．
答案 ②④
解析 对于①，当x∈(0，＋∞)时，总有x>x成立，故①是假命题；
对于②，当x＝时，有成立，故②是真命题；
对于③，当01>x，故③是假命题；
对于④，∀x∈，x<1<，故④是真命题．
命题点2 含一个量词的命题的否定
例2 (1)命题：“∃x∈R，sin x＋cos x>2”的否定是________________．
答案 ∀x∈R，sin x＋cos x≤2
(2)已知命题p：∀x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)≥0，则綈p是__________．
答案 ∃x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0
思维升华 (1)判定全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；要判定存在性命题是真命题，只要在限定集合内找到一个x0，使p(x0)成立．
(2)对全称命题、存在性命题进行否定的方法
①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义先加上量词，再改变量词；
②对原命题的结论进行否定．
跟踪训练1 (1)设命题p：∀x∈(0，＋∞)，3x>2x；命题q：∃x∈(－∞，0)，3x>2x，则下列命题为真命题的是________．(填序号)
①p∧q；②p∧(綈q)；③(綈p)∧q；④(綈p)∧(綈q)．
答案 ②
解析 ∀x∈(0，＋∞)，3x>2x，所以命题p为真命题；∀x∈(－∞，0)，3x<2x，所以命题q为假命题，因此p∧q，(綈p)∧q，(綈p)∧(綈q)为假命题，p∧(綈q)为真命题，故填②.
(2)命题“∀x∈R，x>0”的否定是______________．
答案 ∃x∈R，x≤0
解析 全称命题的否定是存在性命题，“>”的否定是“≤”．
(3)已知命题“∃x∈R，ex＋a<0”为假命题，则a的取值范围是________．
答案 [0，＋∞)
解析 因为命题“∃x∈R，ex＋a<0”为假命题，
所以ex＋a≥0恒成立，
所以a≥(－ex)max的最大值．
∵－ex<0，∴a≥0.
题型三 命题中参数的取值范围
例3 (1)已知命题p：“∀x∈[0,1]，a≥ex”；命题q：“∃x∈R，使得x2＋4x＋a＝0”．若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围为____________．
答案 [e,4]
解析 若命题“p∧q”是真命题，那么命题p，q都是真命题．由∀x∈[0,1]，a≥ex，得a≥e；由∃x∈R，使x2＋4x＋a＝0，得Δ＝16－4a≥0，则a≤4，因此e≤a≤4.则实数a
的取值范围为[e,4]．
(2)已知f(x)＝ln(x2＋1)，g(x)＝x－m，若对∀x1∈[0,3]，∃x2∈[1,2]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是________________．
答案
解析 当x∈[0,3]时，f(x)min＝f(0)＝0，当x∈[1,2]时，
g(x)min＝g(2)＝－m，由f(x)min≥g(x)min，
得0≥－m，所以m≥.
引申探究
本例(2)中，若将“∃x2∈[1,2]”改为“∀x2∈[1,2]”，其他条件不变，则实数m的取值范围是________________．
答案
解析 当x∈[1,2]时，g(x)max＝g(1)＝－m，
由f(x)min≥g(x)max，得0≥－m，∴m≥.
思维升华 (1)已知含逻辑联结词的命题的真假，可根据每个命题的真假，利用集合的运算求解参数的取值范围．(2)对于含量词的命题中求参数的取值范围的问题，可根据命题的含义，利用函数值域(或最值)解决．
跟踪训练2 (1)(2018·苏北三市期末)由命题“∃x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题，求得实数m的取值范围是(a，＋∞)，则实数a＝________.
答案 1
解析 由题意得命题“∀x∈R，x2＋2x＋m>0”是真命题，
所以Δ＝4－4m<0，即m>1，
故实数m的取值范围是(1，＋∞)，从而实数a的值为1.
