【数学】2019届一轮复习北师大版复杂数列的求和问题学案

【数学】2019届一轮复习北师大版复杂数列的求和问题学案

一．方法综述 ‎ 数列的求和问题是数列高考中的热点问题， 数列的求和问题会渗透多种数 思想，会跟其他知识进行结合进行考查.因此求解过程往往方法多、灵活性大、技巧性强，但万变不离其宗，只要熟练掌握各个类型的特点即可.在考试中时常会考查一些压轴小题，如数列求和中的新定义问题、子数列中的求和问题、奇偶性在数列求和中的应用、周期性在数列求和中的应用、数列求和的综合问题中都有所涉及，本讲就这类问题进行分析.‎ 二．解题策略 类型一 数列求和中的新定义问题 ‎【例1】【2018届广东省中山市第一中 高三月考】定义为个正数， ， ， 的“均倒数”，若已知数列的前项的“均倒数”为，又，则 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎ ]‎ 所以 ‎，‎ 故选C． ‎ ‎【答案】C ‎【指点迷津】1.“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数 知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.‎ ‎2.解决此类问题的一些技巧 ‎ ‎（1）此类问题在设立问题中通常具有“环环相扣，层层递进”的特点，第（1）问让你熟悉所创设的定义与背景，第（2），（3）问便进行进一步的应用，那么在解题的过程中要注意解决前面一问中的过程与结论，因为这本身就是对“新信息”的诠释与应用.抓住“新信息”的特点，找到突破口，第（2）（3）问便可寻找到处理的思路 ‎（2）尽管此类题目与传统的数列“求通项，求和”的风格不同，但其根基也是我们所 的一些基础知识与方法.所以在考虑问题时也要向一些基本知识点靠拢，弄清本问所考察的与哪个知识点有关，以便找到一些线索.‎ ‎（3）在分类讨论时要遵循“先易后难”的原则，以相对简单的情况入手，可能在解决的过程中会发现复杂情况与该情况的联系，或者发现一些通用的做法与思路，使得复杂情况也有章可循.‎ ‎【举一反三】【2018安徽省巢湖市柘皋中 第三次月考】已知数列的前项和为，定义为数列前项的叠加和，若2016项数列的叠加和为2017，则2017项数列的叠加和为( )‎ A. 2017 B. 2018 C. D. ‎ 故选A．‎ ‎【答案】A 类型二 子数列中的求和问题 ‎【例2】【河南省南阳市2018届高三上 期期中质量评估】已知有穷数列中， ，且，从数列中依次取出构成新数列，容易发现数列是以-3为首项，-3为公比的等比数列，记数列的所有项的和为，数列的所有项的和为，则（ ）‎ A. B. C. D. 与的大小关系不确定 ‎【解析】因为， ，所以，当时， 是中第365项，符合题意，所以,所以，选A. ‎ ‎【答案】A ‎【指点迷津】一个数列中某些项的求和问题，关键在于弄清楚新的数列的形式，了解其求和方法.‎ ‎【举一反三】【安徽省淮南市第二中 、宿城第一中 2018届高三第四次考试】已知，集合，集合的所有非空子集的最小元素之和为，则使得的最小正整数的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎∴=S1+S2+S3+…+Sn=+则 的最小正整数为13 ‎ 故选B ‎ ‎【答案】B 类型三 奇偶性在数列求和中的应用 ‎【例3】【江苏省淮安中 2018届高三数 月考】已知函数，且，则 __________．‎ ‎【解析】为偶数时， ； 为奇数时， ；‎ ‎ ‎ ‎【答案】-100‎ ‎【指点迷津】数列求和中遇到，，都会用到奇偶性，进行分类讨论.再采用分组转化法求和或者并项求和的方法，即通过两个一组进行重新组合，将原数列转化为一个等差数列. 分组转化法求和的常见类型还有分段型（如 ）及符号型（如 ）‎ ‎【举一反三】【黑龙江省大庆实验中 2018届高三上 期期中考试】设数列的前项和为,已知,,则______‎ ‎【答案】240‎ 类型四 周期性在数列求和中的应用 ‎【例4】【2018陕西西安长安区五中二模】数列满足，则数列的前100项和为__________．‎ ‎【答案】5100‎ ‎【指点迷津】本题主要考查数列的周期性，数列是定义域为正整数集或它的子集的函数，因此数列具有函数的部分性质，本题观察到条件中有 ，于是考虑到三角函数的周期性，构造，周期为4，于是研究数列中依次4项和的之间的关系，发现规律，从而转化为熟悉的等差数列求和问题.解决此类问题要求具有观察、猜想、归纳能力，将抽象数列转化为等差或等比数列问题. [ + + ]‎ ‎【举一反三】已知数列满足 则该数列的前项的和为__________．