【数学】2020届一轮复习苏教版高频考点练透学案

【数学】2020届一轮复习苏教版高频考点练透学案

必备七　高频考点练透 高频考点一　集合运算 ‎1.(2018扬州高三第三次调研)已知集合A={-1,0,3,5},B={x|x-2>0},则A∩B=　　　　　. ‎ ‎2.(2018南京高三年级第三次模拟)集合A={x|x2+x-6=0},B={x|x2-4=0},则A∪B=　　　. ‎ ‎3.(2018南通高三第二次调研)已知集合U={-1,0,1,2,3},A={-1,0,2},则∁UA=　　　　　. ‎ ‎4.(2018江苏南通中学高三考前冲刺练习)已知集合A={0,4},B={3,2m}.若A∪B={0,3,4},则实数m的值为　　　　　. ‎ 高频考点二　复数 ‎1.(2018苏锡常镇四市高三教学情况调研(二))若复数z满足(1+i)z=2(i是虚数单位),则z的虚部为　　　　. ‎ ‎2.(2018扬州高三第三次调研)已知(1+3i)(a+bi)=10i,其中i为虚数单位,a,b∈R,则ab的值为　　　　　. ‎ ‎3.(2018江苏徐州模拟)已知复数z=(1-2i)2(i为虚数单位),则z的模为　　　　　. ‎ ‎4.(2018扬州高三考前调研)在复平面内,复数z=‎1-i‎2i(i为虚数单位)对应的点位于第　　　　象限. ‎ 高频考点三　统计 ‎1.(2018江苏盐城中学高三数学阶段性检测)一支田径队有男运动员28人,女运动员21人,现按性别用分层抽样的方法,从中抽取14位运动员进行健康检查,则男运动员应抽取　　　　人. ‎ ‎2.(2018淮海中学高三数学3月高考模拟)有100件产品编号从00到99,用系统抽样方法从中抽取5件产品进行检验,分组后每组按照相同的间隔抽取产品,若第5组抽取的产品编号为91,则第2组抽取的产品编号为　　　　. ‎ ‎3.(2018徐州铜山高三年级第三次模拟考试)甲在某周五天的时间内,每天加工零件的个数用茎叶图表示如下图(左边一列的数字表示零件个数的十位数,右边的数字表示零件个数的个位数),则该组数据的方差s2的值为　　　　. ‎ ‎1‎ ‎8‎ ‎7‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎4.(2018扬州高三考前调研测试)为了了解一批产品的长度(单位:毫米)情况,现抽取容量为400的样本进行检测,下图是检测结果的频率分布直方图,根据产品标准,单件产品长度在区间[25,30)的为一等品,在区间[20,25)和[30,35)的为二等品,其余均为三等品,则样本中三等品的件数为　　　　. ‎ 高频考点四　概率 ‎1.(2018江苏南京模拟)已知A,B,C三人分别在连续三天中值班,每人值班一天,那么A与B在相邻两天值班的概率为　　　　. ‎ ‎2.(2018南通高三第二次调研)在长为12cm的线段AB上任取一点C,以线段AC,BC为邻边作矩形,则该矩形的面积大于32cm2的概率为　　　　. ‎ ‎3.(2018扬州高三第三次调研)袋中有若干只红、黄、蓝三种颜色的球,这些球除颜色外完全相同.现从中随机摸出1只球,若摸出的球不是红球的概率为0.8,不是黄球的概率为0.5,则摸出的球为蓝色的概率为　　　　. ‎ ‎4.(2018苏锡常镇四市高三教学情况调研(二))欧阳修在《卖油翁》中写到:“(翁)乃取一葫芦置于地,以钱覆其口,徐以杓酌油沥之,自钱孔入,而钱不湿”,可见卖油翁的技艺之高超,若铜钱直径4厘米,中间有边长为1厘米的正方形小孔,随机向铜钱上滴一滴油(油滴大小忽略不计),则油恰好落入孔中的概率是　　　　. ‎ 高频考点五　算法 ‎1.如图所示的流程图的运行结果是　　　　. ‎ ‎2.(2018徐州高三模拟)运行如图所示的伪代码,其结果为　　　　. ‎ S←0‎ ForIFrom1To9‎ S←S+I EndFor PrintS ‎3.(2018苏锡常镇四市高三教学情况调研(二))如图是一个算法流程图,若输入值x∈[0,2],则输出S的取值范围是　　　　. ‎ ‎4.执行如图所示的伪代码,输出的结果是　　　　. ‎ S←1‎ I←2‎ While　S≤100‎ I←I+2‎ S←S×I EndWhile Print　I 高频考点六　空间几何体的体积与表面积 ‎1.(2018江苏南京高三联考)已知一个圆锥的母线长为2,侧面展开图是半圆,则该圆锥的体积为　　　　. ‎ ‎2.已知直三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2,点P,Q分别为棱CC1,BC的中点,则四面体A1-B1PQ的体积为　　　　. ‎ ‎3.直三棱柱ABC-A1B1C1中,已知AB⊥BC,AB=3,BC=4,AA1=5,若三棱柱的所有顶点都在同一球面上,则该球的表面积为　　　　. ‎ 高频考点七　空间平行与垂直 ‎1.给出下列命题:‎ ‎(1)若两个平面平行,则其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面;‎ ‎(2)若两个平面平行,则垂直于其中一个平面的直线一定垂直于另一个平面;‎ ‎(3)若两个平面垂直,则垂直于其中一个平面的直线一定平行于另一个平面;‎ ‎(4)若两个平面垂直,则其中一个平面内的直线一定垂直于另一个平面.‎ 则其中所有真命题的序号为　　　　. ‎ ‎2.已知平面α,β,γ和直线l,m,且l⊥m,α⊥γ,α∩γ=m,β∩γ=l,给出下列四个结论:①β⊥γ;②l⊥α;③m⊥β;④α⊥β.其中正确的序号是　　　　. ‎ ‎3.(2018江苏南京高三联考)在三棱锥P-ABC中,D,E分别为AB,AC的中点,且PA=PB,∠PDC为锐角.‎ ‎(1)证明:BC∥平面PDE;‎ ‎(2)若平面PCD⊥平面ABC,证明:AB⊥PC.‎ 高频考点八　基本初等函数的图象与性质 ‎1.(2018江苏如东高级中学期中)已知函数f(x)=ln(1+x2),则满足不等式f(2x-1)2‎(a>0且a≠1)的值域为[6,+∞),则实数a的取值范围是　　　　. ‎ ‎4.(2018常州教育学会学业水平检测)已知当x∈(0,1)时,函数y=(mx-1)2的图象与y=x+m的图象有且只有一个交点,则实数m的取值范围是　　　　. ‎ 高频考点九　函数与方程 ‎1.(2018盐城伍佑中学期末)若方程7x2-(m+13)x-m-2=0的一个根在区间(0,1)上,另一个根在区间(1,2)上,则实数m的取值范围为　　　　. ‎ ‎2.(2018常州教育学会学业水平检测)若函数f(x)=2x+x-2的零点在区间(k,k+1)(k∈Z)上,则k的值为　　　　. ‎ ‎3.(2018江苏镇江期末)方程‎1‎‎2‎x=|lnx|的解的个数为　　　　. ‎ ‎4.(2018江苏宿迁期末)已知函数f(x)=‎|log‎2‎x|,02,‎若函数g(x)=f(x)-m(m∈R)有三个不同的零点x1,x2,x3,且x10)与曲线y=f(x)和y=g(x)分别交于M,N两点.设曲线y=f(x)在点M处的切线为l1,y=g(x)在点N处的切线为l2.‎ ‎①当m=e时,若l1⊥l2,求a的值;‎ ‎②若l1∥l2,求a的最大值;‎ ‎(2)设函数h(x)=f(x)-g(x)在其定义域内恰有两个不同的极值点x1,x2,且x10,且λlnx2-λ>1-lnx1恒成立,求λ的取值范围.‎ 高频考点十一　解不等式 ‎1.已知不等式x2-2x-3<0的解集为A,不等式x2+x-6<0的解集是B,不等式x2+ax+b<0的解集是A∩B,那么a+b等于　　　　. ‎ ‎2.设函数f(x)=x,x<1,‎x‎3‎‎-‎1‎x+1,x≥1,‎则不等式f(6-x2)>f(x)的解集为　　　　. ‎ ‎3.已知函数f(x)=‎-x‎2‎,　x≥0,‎x‎2‎‎+2x,x<0,‎则不等式f(f(x))≤3的解集为　　　　. ‎ 高频考点十二　线性规划 ‎1.