(2)已知c>0，且c≠1，设命题p：函数y＝cx为减函数．命题q：当x∈时，函数f(x)＝x＋>恒成立．如果“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，则c的取值范围为________．
答案 ∪(1，＋∞)
解析 由命题p为真知，0恒成立，需<2，即c>，
即由命题q为真，知c>.
若“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，
则p，q中必有一真一假，
当p真q假时，c的取值范围是01.
综上可知，c的取值范围是∪(1，＋∞)．
常用逻辑用语
有关四种命题及其真假判断、充分必要条件的判断或求参数的取值范围、量词等问题几乎在每年高考中都会出现，多与函数、数列、立体几何、解析几何等知识相结合，难度中等偏下．解决这类问题应熟练把握各类知识的内在联系．
一、命题的真假判断
例1 (1)下列命题的否定为假命题的是________．(填序号)
①∀x∈R，－x2＋x－1<0；
②∀x∈R，|x|>x；
③∀x，y∈Z,2x－5y≠12；
④∀x∈R，sin2x＋sin x＋1＝0.
答案 ①
解析 命题的否定为假命题亦即原命题为真命题，只有①为真命题．
(2)已知命题p：∀x∈R，log2(x2＋4)≥2，命题q：y＝是定义域上的减函数，则下列命题中为真命题的是________．(填序号)
①p∨(綈q)；②p∧q；③(綈p)∨q；④(綈p)∧(綈q)．
答案 ①
解析 命题p：函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，x2＋4≥4，所以log2(x2＋4)≥log24＝2，即命题p是真命题，因此綈p为假命题；命题q：y＝在定义域上是增函数，故命题q是假命题，綈q是真命题．因此①是真命题，②③④均为假命题．
二、充要条件的判断
例2 (1)“a>1”是“函数f(x)＝a·x＋cos x在R上单调递增”的________条件．
答案 充分不必要
解析 由题意，函数f(x)＝a·x＋cos x在R上单调递增，
则f′(x)≥0恒成立，
即f′(x)＝a－sin x≥0，即a≥sin x，
因为－1≤sin x≤1，即a≥1，
所以“a>1”是“函数f(x)＝a·x＋cos x在R上单调递增”的充分不必要条件．
(2)已知圆C：(x－1)2＋y2＝r2(r>0)．设p：00，即a2－2a－3>0，解得a<－1或a>3.
(2)已知命题p：∃x∈R，(m＋1)·(x2＋1)≤0，命题q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立．若p∧q为假命题，则实数m的取值范围为____________．
答案 (－∞，－2]∪(－1，＋∞)
解析 由命题p：∃x∈R，(m＋1)(x2＋1)≤0，
可得m≤－1，
由命题q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立，可得－2－1.
1．设命题p：函数y＝sin 2x的最小正周期为；命题q：函数y＝cos x的图象关于直线x＝对称，则下列判断正确的是________．(填序号)
①p为真；②綈q为假；③p∧q为假；④p∨q为真．
答案 ③
解析 函数y＝sin 2x的最小正周期为＝π，故命题p为假命题；x＝不是y＝cos x的对称轴，故命题q为假命题，故p∧q为假．
2．命题“∃x∈R，x2－2x＋1≤0”的否定形式为________．
答案 ∀x∈R，x2－2x＋1>0
解析 ∵命题是存在性命题，∴根据存在性命题的否定是全称命题，
命题“∃x∈R，x2－2x＋1≤0”的否定形式为：∀x∈R，x2－2x＋1>0.
3．命题p的否定是“对所有正数x，>x＋1”，则命题p可写为__________．
答案 ∃x∈(0，＋∞)，≤x＋1
解析 因为p是綈p的否定，所以只需将全称量词变为存在量词，再对结论否定即可．
4．以下四个命题中既是存在性命题又是真命题的是________．(填序号)
①锐角三角形有一个内角是钝角；
②至少有一个实数x，使x2≤0；
③两个无理数的和必是无理数；
④存在一个负数x，>2.
