2021届高考数学一轮复习专题六立体几何第2课时课件

2021届高考数学一轮复习专题六立体几何第2课时课件

第 2 课时 题型 几何体与球内切、外接的问题 纵观近几年高考对于组合体的考查，与球相关的外接与内 切问题是高考命题的热点之一 . 高考命题小题综合化倾向尤为 明显，要求学生有较强的空间想象能力和准确的计算能力， 才 能顺利解答 . 从实际教学来看，这部分知识是学生掌握较为薄 弱、认识较为模糊、看到就头疼的题目 . 分析原因，除了这类题 目的入手确实不易之外，主要是没有形成解题的模式和套路， 以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理 . 下面结合近几年高考 题对球与几何体的内切、外接问题作深入的探究，以便更好地 把握高考命题的趋势和高考的命题思路 ，力争在这部分内容不 失分 . 从近几年全国高考命题来看，这部分内容以选择题、填空 题为主，大题很少见 . A.50π B.100π C.200π D.300π 解析： 对棱相等，构造长方体，四面体 A - BCD 的六条棱分 别是长方体六个面的对角线， ∴ a 2 ＋ b 2 ＋ c 2 ＝ 200 ＝ 4 R 2 . 则四面体 A - BCD 外接球的表面积为 4π R 2 ＝ 200π. 答案： C (2)(2018 年河北衡水中学质检 ) 如 图 6 -2 7 ， 在 四 棱 锥 C - ABOD 中， CO ⊥ 平面 ABOD ， AB ∥ OD ， OB ⊥ OD ，且 AB ＝ ) O ， B ， C ， D 都在同一个球面上，则该球的表面积为 ( 图 6-27 A.72π B.8π C. 28 3 π D. 26 3 π 答案： C (3)(2017 年新课标 Ⅰ ) 已知三棱锥 S - ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上， SC 是球 O 的直径 . 若平面 SCA ⊥ 平面 SCB ， SA ＝ AC ， SB ＝ BC ，三棱锥 S - ABC 的体积为 9 ，则球 O 的表面积为 ________. 解析： 如图 6-28 ，取 SC 的中点 O ，连接 OA ， OB . 图 6-28 ∵ SA ＝ AC ， SB ＝ BC ， ∴ OA ⊥ SC ， OB ⊥ SC . ∵ 平面 SCA ⊥ 平面 SCB ，平面 SCA ∩ 平面 SCB ＝ SC ， ∴ OA ⊥ 平面 SCB . 设 OA ＝ r ， 答案： 36π (4)(2016 年新课标 Ⅲ ) 在封闭的直三棱柱 ABC - A 1 B 1 C 1 内有 一个体积为 V 的球，若 AB ⊥ BC ， AB ＝ 6 ， BC ＝ 8 ， AA 1 ＝ 3 ，则 V 的最大值是 ( ) 答案： B (5) 已知 A ， B 是球 O 的球面上两点， ∠ AOB ＝ 90° ， C 为该 球面上的动点，若三棱锥 O - ABC 体积的最大值为 36 ，则球 O 的表面积为 ( ) A.36π B.64π C.144π D.256π 答案： C 图 6-29 (6) 正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为 4 ， 底面边长为 2 ，则该球的表面积是 ( ) 答案： A 面 ABC ， △ DBC 的面积是 6 ，若该四面体的顶点均在球 O 的表 ) 面上，则球 O 的表面积是 ( A.24π C.46π B.32π D.49π 答案： D (8) 已知直三棱柱 ABC - A 1 B 1 C 1 的各顶点都在以 O 为球心的 球面上，且 ∠ BAC ＝ 3π 4 ， AA 1 ＝ BC ＝ 2 ，则球 O 的体积为 ( ) 答案： A (9)(2018 年广东广州三模 ) 三棱锥 P - AB C 中，平面 PAC ⊥ 平 面 ABC ， AB ⊥ AC ， PA ＝ PC ＝ AC ＝ 2 ， AB ＝ 4 ，则三棱锥 P - ABC 的外接球的表面积为 ( ) A.23π B. 23 4 π C.64π D. 64 3 π 解析： 如图 6-30 ，设 ′ 为正 O PAC 的中心， D 为 Rt△ ABC 斜边的中点， H 为 AC 中点 . 图 6-30 由平面 PAC ⊥ 平面 ABC ，则 O ′ H ⊥ 平面 ABC . 作 O ′ O ∥ HD ， OD ∥ O ′ H ， 则交点 O 为三棱锥外接球的球心，连接 OP ， 答案： D (10)(2019 年新课标 Ⅰ ) 已知三棱锥 P - A BC 的四个顶点在球 O 的球面上， PA ＝ PB ＝ ， PC ABC 是边长为 2 的正三角形， E ， F 分别是 PA ， AB 的中点， ∠ CEF ＝ 90° ，则球 O 的体积为 ( ) 解析： 如图 6-31 ， EF ∥ PB, ∠ CEF ＝ 90° ，得 PB ⊥ CE ， PB ⊥ AC ， CE ∩ AC ＝ C ， ∴ PB ⊥ 面 PAC ， 图 6-31 即 PB ⊥ PA ， PB ⊥ PC ，同理 PA ⊥ PC ，三棱锥 P - ABC 的四 个顶点为正方体的一个角， 三棱锥 P - ABC 的外接球 O 就是正方体的外接球， 6π. 答案： D 解析： 如图 6-32 ，设球心到底面圆心的距离为 x ，则球的 半径 r ＝ 3 － x . 图 6-32 答案： B 答案： B (13) 设 O 1 为一个圆柱上底面的中心， A 为该圆柱下底面圆 周上一点，这两个底面圆周上的每个点都在球 O 的表面上 . 若两 个底面的面积之和为 8π ， O 1 A 与底面所成角为 60° ，则球 O 的 表面积为 ________. 答案： 28π (14)(2018 年河南郑州质检 ) 已知长方体 ABC D - A 1 B 1 C 1 D 1 内 接于球 O ，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形， E 为 AA 1 的中点， OA ⊥ 平面 BDE ，则球 O 的表面积为 ________. 解析： 取 BD 的中点为 O 1 ，连接 OO 1 ， OE ， O 1 E ， O 1 A ， 则四边形 OO 1 AE 为矩形， ∵ OA ⊥ 平面 BDE ， ∴ OA ⊥ EO 1 ，即 四边形 OO 1 AE 为正方形，则球 O 的半径 R ＝ OA ＝ 2 ， ∴ 球 O 的 表面积 S ＝ 4π×2 2 ＝ 16π. 答案： 16π (15) 如图 6-33 ，圆形纸片的圆心为 O ，半径为 6 cm ，该纸 片上的正方形 ABCD 的中心为 O ， E ， F ， G ， H 为圆 O 上的点， △ ABE ， △ BCF ， △ CDG ， △ ADH 分别是以 AB ， BC ， CD ， DA 为底边的等腰三角形 . 沿虚线剪开后，分别以 AB ， BC ， CD ， DA 为折痕折起 △ ABE ， △ BCF ， △ CDG ， △ ADH ，使得 E ， F ， G ， H 重合，得到一个四棱锥 . 当该四棱锥的侧面积是底面积的 2 倍 时，该四棱锥的外接球的体积为 ________. 图 6-33