(2018苏州阳光指标调研)已知变量x,y满足‎0≤x≤3,‎x+y≥0,‎x-y+3≤0,‎则z=2x-3y的最大值为　　　　. ‎ ‎2.已知变量x,y满足x≥2,‎x+y≤4,‎‎2x-y≤c,‎目标函数z=3x+y的最小值为5,则c的值为　　　　. ‎ ‎3.(2018江苏扬州高三第一次模拟)若实数x,y满足x≤4,‎y≤3,‎‎3x+4y≥12,‎则x2+y2的取值范围是　　　　. ‎ 高频考点十三　基本不等式 ‎1.(2018江苏盐城中学高三上学期期末)若log4(a+4b)=log2ab,则a+b的最小值是　　　　. ‎ ‎2.(2018苏州学业阳光指标调研)已知正实数a,b,c满足‎1‎a+‎1‎b=1,‎1‎a+b+‎1‎c=1,则c的取值范围是　　　　. ‎ ‎3.(2018江苏盐城高三(上)期中)设函数f(x)=|x-a|+‎9‎x(a∈R),当x∈(0,+∞)时,不等式f(x)≥4恒成立,则a的取值范围是　　　　. ‎ 高频考点十四　三角函数的图象与性质 ‎1.若-3m,m(m>0)恰好是函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的两个相邻零点,则φ=　　　　. ‎ ‎2.函数y=cos(2x+φ)(0<φ<π)的图象向右平移π‎2‎个单位后,与函数y=sin‎2x-‎π‎3‎的图象重合,则φ=　　　　. ‎ ‎3.已知函数f(x)=3sinωx-‎π‎6‎(ω>0)和g(x)=3cos(2x+φ)的图象的对称中心完全相同,若x∈‎0,‎π‎2‎,则f(x)的取值范围是　　　　. ‎ 高频考点十五　三角变换求值 ‎1.已知sinθ+2cosθ=0,则‎1+sin‎2‎θcos‎2‎θ=　　　　. ‎ ‎2.若a∈‎0,‎π‎2‎,cosπ‎4‎‎-a=2‎2‎cos2α,则sin2α=　　　　. ‎ ‎3.已知角α,β满足tanαtanβ=‎7‎‎13‎,若sin(α+β)=‎2‎‎3‎,则sin(α-β)的值为　　　　. ‎ ‎4.已知α∈π‎2‎‎,π,tanα=-2.‎ ‎(1)求sinπ‎4‎‎+α的值;(2)求cos‎2π‎3‎‎-2α的值.‎ 高频考点十六　解三角形 ‎1.在△ABC中,已知AB=5,BC=3,∠B=2∠A,则边AC的长为　　　　. ‎ ‎2.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若acosB-bcosA=‎3‎‎5‎c,则tanAtanB=　　　　. ‎ ‎3.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,c=2‎3‎,且asinA-csinC=(a-b)sinB.‎ ‎(1)求角C的值;‎ ‎(2)若c+bcosA=a(4cosA+cosB),求△ABC的面积.‎ ‎4.(2018徐州铜山高三年级第三次模拟考试)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=1,b=2‎3‎,B-A=π‎6‎.‎ ‎(1)求sinA的值;‎ ‎(2)求c的值.‎ 高频考点十七　平面向量 ‎1.在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=2CD,M,N分别为CD,BC的中点,若AB=λAM+μAN,则λ+μ=　　　　. ‎ ‎2.(2018泰州中学检测)已知O是△ABC外接圆的圆心,若4OA+5OB+6OC=0,则cosC=　　　　. ‎ ‎3.(2018徐州铜山第三次模拟)等边△ABC的边长为2,过边BC上一点P分别作AB,AC的垂线,垂足分别为M,N,则PM·PN的最小值为　　　　. ‎ ‎4.(2018泰州中学高三3月检测)设向量a=(sinx,‎3‎cosx),b=(-1,1),c=(1,1),其中x∈[0,π].‎ ‎(1)若(a+b)∥c,求实数x的值;‎ ‎(2)若a·b=‎1‎‎2‎,求函数y=sinx+‎π‎6‎的值.‎ 高频考点十八　直线与圆 ‎1.已知直线3x-4y-6=0与圆x2+y2-2y+m=0(m∈R)相切,则m的值为　　　　. ‎ ‎2.(2018江苏南京高三联考)在平面直角坐标系xOy中,已知AB是圆O:x2+y2=1的直径,若直线l:kx-y-3k+1=0上存在点P,连接AP与圆O交于点Q,满足BP∥OQ,则实数k的取值范围是　　　　. ‎ ‎3.(2018兴化一中模拟)若直线l1:y=x+a和直线l2:y=x+b将圆(x-1)2+(y-2)2=5分成长度相等的四段弧,则ab=　　　　. ‎ ‎4.已知直线l与圆C:x2+y2+2x-4y+a=0相交于A、B两点,弦AB的中点为M(0,1).‎ ‎(1)求实数a的取值范围以及直线l的方程;‎ ‎(2)若圆C上存在四个点到直线l的距离为‎2‎,求实数a的取值范围;‎ ‎(3)已知N(0,-3),若圆C上存在两个不同的点P,使PM=‎3‎PN,求实数a的取值范围.‎ 高频考点十九　圆锥曲线的几何性质 ‎1.(2018江苏南通模拟)已知双曲线C:x‎2‎a‎2‎-y‎2‎b‎2‎=1(a>0,b>0)的左顶点为A,右焦点为F,点B(0,b),且BA·BF=0,则双曲线C的离心率为　　　　. ‎ ‎2.若抛物线y=ax2的焦点坐标是(0,1),则a=　　　　. ‎ ‎3.(2018江苏南通模拟)已知圆C1:x2+2cx+y2=0,圆C2:x2-2cx+y2=0,椭圆C:x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)的焦距为2c,若圆C1,C2都在椭圆C内,则椭圆C的离心率的范围是　　　　. ‎ 高频考点二十　圆锥曲线的综合问题 ‎1.(2018江苏高考预测卷二)已知过双曲线x‎2‎a‎2‎-y‎2‎b‎2‎=1(a>0,b>0)的右顶点A且斜率为-1的直线l与双曲线的两条渐近线分别交于B,C两点,若A,B,C三点的横坐标成等比数列,则双曲线的离心率为　　　　. ‎ ‎2.(2018江苏高考预测卷四)如图,F1,F2是双曲线E:x‎2‎‎4‎-y‎2‎‎2‎=1与椭圆F的公共焦点,A是它们在第二象限的交点,且AF1⊥AF2,则椭圆F的离心率为　　　　. ‎ ‎3.(2018江苏联考)已知椭圆C:x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)的左顶点,右焦点分别为A,F,右准线为m.‎ ‎(1)若直线m上不存在点Q,使△AFQ为等腰三角形,求椭圆离心率的取值范围;‎ ‎(2)在(1)的条件下,当e取最大值时,A点坐标为(-2,0),设B,M,N是椭圆上的三点,且OB=‎3‎‎5‎OM+‎4‎‎5‎ON,求以线段MN的中点为圆心,过A,F两点的圆的方程.‎ 高频考点二十一　等差、等比数列的基本量运算 ‎1.(2018南京、盐城高三第二次模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn.若S15=30,a7=1,则S9的值为　　　　. ‎ ‎2.(2018江苏扬州中学模拟)已知{an}为等差数列,Sn为其前n项和,公差为d,若S‎2018‎‎2018‎-S‎18‎‎18‎=100,则d的值为　　　　. ‎ ‎3.(2018江苏南通阶段检测)若等比数列{an}的各项均为正数,且a10a11+a9a12=2e5,则lna1+lna2+…+lna20的值为　　　　. ‎ ‎4.(2018江苏扬州高三第一次模拟)已知各项都是正数的等比数列{an}的前n项和为Sn,若4a4,a3,6a5成等差数列,且a3=3a‎2‎‎2‎,则S3=　　　　. ‎ 高频考点二十二　等差、等比数列的综合运用 ‎1.设等比数列{an}的公比为q(01)成等差数列?