答案 ②
解析 ①中锐角三角形的内角都是锐角，所以①是假命题；②中当x＝0时，x2＝0，满足x2≤0，所以②既是存在性命题又是真命题；③是全称命题，又是假命题；④中对于任意一个负数x，都有<0，不满足>2，所以④是假命题．
5．设命题p：∃x∈(0，＋∞)，x＋>3，命题q：∀x∈(2，＋∞)，x2>2x，则下列命题为真的是________．(填序号)
①p∧(綈q)；②(綈p)∧q；③p∧q；④(綈p)∨q.
答案 ①
解析 命题p：∃x∈(0，＋∞)，x＋>3，当x＝3时，x＋＝>3，命题p为真；命题q：∀x∈(2，＋∞)，x2>2x，当x＝4时，42＝24，命题q为假．所以p∧(綈q)为真．
6．已知命题p：若a>1，则ax>logax恒成立；命题q：在等差数列{an}中，m＋n＝p＋q是am＋an＝ap＋aq的充分不必要条件(m，n，p，q∈N*)．则下列为真命题的是______．(填序号)
①(綈p)∧(綈q)；②(綈p)∨(綈q)；③p∨(綈q)；④p∧q.
答案 ②
解析 当a＝1.1，x＝2时，
ax＝1.12＝1.21，logax＝log1.12>log1.11.21＝2，
此时，ax0，由题意知，其为真命题，即Δ＝(a－1)2－4×2×<0，则－20，若p∨q为假命题，则实数m的取值范围是________．
答案 [2，＋∞)
解析 依题意知，p，q均为假命题．
当p是假命题时，mx2＋1>0恒成立，则有m≥0；
当q是假命题时，则有Δ＝m2－4≥0，
解得m≤－2或m≥2.
因此由p，q均为假命题得即m≥2.
11．已知函数f(x)的定义域为(a，b)，若“∃x∈(a，b)，f(x)＋f(－x)≠0”是假命题，则f(a＋b)＝________.
答案 0
解析 若“∃x∈(a，b)，f(x)＋f(－x)≠0”是假命题，则“∀x∈(a，b)，f(x)＋f(－x)＝0”是真命题，即f(－x)＝－f(x)，则函数f(x)是奇函数，则a＋b＝0，即f(a＋b)＝f(0)＝0.
12．已知命题p1：∀x∈(0，＋∞)，3x>2x，p2：∃θ∈R，sin θ＋cos θ＝，则在命题q1：p1∨p2；q2：p1∧p2；q3：(綈p1)∨p2和q4：p1∧(綈p2)中，真命题是________．
答案 q1，q4
解析 因为y＝x在R上是增函数，即y＝x>1在(0，＋∞)上恒成立，所以命题p1是真命题；sin θ＋cos θ＝sin≤，所以命题p2是假命题，綈p2是真命题，所以命题q1：p1∨p2，q4：p1∧(綈p2)是真命题．
13．已知命题p：∃x∈R，使tan x＝1；命题q：x2－3x＋2<0的解集是{x|11时，f′(x)>0，函数f(x)＝在(1，＋∞)上是单调递增函数；当0m(x2＋1)，q：函数f(x)＝4x＋2x＋1＋m－1存在零点．若“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，则实数m的取值范围是____________．
答案
解析 ∀x∈，2x>m(x2＋1)，
即m<＝在上恒成立，
当x＝时，max＝，
∴min＝，∴由p真得m<.
设t＝2x，则t∈(0，＋∞)，则函数f(x)化为g(t)＝t2＋2t＋m－1，由题意知g(t)在(0，＋∞)上存在零点，令g(t)＝0，得m＝－(t＋1)2＋2，又t>0，所以由q真得m<1.
又“p∨q”为真，“p∧q”为假，∴p，q一真一假，
则或解得≤m<1.
故所求实数m的取值范围是.
