2020届二轮复习圆的方程复习课课件（全国通用）

2020届二轮复习圆的方程复习课课件（全国通用）

的 圆 方 程 知识梳理 1 、圆的定义： 平面内到一定点的距离等于一定长的点的集合（轨迹）。 2 、圆的标准方程： 其中圆心为 (a, b) ，半径为 r. 说明：方程中有三个参量 a 、 b 、 r ， 因此三个独立条件可以确定一个圆 . 知识梳理 3 、圆的一般方程： 其中圆心为 ，半径为 . 说明： 1 、 项的系数相同，没有 项。 2 、求圆的一般方程，只需求 D 、 E 、 F 三个参数。 3 、 4 、已知条件和圆心坐标或半径都无直接关系，往 往设圆的一般方程． 方程表示圆 方程表示一个点 方程不表示任何图形 （ D 2 + E 2 － 4 F ＞ 0 ） 知识梳理 4 、圆的参数方程： 其中圆心为 (a, b) ，半径为 r. 说明： 1 、几何性质比较明显，很好体现半径 与 x 轴的圆心角的关系。 2 、方程中消去 θ 得（ x － a ） 2 + （ y － b ） 2 = r 2 ， 把这个方程相对于参数方程又叫做普通方程 . 点击双基 1. 方程 x 2 + y 2 － 2 （ t +3 ） x +2 （ 1 － 4 t 2 ） y +16 t 4 +9=0 （ t ∈R ） 表示圆方程，则 t 的取值范围是 2. 点 P （ 5 a +1 ， 12 a ）在圆（ x － 1 ） 2 + y 2 =1 的内部， 则 a 的取值范围是 . 3. 已知圆的方程为（ x － a ） 2 + （ y － b ） 2 = r 2 （ r >0 ）， 下列结论错误的是 A. 当 a 2 + b 2 = r 2 时，圆必过原点 B. 当 a = r 时，圆与 y 轴相切 C. 当 b = r 时，圆与 x 轴相切 D . 当 b < r 时，圆与 x 轴相交 点击双基 解析：由 D 2 + E 2 － 4 F >0 ，得 7 t 2 － 6 t － 1<0 ， 即 ，答案为 C 1. 方程 x 2 + y 2 － 2 （ t +3 ） x +2 （ 1 － 4 t 2 ） y +16 t 4 +9=0 （ t ∈R ） 表示圆方程，则 t 的取值范围是 2. 点 P （ 5 a +1 ， 12 a ）在圆（ x － 1 ） 2 + y 2 =1 的内部， 则 a 的取值范围是 . . 解析：点 P 在圆（ x － 1 ） 2 + y 2 =1 内部 ， 所以（ 5 a +1 － 1 ） 2 + （ 12 a ） 2 <1 即 (13a) 2 <1 点击双基 3. 已知圆的方程为（ x － a ） 2 + （ y － b ） 2 = r 2 （ r >0 ）， 下列结论错误的是 A. 当 a 2 + b 2 = r 2 时，圆必过原点 B. 当 a = r 时，圆与 y 轴相切 C. 当 b = r 时，圆与 x 轴相切 D . 当 b < r 时，圆与 x 轴相交 解析：已知圆的圆心坐标（ a ， b ），半径为 r ，当 b < r 时，圆心到 x 轴的距离为 | b | ，只有当 | b |< r 时，才有圆与 x 轴相交，而 b < r 不能保证 | b |< r ，故 D 是错误的 . 故选 D . 典例剖析 【 例 1】 一圆与 y 轴相切，圆心在直线 x － 3 y =0 上，且直线 y = x 截圆所得弦长为 ，求此圆的方程。 分析：巧设方程，利用半弦、半径和弦心距构成的直角三角形 . 解：因圆与 y 轴相切，且圆心在直线 x － 3 y =0 上， 故设圆方程为（ x － 3 b ） 2 + （ y － b ） 2 = （ 3 b ） 2 . 又因为直线 y = x 截圆得弦长为 ， 则有（ ） 2 + （ ） 2 =9 b 2 ， 解得 b =±1. 故所求圆方程为 （ x － 3 ） 2 + （ y － 1 ） 2 =9 或（ x +3 ） 2 + （ y +1 ） 2 =9. 典例剖析 【 例 1】 一圆与 y 轴相切，圆心在直线 x － 3 y =0 上，且直线 y = x 截圆所得弦长为 ，求此圆的方程。 分析：巧设方程，利用半弦、半径和弦心距构成的直角三角形 . 解：因圆与 y 轴相切，且圆心在直线 x － 3 y =0 上， 故设圆方程为（ x － 3 b ） 2 + （ y － b ） 2 = （ 3 b ） 2 . 又因为直线 y = x 截圆得弦长为 ， 则有（ ） 2 + （ ） 2 =9 b 2 ， 解得 b =±1. 故所求圆方程为 （ x － 3 ） 2 + （ y － 1 ） 2 =9 或（ x +3 ） 2 + （ y +1 ） 2 =9. 【 例 2】 设 A （－ c ， 0 ）、 B （ c ， 0 ）（ c >0 ）为两定点， 动点 P 到 A 点的距离与到 B 点的距离的比为定值 a （ a >0 ）， 求 P 点的轨迹 . 