若存在,求出所有满足条件的m,n;若不存在,请说明理由.‎ 高频考点二十三　实际应用题 ‎1.(2018江苏海安高级中学阶段检测(三))一块圆柱形木料的底面半径为12cm,高为32cm,要将这块木料加工成一只毛笔筒,在木料一端正中间掏去一个小圆柱,使小圆柱与原木料同轴,并且掏取的圆柱体积是原木料体积的三分之一,设小圆柱底面半径为rcm,高为hcm,要求笔筒底面的厚度超过2cm.‎ ‎(1)求r与h的关系,并指出r的取值范围;‎ ‎(2)笔筒成形后进行后续加工,要求笔筒上底圆环面、桶内侧面、外表侧面都喷上油漆,其中上底圆环面、外表侧面喷漆费用均为a(元/cm2),桶内侧面喷漆费用为2a(元/cm2),而桶内底面铺贴金属薄片,其费用是7a(元/cm2)(其中a为正常数).‎ ‎①将笔筒的后续加工费用y(元)表示为r(cm)的函数;‎ ‎②求出当r取何值时,笔筒的后续加工费用y最小,并求出y的最小值.‎ ‎2.已知美国苹果公司生产某款iPhone手机的年固定成本为40万美元,每生产1万台还需另投入16万美元.设苹果公司一年内共生产该款iPhone手机x万台并全部销售完,每万台的销售收入为R(x)万美元,且R(x)=‎‎400-6x,040.‎ ‎(1)写出年利润W(万元)关于年产量x(万台)的函数解析式;‎ ‎(2)当年产量为多少万台时,苹果公司在该款手机的生产中所获得的利润最大?并求出最大利润.‎ ‎3.如图,某广场中间有一块边长为2百米的菱形绿化区ABCD,其中图形BMN是半径为1百米的扇形,∠ABC=‎2π‎3‎.管理部门欲在该地从M到D修建小路:在MN上选一点P(异于M、N两点),过点P修建与BC平行的小路PQ.问:点P选择在何处,才能使得修建的小路MP与PQ及QD的总长度最小?并说明理由.‎ 高频考点二十四　矩阵及其变换(理科专用)‎ ‎1.(2018苏州学业阳光指标调研)选修4-2:矩阵与变换 已知M=‎1　2‎‎2　1‎,β=‎1‎‎7‎,求M4β.‎ ‎2.(2018江苏南京模拟)已知矩阵A=‎2　0‎‎0　1‎,B=‎1　-1‎‎2　5‎,求矩阵A-1B.‎ 高频考点二十五　坐标系与参数方程(理科专用)‎ ‎1.(2018南京、盐城高三第二次模拟)在平面直角坐标系中,直线l的参数方程为x=t,‎y=‎3‎t+2‎(t为参数),圆C的参数方程为x=acosθ,‎y=asinθ(a>0,θ为参数),点P是圆C上的任意一点,若点P到直线l距离的最大值为3,求a的值.‎ ‎2.(2018苏州学业阳光指标调研)选修4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为x=1+t,‎y=t-3‎(t为参数),以原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=‎2cosθsin‎2‎θ,若直线l与曲线C相交于A,B两点,求△AOB的面积.‎ 高频考点二十六　不等式选讲(理科专用)‎ ‎1.(2017南京、盐城、连云港高三第二次模拟)设a≠b,求证:a4+6a2b2+b4>4ab(a2+b2).‎ ‎2.(2018江苏高考预测卷四)‎ 已知函数f(x)=‎‎|x+1|,-2≤x≤2,‎‎3-|x|,x<-2或x>2.‎ ‎(1)求函数f(x)的值域;‎ ‎(2)若关于x的方程f(x)-a=0(a<0)有两个不相等的实数根,求a+‎1‎a的最大值.‎ 高频考点二十七　求空间角(理科专用)‎ ‎1.(2018江苏南京调研)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AB⊥AD,AD∥BC,AP=AB=AD=1.‎ ‎(1)若直线PB与CD所成角的大小为π‎3‎,求BC的长;‎ ‎(2)求二面角B-PD-A的余弦值.‎ ‎2.(2017南京、盐城、连云港高三第二次模拟)如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面四边形ABCD为菱形,A1A=AB=2,∠ABC=π‎3‎,E,F分别是BC,A1C的中点.‎ ‎(1)求异面直线EF,AD所成角的余弦值;‎ ‎(2)点M在线段A1D上,A‎1‎MA‎1‎D=λ,若CM∥平面AEF,求实数λ的值.‎ 高频考点二十八　随机变量及其分布(理科专用)‎ ‎1.(2018江苏南通海安高级中学高三阶段检测)在1,2,3,…,9这9个自然数中,任取3个不同的数.‎ ‎(1)求这3个数中至少有1个数是偶数的概率;‎ ‎(2)求这3个数的和为18的概率;‎ ‎(3)设ξ为这3个数中两数相邻的组数(例如:若取出的数为1,2,3,则有两组相邻的数1,2和2,3,此时ξ的值是2).求随机变量ξ的分布列及其数学期望E(ξ).‎ ‎2.(2018南京、盐城高三第二次模拟)甲、乙两人站在P点处分别向A,B,C三个目标进行射击,每人向三个目标各射击一次,每人每次射击每个目标均相互独立,且两人各自击中A,B,C的概率分别都为‎1‎‎2‎,‎1‎‎3‎,‎1‎‎4‎.‎ ‎(1)设X表示甲击中目标的个数,求随机变量X的分布列和数学期望;‎ ‎(2)求甲、乙两人共击中目标数为2的概率.‎ 高频考点二十九　数学归纳法(理科专用)‎ ‎1.(2018常州教育学会学业水平检测)记(x+1)·x+‎‎1‎‎2‎·…·x+‎‎1‎n(n≥2且n∈N*)的展开式中含x项的系数为Sn,含x2项的系数为Tn.‎ ‎(1)求Sn;‎ ‎(2)若TnSn=an2+bn+c对n=2,3,4成立,求实数a,b,c的值;‎ ‎(3)对(2)中的实数a,b,c,用数学归纳法证明:对任意n≥2且n∈N*,TnSn=an2+bn+c都成立.‎ ‎2.(2018苏州学业阳光指标调研)在正整数集上定义函数y=f(n),满足f(n)[f(n+1)+1]=2[2-f(n+1)],且f(1)=2.‎ ‎(1)求证:f(3)-f(2)=‎9‎‎10‎;‎ ‎(2)是否存在实数a,b,使f(n)=‎1‎a‎-‎‎3‎‎2‎n-b+1对任意正整数n恒成立?并证明你的结论.‎ 高频考点三十　抛物线(理科专用)‎ ‎1.已知抛物线y2=4x的焦点为F,直线l过点M(4,0).‎ ‎(1)若点F到直线l的距离为‎3‎,求直线l的斜率;‎ ‎(2)设A,B为抛物线上两点,且AB不与x轴垂直,若线段AB的垂直平分线恰过点M,求证:线段AB中点的横坐标为定值.‎ ‎2.(2018江苏海安高级中学阶段检测(三))如图,在平面直角坐标系xOy中,已知直线l:x-y-4=0,抛物线C:y2=2px(p>0).‎ ‎(1)若直线l过抛物线C的焦点,求抛物线C的方程;‎ ‎(2)已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.‎ ‎①求证:线段PQ的中点坐标为(4-p,-p);‎ ‎②求p的取值范围.‎ 答案精解精析 高频考点一　集合运算 ‎1.答案　{3,5}‎ 解析　由交集定义可得A∩B={3,5}.‎ ‎2.答案　{-3,-2,2}‎ 解析　集合A={2,-3},B={2,-2},则A∪B={-3,-2,2}.‎ ‎3.答案　{1,3}‎ 解析　由补集定义可得∁UA={1,3}.‎ ‎4.答案　2‎ 解析　因为2m>0,则由并集定义可得2m=4,m=2.‎ 高频考点二　复数 ‎1.答案　-1‎ 解析　复数z=‎2‎‎1+i=1-i的虚部是-1.‎ ‎2.答案　3‎ 解析　复数a+bi=‎10i‎1+3i=i(1-3i)=3+i,则a=3,b=1,ab=3.‎ ‎3.答案　5‎ 解析　复数z=(1-2i)2=-3-4i,则|z|=5.‎ ‎4.答案　三 解析　复数z=‎1-i‎2i=‎(1-i)(-i)‎‎2‎=-‎1‎‎2‎-‎1‎‎2‎i对应的点‎-‎1‎‎2‎,-‎‎1‎‎2‎位于第三象限.