‎ ‎【解析】为奇数时， ；‎ 为偶数时， ；‎ 所以为奇数时有； 为偶数时;‎ 即奇数项为等差数列，偶数项为等比数列. ‎ 所以 ‎.‎ ‎【答案】‎ 类型五 数列求和的综合问题 ‎【例5】【2017届陕西省西安市铁一中 高三上 期第五次模拟】数列满足，则的整数部分是__________．‎ ‎【答案】2‎ ‎【指点迷津】本题考查了数列的综合应用问题，其中解答中涉及到数列的通项公式，数列的裂项求和，数列的单调性的应用等知识点的综合应用，着重考查了 生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，试题有一定的难度，属于难题，本题的借助数列递推关系，化简数列为，再借助数列的单调性是解答的关键. ‎ ‎【举一反三】【2017福建外国语 校高三月考】已知数列满足（），若，（，），且对于任意正整数均成立，则数列的前2015项和的值为 ．（用具体的数字表示）‎ ‎【答案】‎ 三．强化训练 ‎1．【江西省新余市第一中 2017届高三高考全真模拟考试】数列是以为首项， 为公比的等比数列，数列满足，数列满足，若为等比数列，则（ ）‎ A. B. 3 C. D. 6‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意， ，则，得 ,要使为等比数列，必有，得，故选B. ‎ ‎2.【江西省赣州市南康中 2018届高三月考】已知数列 ，即此数列第一项是，接下 两项是，再接下 三项是，依此类推，……，设是此数列的前项的和，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】将数列分组 第一组有一项；第二组有二项；第项有项 ‎，前项组共有， ，故选A. ‎ ‎3.【2017届黑龙江省哈尔滨市第九中 高三二模】已知数列的通项公式为，其前项和为，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎ ‎ ‎4.【福建省福州第一中 2017届高三5月质检】已知数列满足，（，），则的整数部分是( )‎ A. 0 B. 1 C. 2 D. 3‎ ‎【答案】B ‎【解析】 ，所以可得， ‎ ‎ ， 的整数部分是 ， 故选B.‎ ‎5.【2017届江西省鹰潭市高三第一次模拟考试数 】已知函数，且，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎ 6.【2017届湖北省荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟高三2月联考】数列满足，且，记为数列的前项和，则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎ ‎【解析】由得,所以数列为等差数列，因此,因此,,选D.‎ ‎7.【2018届安徽池州一中月考】在数列中，若存在非零整数，使得对于任意的正整数均成立，那么称数列为周期数列，其中叫做数列的周期，若数列满足，如（），当数列 的周期最小时，该数列的前2016项的和是（ ）‎ A．672 B．673 C．1342 D．1344‎ ‎【答案】D ‎ 8.【湖南省长沙市长郡中 2018届高三第三次月考】已知函数（），若数列满足，数列的前项的和为，则（ ）‎ A. 909 B. 910 C. 911 D. 912[ ]‎ ‎【答案】A ‎【解析】函数，数列满足， ，故选A.‎ ‎9.【贵州省遵义市遵义四中2018届高三第三次月考】在数1和2之间插入个正数，使得这个数构成递增等比数列，将这个数的乘积记为，令， ， ______．‎ ‎【答案】‎ ‎ 10.【安徽省黄山市2017届高三第二次模拟考试】设表示正整数的个位数， 为数列的前项和，函数，若函数满足，且，则数列的前项和为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意得， ， ，…, 可得是周期为的周期数列， ，前项和为，即， 单调递增，且， ， ‎ ‎，设， ，‎ 相式，可得，故答案为.‎ ‎11.【四川省内江市高中2018届高三第一次模拟考试】已知是等差数列的前项和， ，则_____________.‎ ‎【答案】‎ ‎ 12.【河南省中原名校（豫南九校）2018届高三上 期第四次质量考评（期中）】已知数列满足， .记，则数列的前项和 ‎__________．‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