【 例 2】 设 A （－ c ， 0 ）、 B （ c ， 0 ）（ c >0 ）为两定点， 动点 P 到 A 点的距离与到 B 点的距离的比为定值 a （ a >0 ）， 求 P 点的轨迹 . 解：设动点 P 的坐标为（ x ， y ），由 = a （ a >0 ）得 = a ，化简，得 （ 1 － a 2 ） x 2 +2 c （ 1+ a 2 ） x + c 2 （ 1 － a 2 ） + （ 1 － a 2 ） y 2 =0. 当 a =1 时，方程化为 x =0. 所以当 a =1 时，点 P 的轨迹为 y 轴； 当 a ≠1 时，方程化为 所以 a ≠1 时，点 P 的轨迹是以点 为圆心 , 半径为 的圆 练习反馈 1. 方程 x 2 ＋ y 2 ＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝ 0 （ D 2 ＋ E 2 － 4 F ＞ 0 ）表示的曲线关于 x + y =0 成轴对称图形，则 A. D + E =0 B. D + F =0 C. E + F =0 D. D + E + F =0 2. 在坐标平面内，与点 A （ 1 ， 2 ）距离为 1 ，且与点 B （ 3 ， 1 ）距离为 2 的直线共有 A.1 条 B.2 条 C.3 条 D .4 条 3. 圆 x 2 + y 2 + x － 6 y +3=0 上两点 P 、 Q 关于直线 kx － y +4=0 对称，则 k =____________. 4. 设 P 为圆 x 2 + y 2 =1 上的动点，则点 P 到直线 3 x － 4 y － 10=0 的 距离的最小值为 ____________. 5. 将圆 x 2 + y 2 =1 按向量 a 平移得到圆（ x +1 ） 2 + （ y － 2 ） 2 =1 ，则 a 的坐标为 ____________. 1. 方程 x 2 ＋ y 2 ＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝ 0 （ D 2 ＋ E 2 － 4 F ＞ 0 ）表示的曲线关于 x + y =0 成轴对称图形，则 A. D + E =0B. B. D + F =0 C. E + F =0 D. D + E + F =0 解析：曲线关于 x + y =0 成轴对称图形，即圆心在 x + y =0 上 . 答案： A 2. （ 2004 年全国 Ⅱ ， 8 ）在坐标平面内，与点 A （ 1 ， 2 ）距离为 1 ， 且与点 B （ 3 ， 1 ）距离为 2 的直线共有 A.1 条 B.2 条 C.3 条 D .4 条 解析：分别以 A 、 B 为圆心，以 1 、 2 为半径作圆，两圆的公切线有两条，即为所求 . 答案： B 3. （ 2005 年黄冈市调研题）圆 x 2 + y 2 + x － 6 y +3=0 上两点 P 、 Q 关于直线 kx － y +4=0 对称，则 k =____________. 解析：圆心（－ ， 3 ）在直线上，代入 kx － y +4=0 ，得 k =2. 答案： 2 4. （ 2004 年全国卷 Ⅲ ， 16 ）设 P 为圆 x 2 + y 2 =1 上的动点， 则点 P 到直线 3 x － 4 y － 10=0 的 距离的最小值为 ____________. 解析：圆心（ 0 ， 0 ）到直线 3 x － 4 y － 10=0 的距离 d ==2. 再由 d － r =2 － 1=1 ，知最小距离为 1. 答案： 1 5. （ 2005 年北京海淀区期末练习）将圆 x 2 + y 2 =1 按向量 a 平移得到圆 （ x +1 ） 2 + （ y － 2 ） 2 =1 ，则 a 的坐标为 ____________. 解析：由向量平移公式即得 a = （－ 1 ， 2 ） . 答案：（－ 1 ， 2 ） 能力培养 . 已知实数 x 、 y 满足方程 x 2 + y 2 － 4 x +1=0. 求 （ 1 ） 的最大值和最小值； （ 2 ） y － x 的最小值； （ 3 ） x 2 + y 2 的最大值和最小值 . 1. 不论圆的标准方程还是一般方程，都有三个字母（ a 、 b 、 r 或 D 、 E 、 F ） 的值需要确定，因此需要三个独立的条件 . 利用待定系数法得到关于 a 、 b 、 r （或 D 、 E 、 F ）的三个方程组成的方程组， 解之得到待定字母系数的值 . 2. 求圆的方程的一般步骤： （ 1 ）选用圆的方程两种形式中的一种 （若知圆上三个点的坐标，通常选用一般方程； 若给出圆心的特殊位置或圆心与两坐标间的关系，通常选用标准方程）； （ 2 ）根据所给条件，列出关于 D 、 E 、 F 或 a 、 b 、 r 的方程组； （ 3 ）解方程组，求出 D 、 E 、 F 或 a 、 b 、 r 的值， 并把它们代入所设的方程中，得到所求圆的方程 . 3. 解析几何中与圆有关的问题，应充分运用圆的几何性质帮助解题 . 思悟小结