‎ 高频考点三　统计 ‎1.答案　8‎ 解析　男运动员应抽取‎28‎‎28+21‎×14=8人.‎ ‎2.答案　31‎ 解析　将100件产品分成5组,每组20件,则抽取的样本编号是以20为公差的等差数列,第5组抽取的产品编号为91,则第2组抽取的产品编号为91-20×3=31.‎ ‎3.答案　‎‎22‎‎5‎ 解析　由茎叶图可得这组数据的平均数是‎18+17+22+21+22‎‎5‎=20,则方差s2=‎4+9+4+1+4‎‎5‎=‎22‎‎5‎.‎ ‎4.答案　100‎ 解析　由频率分布直方图可得一等品的频率是0.0625×5=0.3125,二等品的频率是(0.05+0.0375)×5=0.4375,则三等品的频率是1-(0.3125+0.4375)=0.25,又样本容量是400,所以样本中三等品的件数为0.25×400=100.‎ 高频考点四　概率 ‎1.答案　‎‎2‎‎3‎ 解析　A,B,C三人分别在连续三天中值班,每人值班一天,有(ABC)、(ACB)、(BAC)、(BCA)、(CAB)、(CBA),共6种,其中A与B在相邻两天值班的结果有4种,故所求概率为‎4‎‎6‎=‎2‎‎3‎.‎ ‎2.答案　‎‎1‎‎3‎ 解析　设AC=xcm,x∈(0,12),则由题意得x(12-x)>32,解得42满足,继续运行,第2次,S=24,a=2,条件a>2不满足,结束运行,故输出的S=24.‎ ‎2.答案　45‎ 解析　该伪代码运行9次,则S=1+2+3+……+9=‎9×(1+9)‎‎2‎=45.‎ ‎3.答案　[0,1]‎ 解析　由流程图可得S=‎1,0≤x<1,‎‎2x-x‎2‎,1≤x≤2,‎结合函数图象得S∈[0,1].‎ ‎4.答案　8‎ 解析　该算法运行3次,第1次,I=4,S=4;第2次,I=6,S=24;第3次,I=8,S=192,运行结束,故输出的I=8.‎ 高频考点六　空间几何体的体积与表面积 ‎1.答案　‎3‎‎3‎π 解析　设圆锥底面圆半径为r,则2π=2πr,r=1,则圆锥的高h=‎2‎‎2‎‎-‎‎1‎‎2‎=‎3‎,则该圆锥的体积V=‎1‎‎3‎πr2h=‎3‎‎3‎π.‎ ‎2.答案　‎‎3‎‎2‎ 解析　S‎△B‎1‎PQ=S正方形BCC‎1‎B‎1‎-S‎△BB‎1‎Q-S‎△B‎1‎C‎1‎P-S△PCQ=2×2-‎1‎‎2‎×2×1-‎1‎‎2‎×2×1-‎1‎‎2‎×1×1=‎3‎‎2‎,‎ 当△B1PQ作为三棱锥的底面时,三棱锥的高是边长为2的等边三角形A1B1C1的边B1C1上的高,h=‎3‎,四面体A1-B1PQ的体积为V=‎1‎‎3‎×‎3‎‎2‎×‎3‎=‎3‎‎2‎.‎ ‎3.答案　50π 解析　如图,ABC-A1B1C1是直三棱柱,∴A1A⊥AC,又三棱柱的所有顶点都在同一球面上,∴A1C是球的直径,∴R=A‎1‎C‎2‎.∵AB⊥BC,∴AC=‎3‎‎2‎‎+‎‎4‎‎2‎=5,∴A1C2=52+52=50,故该球的表面积为S=4πR2=4πA‎1‎C‎2‎‎2‎=πA1C2=50π.‎ 高频考点七　空间平行与垂直 ‎1.答案　(1)(2)‎ 解析　(1)因为两个平面平行,所以两个平面没有公共点,即其中一个平面的直线与另一个平面也没有公共点.由直线与平面平行的判定定理可得直线与该平面平行,所以(1)正确.(2)因为该直线与其中一个平面垂直,那么该直线必与其中两条相交直线垂直,又两个平面平行,故另一个平面也必定存在两条相交直线与该直线垂直,所以该直线与另一个平面也垂直.故(2)正确.(3)错,反例:该直线可以在另一个平面内.(4)错,反例:其中一个平面内也存在直线与另一个平面平行.综上,(1)(2)为真命题.‎ ‎2.答案　②④‎ 解析　如图,∵β∩γ=l,∴l⊂γ,由α⊥γ,α∩γ=m,且l⊥m,得l⊥α,故②正确;由β∩γ=l,得l⊂β,由l⊥α,得α⊥β,故④正确;而①③条件不充分,不能判断.‎ ‎3.证明　(1)因为D,E分别为AB,AC的中点,所以DE∥BC.‎ 又DE⊂平面PDE,BC⊄平面PDE,‎ 所以BC∥平面PDE.‎ ‎(2)过点P作PO⊥CD,垂足为O.‎ 因为平面PCD⊥平面ABC,PO⊂平面PCD,平面PCD∩平面ABC=CD,‎ 所以PO⊥平面ABC.‎ 又因为AB⊂平面ABC,所以AB⊥PO.‎ 因为PA=PB,D为AB的中点,所以AB⊥PD.‎ 又∠PDC为锐角,一定有PO∩PD=P,PO,PD⊂平面PCD,所以AB⊥平面PCD.‎ 又PC⊂平面PCD,所以AB⊥PC.‎ 高频考点八　基本初等函数的图象与性质 ‎1.答案　(-1,2)‎ 解析　函数f(x)是偶函数,且在[0,+∞)内单调递增,则f(2x-1)2时,f(x)=logax+5≥6恒成立,所以a>1,loga2≥1=logaa,故10,‎f(1)=m‎2‎-3m<0‎或f(0)=1-m<0,‎f(1)=m‎2‎-3m>0,‎解得03.‎ 高频考点九　函数与方程 ‎1.答案　(-4,-2)‎ 解析　令f(x)=7x2-(m+13)x-m-2,则f(0)=-m-2>0,‎f(1)=-8-2m<0,‎f(2)=-3m>0,‎解得-40,所以f(x)在(0,1)上有唯一零点,故k=0.‎ ‎3.答案　2‎ 解析　在同一直角坐标系中作出函数y=‎1‎‎2‎x,y=|lnx|的图象(图略),可知两函数图象有2个交点,故原方程有两解.‎ ‎4.答案　(-2,0)‎ 解析　函数g(x)=f(x)-m(m∈R)有三个不同的零点x1,x2,x3,且x1g‎1‎‎2‎=-2,所以实数a的取值范围是a≥-2.‎ ‎2.答案　y=x+6‎ 解析　f'(x)=[x2+(2-a)x+1]ex(a∈N),‎ 设g(x)=x2+(2-a)x+1,‎ 因为函数f(x)在区间(1,3)只有1个极值点,‎ 所以函数f'(x)在区间(1,3)只有1个零点,则有g(1)·g(3)<0,解得41时,f'(0)=1-a<0,f'π‎4‎=eπ‎4‎π‎4‎‎+1‎>0,‎ 所以存在α∈‎0,‎π‎4‎,使得f'(α)=0,且在(0,α)内,f'(x)<0,‎ 所以f(x)在(0,α)上为减函数,所以f(x)1时,不符合题意.‎ 综上所述,a的取值范围是(-∞,1].‎ ‎(3)不存在实数a,使得函数f(x)在区间‎0,‎π‎2‎上有两个零点.‎ 理由:由(2)知,当a≤1时,f(x)在‎0,‎π‎2‎上是增函数,且f(0)=0,故函数f(x)在区间‎0,‎π‎2‎上无零点.‎ 当a>1时,f'(x)=ex(x+1)-acos2x,‎ 令g(x)=ex(x+1)-acos2x,g'(x)=ex(x+2)+2asin2x,‎ 当x∈‎0,‎π‎2‎时,恒有g'(x)>0,所以g(x)在‎0,‎π‎2‎上是增函数.‎ 由g(0)=1-a<0,gπ‎2‎=eπ‎2‎π‎2‎‎+1‎+a>0,‎ 故g(x)在‎0,‎π‎2‎上存在唯一的零点x0,即方程f'(x)=0在‎0,‎π‎2‎上存在唯一解x0,‎ 且当x∈(0,x0)时,f'(x)<0,当x∈x‎0‎‎,‎π‎2‎时,f'(x)>0,‎ 即函数f(x)在(0,x0)上单调递减,在x‎0‎‎,‎π‎2‎上单调递增,‎ 当x∈(0,x0)时,f(x)0,‎ 所以f(x)在x‎0‎‎,‎π‎2‎上有唯一零点,‎ 所以,当a>1时,f(x)在‎0,‎π‎2‎上有一个零点.‎ 综上所述,不存在实数a,使得函数f(x)在区间‎0,‎π‎2‎上有两个零点.‎ ‎4.解析　(1)解法一:函数f(x)的定义域为{x|x>0}.‎ f'(x)=1+lnx,g'(x)=ax+1.‎ ‎①当m=e时,f'(e)=2,g'(e)=ae+1.‎ 因为l1⊥l2,所以f'(e)·g'(e)=-1,即2(ae+1)=-1.‎ 解得a=-‎3‎‎2e.‎ ‎②因为l1∥l2,则f'(m)=g'(m)在(0,+∞)上有解,即lnm-am=0在(0,+∞)上有解.‎ 设F(x)=lnx-ax,x>0,则F'(x)=‎1‎x-a=‎1-axx.‎ 当a≤0时,F'(x)>0恒成立,则函数F(x)在(0,+∞)上为增函数.‎ ‎(i)当a<0时,取x=ea,F(ea)=a-aea=a(1-ea)<0.‎ 取x=e,F(e)=1-ae>0,所以F(x)在(0,+∞)上存在零点.‎ ‎(ii)当a=0时,F(x)=lnx存在零点x=1,满足题意.‎ ‎(iii)当a>0时,令F'(x)=0,则x=‎1‎a,则F(x)在‎0,‎‎1‎a上为增函数,在‎1‎a‎,+∞‎上为减函数.‎ 所以F(x)的最大值为F‎1‎a=ln‎1‎a-1≥0,解得00}.‎ f'(x)=1+lnx,g'(x)=ax+1.‎ 则f'(m)=1+lnm,g'(m)=am+1.‎ 因为l1∥l2,则f'(m)=g'(m)在(0,+∞)上有解,即lnm=am在(0,+∞)上有解.‎ 因为m>0,所以a=lnmm.‎ 令F(x)=lnxx(x>0),则F'(x)=‎1-lnxx‎2‎,令F'(x)=0,解得x=e.‎ 当x∈(0,e)时,F'(x)>0,F(x)为增函数;‎ 当x∈(e,+∞)时,F'(x)<0,F(x)为减函数.‎ 所以F(x)max=F(e)=‎1‎e.‎ 所以,a的最大值是‎1‎e.‎ ‎(2)h(x)=xlnx-a‎2‎x2-x+a(x>0),‎ h'(x)=lnx-ax.‎ 因为x1,x2是h(x)在其定义域内的两个不同的极值点,‎ 所以x1,x2是方程lnx-ax=0的两个不等实根,‎ 故lnx1=ax1,lnx2=ax2.‎ 两式作差得a=lnx‎1‎-lnx‎2‎x‎1‎‎-‎x‎2‎.‎ 由λlnx2-λ>1-lnx1,得1+λ0,0‎1+λx‎1‎‎+λx‎2‎⇔lnx‎1‎-lnx‎2‎x‎1‎‎-‎x‎2‎>‎1+λx‎1‎‎+λx‎2‎⇔lnx‎1‎x‎2‎<‎(1+λ)(x‎1‎-x‎2‎)‎x‎1‎‎+λx‎2‎.‎ 令t=x‎1‎x‎2‎,则t∈(0,1).‎ 由题意得,lnt<‎(1+λ)(t-1)‎t+λ在t∈(0,1)上恒成立.‎ 令φ(t)=lnt-‎(1+λ)(t-1)‎t+λ,t∈(0,1),‎ 则φ'(t)=‎1‎t-‎(1+t‎)‎‎2‎‎(t+λ‎)‎‎2‎=‎(t-1)(t-λ‎2‎)‎t(t+λ‎)‎‎2‎.‎ ‎①当λ2≥1,即λ≥1时,∀t∈(0,1),φ'(t)>0,所以φ(t)在(0,1)上单调递增,‎ 又φ(1)=0,则φ(t)<0在(0,1)上恒成立.‎ ‎②当λ2<1,即0<λ<1时,‎ 若t∈(0,λ2),则φ'(t)>0,φ(t)在(0,λ2)上为增函数;‎ 若t∈(λ2,1),则φ'(t)<0,φ(t)在(λ2,1)上为减函数.‎ 又φ(1)=0,所以φ(t)不恒小于0,不符合题意.‎ 综上,λ∈[1,+∞).‎ 高频考点十一　解不等式 ‎1.答案　-3‎ 解析　易知A=(-1,3),B=(-3,2),‎ ‎∴A∩B=(-1,2),则-1+2=-a,-2=b,‎ ‎∴a=-1,b=-2,∴a+b=-3.‎ ‎2.答案　(-3,2)‎ 解析　函数f(x)在R上单调递增,则不等式f(6-x2)>f(x)等价于6-x2>x,解得-30,则‎1‎b+‎4‎a=1,所以a+b=(a+b)‎1‎b‎+‎‎4‎a=5+ab+‎4ba≥5+2ab‎·‎‎4ba=9,当且仅当ab=‎4ba,a=2b=6时取等号,故a+b的最小值是9.‎ ‎2.答案　‎‎1,‎‎4‎‎3‎ 解析　因为a,b是正实数,且‎1‎a+‎1‎b=1,则a+b=ab≥2ab,ab≥4.又由‎1‎a+b+‎1‎c=1得‎1‎ab+‎1‎c=1,c=abab-1‎=1+‎1‎ab-1‎∈‎1,‎‎4‎‎3‎.‎ ‎3.答案　(-∞,2]‎ 解析　函数f(x)=|x-a|+‎9‎x(a∈R),∵x∈(0,+∞),‎ ‎∴当x>a时,f(x)=x+‎9‎x-a≥2‎9‎x‎·x-a≥4,当且仅当x=3时取等号,即6-a≥4,可得a≤2.‎ 当x0,‎ 则由cosπ‎4‎‎-α=‎2‎‎2‎(cosα+sinα)=2‎2‎(cosα+sinα)·(cosα-sinα)可得cosα-sinα=‎1‎‎4‎,两边平方可得1-sin2α=‎1‎‎16‎,解得sin2α=‎15‎‎16‎.‎ ‎3.答案　-‎‎1‎‎5‎ 解析　因为sin(α+β)‎sin(α-β)‎=tanα+tanβtanα-tanβ,且sin(α+β)=‎2‎‎3‎,tanαtanβ=‎7‎‎13‎,‎ 所以sin(α-β)=sin(α+β)×tanα-tanβtanα+tanβ=-‎1‎‎5‎.‎ ‎4.解析　(1)由α∈π‎2‎‎,π,tanα=-2,得sinα=‎2‎‎5‎‎5‎,cosα=-‎5‎‎5‎,‎ sinπ‎4‎‎+α=sinπ‎4‎cosα+cosπ‎4‎sinα=‎1‎‎10‎‎10‎.‎ ‎(2)sin2α=2sinαcosα=-‎4‎‎5‎,cos2α=cos2α-sin2α=-‎3‎‎5‎,‎ cos‎2π‎3‎‎-2α=cos‎2π‎3‎cos2α+sin‎2π‎3‎sin2α=‎3-4‎‎3‎‎10‎.‎ 高频考点十六　解三角形 ‎1.答案　2‎‎6‎ 解析　由∠B=2∠A得sinB=sin(2A)=2sinAcosA,由正弦定理和余弦定理可得b=2a·b‎2‎‎+c‎2‎-‎a‎2‎‎2bc.又a=3,c=5,代入解得b=2‎6‎.‎ ‎2.答案　4‎ 解析　因为acosB-bcosA=‎3‎‎5‎c,所以sinAcosB-sinBcosA=‎3‎‎5‎sinC=‎3‎‎5‎sin(A+B),化简得sinAcosB=4sinBcosA,所以tanAtanB=sinAcosBsinBcosA=4.‎ ‎3.解析　(1)由正弦定理及asinA-csinC=(a-b)sinB可得a2+b2=c2+ab,‎ 又由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC,得cosC=‎1‎‎2‎,所以C=π‎3‎.‎ ‎(2)由正弦定理及c+bcosA=a(4cosA+cosB)可得sinC+sinBcosA=4sinAcosA+sinAcosB,从而有sinBcosA=2sinAcosA,‎ 当A=π‎2‎时,b=2,S△ABC=2‎3‎;‎ 当A≠π‎2‎时,b=2a,a=2,b=4,S△ABC=‎1‎‎2‎absinC=2‎3‎.‎ 综上,△ABC的面积是2‎3‎.‎ ‎4.解析　(1)在△ABC中,因为a=1,b=2‎3‎,B-A=π‎6‎,‎ 由正弦定理得,‎1‎sinA=‎2‎‎3‎sinA+‎π‎6‎,‎ 于是2‎3‎sinA=sinAcosπ‎6‎+cosAsinπ‎6‎,即3‎3‎sinA=cosA,‎ 又sin2A+cos2A=1,所以sinA=‎7‎‎14‎.‎ ‎(2)由(1)知,cosA=‎3‎‎21‎‎14‎,‎ 则sin2A=2sinAcosA=‎3‎‎3‎‎14‎,cos2A=1-2sin2A=‎13‎‎14‎,‎ 在△ABC中,因为A+B+C=π,B-A=π‎6‎,所以C=‎5π‎6‎-2A.‎ 则sinC=sin‎5π‎6‎‎-2A=sin‎5π‎6‎cos2A-cos‎5π‎6‎sin2A=‎1‎‎2‎×‎13‎‎14‎+‎3‎‎2‎×‎3‎‎3‎‎14‎=‎11‎‎14‎.‎ 由正弦定理得,c=asinCsinA=‎11‎‎7‎‎7‎.‎ 高频考点十七　平面向量 ‎1.答案　‎‎4‎‎5‎ 解析　因为AB=AN+NB=AN+CN=AN+(CA+AN)=2AN+CM+MA=2AN-‎1‎‎4‎AB-AM,所以AB=‎8‎‎5‎AN-‎4‎‎5‎AM,所以λ+μ=‎4‎‎5‎.‎ ‎2.答案　‎‎7‎‎4‎ 解析　由题意可得4OA+5OB=-6OC(1),设△ABC外接圆的半径为R,则由(1)知C为锐角,两边平方得16R2+25R2+40R2cos∠AOB=36R2,则cos∠AOB=-‎1‎‎8‎,即cos2C=-‎1‎‎8‎,则2cos2C-1=-‎1‎‎8‎,cosC>0,则cosC=‎7‎‎4‎.‎ ‎3.答案　-‎‎3‎‎8‎ 解析　由题意可得‎1‎‎2‎·2PM+‎1‎‎2‎·PN=‎3‎‎4‎×22,PM+PN=‎3‎,且∠MPN=120°,则PM·PN=PM·PNcos120°=-‎1‎‎2‎PM·PN≥-‎1‎‎2‎×PM+PN‎2‎‎2‎=-‎3‎‎8‎,当且仅当PM=PN=‎3‎‎2‎时,取等号,故PM·PN的最小值是-‎3‎‎8‎.‎ ‎4.解析　(1)a+b=(sinx-1,‎3‎cosx+1).‎ 因为(a+b)∥c,所以sinx-1=‎3‎cosx+1,‎ 则sinx-‎3‎cosx=2,‎ 可得2‎1‎‎2‎sinx-‎3‎‎2‎cosx=2,‎ 故sinx-‎π‎3‎=1.‎ 因为x∈[0,π],所以x-π‎3‎∈‎-π‎3‎,‎‎2π‎3‎,‎ 故x-π‎3‎=π‎2‎,解得x=‎5π‎6‎.‎ ‎(2)因为a·b=‎1‎‎2‎,所以-sinx+‎3‎cosx=‎1‎‎2‎,即sinx-‎3‎cosx=-‎1‎‎2‎,‎ 可得2‎1‎‎2‎sinx-‎3‎‎2‎cosx=-‎1‎‎2‎,‎ 故sinx-‎π‎3‎=-‎1‎‎4‎.‎ 因为x+‎π‎6‎-x-‎π‎3‎=π‎2‎,‎ 所以sinx+‎π‎6‎=sinπ‎2‎‎+‎x-‎π‎3‎=cosx-‎π‎3‎.‎ 由x∈[0,π],可得x-π‎3‎∈‎-π‎3‎,‎‎2π‎3‎,‎ 又sinx-‎π‎3‎=-‎1‎‎4‎<0,则x-π‎3‎∈‎-π‎3‎,0‎,‎ 故可得cosx-‎π‎3‎>0.‎ 因为sin2x-‎π‎3‎+cos2x-‎π‎3‎=1,‎ 所以cosx-‎π‎3‎=‎1-‎‎-‎‎1‎‎4‎‎2‎=‎15‎‎4‎,‎ 所以sinx+‎π‎6‎=‎15‎‎4‎.‎ 高频考点十八　直线与圆 ‎1.答案　-3‎ 解析　圆x2+y2-2y+m=0,即x2+(y-1)2=1-m,由直线3x-4y-6=0与圆相切可得d=‎|-4-6|‎‎3‎‎2‎‎+‎‎4‎‎2‎=2=‎1-m,得m=-3.‎ ‎2.答案　‎‎-‎4‎‎3‎,+∞‎ 解析　由题意可得点Q是AP的中点,O是AB的中点,OQ=1,则BP=2,则点O到直线l:kx-y-3k+1=0的距离‎|-3k+1|‎k‎2‎‎+1‎≤3,解得k≥-‎4‎‎3‎.‎ ‎3.答案　-4‎ 解析　由题意可得直线l1,l2与圆相交的四点构成正方形,则圆心(1,2)到直线l1,l2的距离‎|a-1|‎‎2‎=‎2‎‎2‎×‎5‎,a=1±‎5‎,同理b=1±‎5‎,a≠b,则ab=(1+‎5‎)(1-‎5‎)=-4.‎ ‎4.解析　(1)圆C:(x+1)2+(y-2)2=5-a,则圆心C(-1,2),r=‎5-a(a<5).‎ 根据题意得CM=‎2‎<‎5-a⇒a<3.‎ 因为CM⊥AB⇒kCM·kAB=-1,kCM=-1⇒kAB=1,‎ 所以直线l的方程为x-y+1=0.‎ ‎(2)与直线l平行且距离为‎2‎的直线为l1:x-y+3=0过圆心,有两个交点,‎ l2:x-y-1=0与圆相交⇒2‎2‎<‎5-a⇒a<-3,即实数a的取值范围为(-∞,-3).‎ ‎(3)设P(x,y),PM=‎3‎PN⇒x2+(y+5)2=12.‎ 根据题意得两个圆相交,则|‎5-a-2‎3‎|<5‎2‎<‎5-a+2‎3‎⇒-57-20‎6‎1,得e=‎5‎‎+1‎‎2‎.‎ ‎2.答案　‎‎1‎‎4‎ 解析　因为抛物线方程为x2=‎1‎ay,所以其焦点坐标为‎0,‎‎1‎‎4a,则有‎1‎‎4a=1,即a=‎1‎‎4‎.‎ ‎3.答案　‎‎0,‎‎1‎‎2‎ 解析　由题意,得圆C1,C2的圆心分别为(-c,0)和(c,0),半径均为c,满足题意得圆与椭圆的临界位置关系如图所示,则知要使圆C1,C2都在椭圆内,则需满足不等式2c≤a,所以离心率0b>0),易得F‎1‎F‎2‎‎=2‎6‎,‎AF‎2‎-AF‎1‎=4,‎AF‎2‎+AF‎1‎=2a,‎AF‎2‎‎2‎+AF‎1‎‎2‎=F‎1‎F‎2‎‎2‎,‎解得a=2‎2‎,C=‎6‎,‎ 所以椭圆F的离心率e=ca=‎6‎‎2‎‎2‎=‎3‎‎2‎.‎ ‎3.解析　(1)设直线m与x轴的交点是Q,依题意知FQ≥FA,‎ 即a‎2‎c-c≥a+c,a‎2‎c≥a+2c,ac≥1+2ca,‎1‎e≥1+2e,2e2+e-1≤0,得00,则4a4+6a5=2a3,4a3q+6a3q2=2a3,解得q=‎1‎‎3‎(舍负),则a3=‎1‎‎3‎a2=3a‎2‎‎2‎,a2=‎1‎‎9‎,a1=‎1‎‎3‎,a3=‎1‎‎27‎,则S3=‎1‎‎3‎+‎1‎‎9‎+‎1‎‎27‎=‎13‎‎27‎.‎ 高频考点二十二　等差、等比数列的综合运用 ‎1.答案　‎‎63‎‎4‎ 解析　由a1=4a3a4=4a‎1‎‎2‎q5,得a1q5=‎1‎‎4‎,即a6=‎1‎‎4‎.又a6+‎3‎‎4‎a4=2a5,所以a6+‎3‎‎4‎×a‎6‎q‎2‎=‎2‎a‎6‎q,则4q2-8q+3=0,又00,从而数列{dn}为递增数列,‎ 所以当n=1时,dn取最小值d1=0,于是a≤0.‎ ‎(3)不存在.‎ 理由:假设存在正整数m,n,使b1,am,bn(n>1)成等差数列,则b1+bn=2am,‎ 即1+n2=2m,‎ 若n为偶数,则1+n2为奇数,而2m为偶数,上式不成立.‎ 若n为奇数,设n=2k-1(k∈N*),则1+n2=1+(2k-1)2=4k2-4k+2=2m,‎ 于是2k2-2k+1=2m-1,即2(k2-k)+1=2m-1,‎ 当m=1时,k=1,此时n=2k-1=1与n>1矛盾;‎ 当m≥2时,上式左边为奇数,右边为偶数,显然不成立.‎ 综上所述,满足条件的m,n不存在.‎ 高频考点二十三　实际应用题 ‎1.解析　(1)据题意,πr2h=‎1‎‎3‎(π×122×32),所以h=‎32×48‎r‎2‎,‎ 因为32-h>2,所以h<30,即‎32×48‎r‎2‎<30,解得r>‎16‎‎5‎‎5‎,‎ 又040时,W=xR(x)-(16x+40)=-‎40000‎x-16x+7360,‎ ‎∴W=‎‎-6x‎2‎+384x-40,040.‎ ‎(2)当040时,W=-‎40000‎x-16x+7360≤-2‎40000‎x‎·16x+7360,‎ 当且仅当‎40000‎x=16x,即x=50时,W取最大值,Wmax=5760,‎ ‎∵6104>5760,‎ ‎∴当x=32时,W取最大值,为6104.‎ 则当年产量为32万台时,利润最大,为6104万美元.‎ ‎3.解析　连接BP,过P作PP1⊥BC,垂足为P1,过Q作QQ1⊥BC,垂足为Q1.‎ 设∠PBP1=θ‎0<θ<‎‎2π‎3‎,则lMP=‎2π‎3‎-θ,‎ 若0<θ<π‎2‎,则在Rt△PBP1中,PP1=sinθ,BP1=cosθ,‎ 若θ=π‎2‎,则PP1=1,BP1=0,‎ 若π‎2‎<θ<‎2π‎3‎,则PP1=sinθ,‎ BP1=cos(π-θ)=-cosθ,‎ ‎∴PQ=2-cosθ-‎3‎‎3‎sinθ,‎ 在Rt△QCQ1中,QQ1=PP1=sinθ,CQ1=‎3‎‎3‎sinθ,‎ 则CQ=‎2‎‎3‎‎3‎sinθ,故DQ=2-‎2‎‎3‎‎3‎sinθ,‎ 设MP、PQ、QD的总长度为f(θ)百米,则 f(θ)=‎2π‎3‎-θ+4-cosθ-‎3‎sinθ‎0<θ<‎‎2π‎3‎,‎ f'(θ)=sinθ-‎3‎cosθ-1=2sinθ-‎π‎3‎-1,‎ 令f'(θ)=0,得θ=π‎2‎,‎ 当0<θ<π‎2‎时,f'(θ)<0,f(θ)单调递减;‎ 当π‎2‎<θ<‎2π‎3‎时,f'(θ)>0,f(θ)单调递增.‎ 所以当θ=π‎2‎时,f(θ)取最小值,‎ 即当BP⊥BC时,MP、PQ、QD的总长度最小.‎ 高频考点二十四　矩阵及其变换(理科专用)‎ ‎1.解析　矩阵M的特征多项式为f(λ)=λ-1　-2‎‎-2　λ-1‎=λ2-2λ-3.‎ 令f(λ)=0,解得λ1=3,λ2=-1,‎ 所以属于特征值λ1=3的一个特征向量为α1=‎1‎‎1‎,属于特征值λ2=-1的一个特征向量为α2=‎1‎‎-1‎.‎ 令β=mα1+nα2,即‎1‎‎7‎=m‎1‎‎1‎+n‎1‎‎-1‎,所以m+n=1,‎m-n=7,‎ 解得m=4,n=-3.‎ 所以M4β=M4(4α1-3α2)=4(M4α1)-3(M4α2)‎ ‎=4(λ‎1‎‎4‎α1)-3(λ‎2‎‎4‎α2)=4×34‎1‎‎1‎-3×(-1)4‎1‎‎-1‎=‎321‎‎327‎.‎ ‎2.解析　设矩阵A的逆矩阵A-1=a　bc　d,‎ 则AA-1‎2　0‎‎0　1‎a　bc　d=‎1　0‎‎0　1‎,‎ 即‎2a　2bc　d=‎1　0‎‎0　1‎,故a=‎1‎‎2‎,b=0,c=0,d=1,从而矩阵A的逆矩阵A-1=‎1‎‎2‎‎　0‎‎0　1‎.‎ 所以A-1B=‎‎1‎‎2‎‎　0‎‎0　1‎‎1　-1‎‎2　5‎ ‎=‎1‎‎2‎‎　-‎‎1‎‎2‎‎2　5‎.‎ 高频考点二十五　坐标系与参数方程(理科专用)‎ ‎1.解析　因为直线l的参数方程为x=t,‎y=‎3‎t+2‎(t为参数),‎ 所以直线l的普通方程为y=‎3‎x+2.‎ 又因为圆C的参数方程为x=acosθ,‎y=asinθ(a>0,θ为参数),‎ 所以圆C的普通方程为x2+y2=a2.‎ 所以圆C的圆心到直线l的距离为‎|2|‎‎(‎3‎‎)‎‎2‎+‎‎1‎‎2‎=1,‎ 所以1+a=3,解得a=2.‎ ‎2.解析　由曲线C的极坐标方程是ρ=‎2cosθsin‎2‎θ,得ρ2sin2θ=2ρcosθ,即y2=2x,‎ 所以曲线C的直角坐标方程是y2=2x.‎ 由直线l的参数方程为x=1+t,‎y=t-3‎(t为参数),得x-y-4=0,‎ 所以直线l的普通方程为x-y-4=0.‎ 将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程得t2-8t+7=0,‎ 设A,B两点对应的参数分别为t1,t2,‎ 所以t1+t2=8,t1t2=7,‎ 所以AB=‎2‎|t1-t2|=‎2‎‎(t‎1‎+t‎2‎)‎‎2‎‎-4‎t‎1‎t‎2‎=‎2‎×‎8‎‎2‎‎-4×7‎=6‎2‎,‎ 因为原点到直线x-y-4=0的距离d=‎|-4|‎‎2‎=2‎2‎,‎ 所以△AOB的面积为‎1‎‎2‎·AB·d=‎1‎‎2‎×6‎2‎×2‎2‎=12.‎ 高频考点二十六　不等式选讲(理科专用)‎ ‎1.证明　a4+6a2b2+b4-4ab(a2+b2)=(a2+b2)2-4ab(a2+b2)+4a2b2=(a2+b2-2ab)2=(a-b)4.‎ 因为a≠b,所以(a-b)4>0,‎ 所以a4+6a2b2+b4>4ab(a2+b2).‎ ‎2.解析　(1)当-2≤x<-1时,f(x)=-x-1,则f(x)∈(0,1];‎ 当-1≤x≤2时,f(x)=x+1,则f(x)∈[0,3];‎ 当x<-2或x>2时,f(x)∈(-∞,1),‎ 综上,f(x)的值域为(-∞,3].‎ ‎(2)因为a<0,‎ 所以-a>0,所以-a+‎-‎‎1‎a≥2,当且仅当a=-1时,等号成立.‎ 所以a+‎1‎a的最大值为-2.‎ 高频考点二十七　求空间角(理科专用)‎ ‎1.解析　以A为坐标原点,AB,AD,AP为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz.‎ 则A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1).‎ ‎(1)设C(1,y,0),‎ 则PB=(1,0,-1),CD=(-1,1-y,0).‎ 因为直线PB与CD所成角的大小为π‎3‎,‎ 所以|cos|=PB‎·‎CD‎|PB|·|CD|‎=‎1‎‎2‎,‎ 即‎1‎‎2‎‎×‎‎1+(1-y‎)‎‎2‎=‎1‎‎2‎,解得y=2或y=0(舍),‎ 所以C(1,2,0),所以BC=(0,2,0),所以BC的长为2.‎ ‎(2)设平面BPD的法向量为n1=(x,y,z).‎ 因为BP=(-1,0,-1),PD=(0,1,-1),‎ 则BP‎·n‎1‎=0,‎PD‎·n‎1‎=0,‎即‎-x+z=0,‎y-z=0.‎ 令x=1,则y=1,z=1,所以n1=(1,1,1).‎ 因为平面PDA的一个法向量为n2=(1,0,0),‎ 所以cos=n‎1‎‎·‎n‎2‎‎|n‎1‎||n‎2‎|‎=‎3‎‎3‎,‎ 所以二面角B-PD-A的余弦值为‎3‎‎3‎.‎ ‎2.解析　(1)因为四棱柱ABCD-A1B1C1D1为直四棱柱,所以A1A⊥平面ABCD.‎ 又AE⊂平面ABCD,AD⊂平面ABCD,所以A1A⊥AE,A1A⊥AD.‎ 在菱形ABCD中,∠ABC=π‎3‎,连接AC,则△ABC是等边三角形.‎ 因为E是BC的中点,所以BC⊥AE.‎ 因为BC∥AD,所以AE⊥AD.‎ 以A为坐标原点,AE,AD,AA1为x,y,z轴建立空间直角坐标系,如图.‎ 则A(0,0,0),C(‎3‎,1,0),D(0,2,0),A1(0,0,2),E(‎3‎,0,0),F‎3‎‎,‎1‎‎2‎,1‎.‎ ‎(1)AD=(0,2,0),EF=‎0,‎1‎‎2‎,1‎,所以AD·EF=1.‎ 从而cos=AD‎·‎EF‎|AD|·|EF|‎=‎5‎‎5‎.‎ 故异面直线EF,AD所成角的余弦值为‎5‎‎5‎.‎ ‎(2)设M(x,y,z),由于点M在线段A1D上,‎ 则A‎1‎M=λA‎1‎D,即(x,y,z-2)=λ(0,2,-2),‎ 则M(0,2λ,2-2λ),所以CM=(-‎3‎,2λ-1,2-2λ).‎ 设平面AEF的法向量为n=(x0,y0,z0).‎ 因为AE=(‎3‎,0,0),AF=‎3‎‎,‎1‎‎2‎,1‎,‎ 所以n·AE=0,n·AF=0,得x0=0,‎3‎x0+‎1‎‎2‎y0+z0=0.‎ 令y0=2,则z0=-1,‎ 所以平面AEF的一个法向量为n=(0,2,-1).‎ 由于CM∥平面AEF,则n·CM=0,‎ 即2(2λ-1)-(2-2λ)=0,解得λ=‎2‎‎3‎.‎ 高频考点二十八　随机变量及其分布(理科专用)‎ ‎1.解析　(1)记“这3个数中至少有一个数是偶数”为事件A,‎ 则P(A)=C‎4‎‎1‎C‎5‎‎2‎‎+C‎4‎‎2‎C‎5‎‎1‎+‎C‎4‎‎3‎C‎5‎‎0‎C‎9‎‎3‎=‎37‎‎42‎.‎ ‎(2)记“这3个数的和为18”为事件B,‎ 考虑三个数由大到小排列后的中间数只有可能为5,6,7,8,分别为459,567,468,369,279,378,189七种情况,所以P(B)=‎7‎C‎9‎‎3‎=‎1‎‎12‎.‎ ‎(3)随机变量ξ的可能取值为0,1,2.‎ P(ξ=0)=‎5‎‎12‎,‎ P(ξ=1)=‎1‎‎2‎,‎ P(ξ=2)=‎1‎‎12‎.‎ 所以随机变量ξ的分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎5‎‎12‎ ‎1‎‎2‎ ‎1‎‎12‎ 所以ξ的数学期望E(ξ)=0×‎5‎‎12‎+1×‎1‎‎2‎+2×‎1‎‎12‎=‎2‎‎3‎.‎ ‎2.解析　(1)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.‎ P(X=0)=‎1-‎‎1‎‎2‎×‎1-‎‎1‎‎3‎×‎1-‎‎1‎‎4‎=‎1‎‎4‎,‎ P(X=1)=‎1‎‎2‎×‎1-‎‎1‎‎3‎×‎1-‎‎1‎‎4‎+‎1-‎‎1‎‎2‎×‎1‎‎3‎×‎1-‎‎1‎‎4‎+‎1-‎‎1‎‎2‎×‎1-‎‎1‎‎3‎×‎1‎‎4‎=‎11‎‎24‎,‎ P(X=2)=‎1-‎‎1‎‎2‎×‎1‎‎3‎×‎1‎‎4‎+‎1‎‎2‎×‎1-‎‎1‎‎3‎×‎1‎‎4‎+‎1‎‎2‎×‎1‎‎3‎×‎1-‎‎1‎‎4‎=‎1‎‎4‎,‎ P(X=3)=‎1‎‎2‎×‎1‎‎3‎×‎1‎‎4‎=‎1‎‎24‎.‎ 所以随机变量X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎1‎‎4‎ ‎11‎‎24‎ ‎1‎‎4‎ ‎1‎‎24‎ 所以X的数学期望E(X)=0×‎1‎‎4‎+1×‎11‎‎24‎+2×‎1‎‎4‎+3×‎1‎‎24‎=‎13‎‎12‎.‎ ‎(2)设Y表示乙击中目标的个数,‎ 由(1)易知,P(Y=0)=‎1‎‎4‎,P(Y=1)=‎11‎‎24‎,P(Y=2)=‎1‎‎4‎,‎ 则P(X=0,Y=2)=‎1‎‎4‎×‎1‎‎4‎=‎1‎‎16‎,‎ P(X=1,Y=1)=‎11‎‎24‎×‎11‎‎24‎=‎121‎‎576‎,‎ P(X=2,Y=0)=‎1‎‎4‎×‎1‎‎4‎=‎1‎‎16‎.‎ 所以P(X+Y=2)=P(X=0,Y=2)+P(X=1,Y=1)+P(X=2,Y=0)=‎1‎‎16‎+‎121‎‎576‎+‎1‎‎16‎=‎193‎‎576‎.‎ 所以甲、乙两人共击中目标数为2的概率为‎193‎‎576‎.‎ 高频考点二十九　数学归纳法(理科专用)‎ ‎1.解析　(1)Sn=‎1+2+…+nn!‎=n+1‎‎2‎‎(n-1)!‎.‎ ‎(2)T‎2‎S‎2‎=‎2‎‎3‎,T‎3‎S‎3‎=‎11‎‎6‎,T‎4‎S‎4‎=‎7‎‎2‎,‎ 则‎2‎‎3‎‎=4a+2b+c,‎‎11‎‎6‎‎=9a+3b+c,‎‎7‎‎2‎‎=16a+4b+c,‎　　解得a=‎1‎‎4‎,‎ b=-‎1‎‎12‎,c=-‎1‎‎6‎.‎ ‎(3)证明:①当n=2时,由(2)知等式成立;‎ ‎②假设n=k(k∈N*,且k≥2)时,等式成立,‎ 即TkSk=‎1‎‎4‎k2-‎1‎‎12‎k-‎1‎‎6‎,‎ 当n=k+1时,‎ 由(x+1)·x+‎‎1‎‎2‎·…·x+‎‎1‎k·‎x+‎‎1‎k+1‎ ‎=‎(x+1)·x+‎‎1‎‎2‎·…·‎x+‎‎1‎k·‎x+‎‎1‎k+1‎ ‎=‎1‎k!‎‎+Skx+Tkx‎2‎+…‎x+‎‎1‎k+1‎,‎ 知Tk+1=Sk+‎1‎k+1‎Tk ‎=k+1‎‎2‎‎(k-1)!‎‎1+‎‎1‎k+1‎‎1‎‎4‎k‎2‎‎-‎1‎‎12‎k-‎‎1‎‎6‎,‎ 所以Tk+1‎Sk+1‎=‎k+1‎‎2‎‎(k-1)!‎‎1+‎‎1‎k+1‎‎1‎‎4‎k‎2‎‎-‎1‎‎12‎k-‎‎1‎‎6‎k+1+1‎‎2‎k!‎ ‎=kk+2‎k+1+‎‎3k‎2‎-k-2‎‎12‎=k(3k+5)‎‎12‎,‎ 又‎1‎‎4‎(k+1)2-‎1‎‎12‎(k+1)-‎1‎‎6‎=k(3k+5)‎‎12‎,等式也成立,‎ 综上可得,对任意n≥2且n∈N*,都有TnSn=an2+bn+c成立.‎ ‎2.解析　(1)证明:f(n)[f(n+1)+1]=2[2-f(n+1)],‎ 整理得f(n+1)=‎4-f(n)‎f(n)+2‎,‎ 将f(1)=2,代入得f(2)=‎4-2‎‎2+2‎=‎1‎‎2‎,f(3)=‎4-‎‎1‎‎2‎‎1‎‎2‎‎+2‎=‎7‎‎5‎,‎ 所以f(3)-f(2)=‎7‎‎5‎-‎1‎‎2‎=‎9‎‎10‎.‎ ‎(2)存在.‎ 证明:由f(1)=2,f(2)=‎1‎‎2‎,可得a=-‎4‎‎5‎,b=‎1‎‎5‎.‎ 下面用数学归纳法证明:存在实数a=-‎4‎‎5‎,b=‎1‎‎5‎,‎ 使f(n)=‎1‎‎-‎‎4‎‎5‎‎-‎‎3‎‎2‎n‎-‎‎1‎‎5‎+1成立.‎ ‎①当n=1时,显然成立.‎ ‎②当n=k时,假设存在a=-‎4‎‎5‎,b=‎1‎‎5‎,使f(k)=‎1‎‎-‎‎4‎‎5‎‎-‎‎3‎‎2‎k‎-‎‎1‎‎5‎+1成立,‎ 那么,当n=k+1时,‎ f(k+1)=‎‎4-f(k)‎f(k)+2‎ ‎=‎‎4-‎‎1‎‎-‎‎4‎‎5‎‎-‎‎3‎‎2‎k‎-‎‎1‎‎5‎‎+1‎‎1‎‎-‎‎4‎‎5‎‎-‎‎3‎‎2‎k‎-‎‎1‎‎5‎‎+1+2‎ ‎=‎12‎‎5‎‎-‎‎3‎‎2‎k‎+‎‎8‎‎5‎‎12‎‎5‎‎-‎‎3‎‎2‎k‎-‎‎2‎‎5‎=1+‎1‎‎6‎‎5‎‎-‎‎3‎‎2‎k‎-‎‎1‎‎5‎=‎1‎‎-‎‎4‎‎5‎‎-‎‎3‎‎2‎k+1‎‎-‎‎1‎‎5‎+1,‎ 即当n=k+1时,存在a=-‎4‎‎5‎,b=‎1‎‎5‎,使f(k+1)=‎1‎‎-‎‎4‎‎5‎‎-‎‎3‎‎2‎k+1‎‎-‎‎1‎‎5‎+1成立.‎ 由①②可知,存在实数a=-‎4‎‎5‎,b=‎1‎‎5‎,使f(n)=‎1‎a‎-‎‎3‎‎2‎n-b+1对任意正整数n恒成立.‎ 高频考点三十　抛物线(理科专用)‎ ‎1.解析　(1)易知直线l不与x轴垂直,设直线l的方程为y=k(x-4),‎ 因为抛物线的焦点坐标F(1,0),‎ 点F到直线l的距离为‎3‎,所以‎|-3k|‎‎-‎1‎‎2‎+‎k‎2‎=‎3‎,‎ 解得k=±‎2‎‎2‎,所以直线l的斜率为±‎2‎‎2‎.‎ ‎(2)证明:设A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB的中点坐标为N(x0,y0),‎ 则直线MN的斜率为y‎0‎x‎0‎‎-4‎,则直线AB的斜率为‎4-‎x‎0‎y‎0‎,‎ 故直线AB的方程为y-y0=‎4-‎x‎0‎y‎0‎(x-x0),‎ 联立y-y‎0‎=‎4-‎x‎0‎y‎0‎(x-x‎0‎),‎y‎2‎‎=4x,‎ 消去x,得‎1-‎x‎0‎‎4‎y2-y0y+y‎0‎‎2‎+x0(x0-4)=0,‎ 所以y1+y2=‎4‎y‎0‎‎4-‎x‎0‎,‎ 因为N为AB的中点,所以y‎1‎‎+‎y‎2‎‎2‎=y0,即‎2‎y‎0‎‎4-‎x‎0‎=y0,‎ 所以x0=2,即线段AB的中点的横坐标为定值2.‎ ‎2.解析　(1)抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点坐标为p‎2‎‎,0‎,‎ 由点p‎2‎‎,0‎在直线l:x-y-4=0上,得p‎2‎-0-4=0,即p=8,‎ 所以抛物线C的方程为y2=16x.‎ ‎(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),线段PQ的中点M(x0,y0).‎ 因为点P和Q关于直线l对称,所以直线l垂直平分线段PQ,‎ 于是PQ的方程可设为y=-x+b.‎ ‎①证明:由y‎2‎‎=2px,‎y=-x+b得y2+2py-2pb=0(*),‎ 因为P和Q是抛物线C上相异两点,所以y1≠y2,‎ 从而Δ=(2p)2-4×(-2pb)>0,化简得p+2b>0,方程(*)的两根为-p±p‎2‎‎+2pb,从而y0=y‎1‎‎+‎y‎2‎‎2‎=-p.‎ 因为M(x0,y0)在直线l上,所以x0=4-p,‎ 所以M(4-p,-p),‎ 所以线段PQ的中点坐标为(4-p,-p).‎ ‎②因为M(4-p,-p)在直线y=-x+b上,所以-p=-(4-p)+b,即b=4-2p.‎ 由①知p+2b>0,于是p+2(4-2p)>0,解得p<‎8‎‎3‎,‎ 又p>0,‎ 所以0

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