- 2021-06-16 发布 |
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文档介绍
【数学】2018届一轮复习湘教版绝对值不等式教案
1．绝对值三角不等式
(1)定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．
(2)定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．
2．绝对值不等式的解法
(1)含绝对值的不等式|x|
a的解集：
不等式
a>0
a＝0
a<0
|x|a
(－∞，－a)∪
(a，＋∞)
(－∞，0)∪
(0，＋∞)
R
(2)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法：
①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；
②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.
【知识拓展】
|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法：
(1)利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；
(2)利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
(3)通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．
【思考辨析】
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)|x＋2|的几何意义是数轴上坐标为x的点到点2的距离．( × )
(2)|x|>a的解集是{x|x>a或x<－a}．( × )
(3)|a＋b|＝|a|＋|b|成立的条件是ab≥0.( √ )
(4)若ab<0，则|a＋b|<|a－b|.( √ )
(5)对一切x∈R，不等式|x－a|＋|x－b|>|a－b|成立．( × )
1．(2015·山东)不等式|x－1|－|x－5|<2的解集是( )
A．(－∞，4) B．(－∞，1)
C．(1,4) D．(1,5)
答案 A
解析 ①当x≤1时，原不等式可化为1－x－(5－x)<2，
∴－4<2，不等式恒成立，∴x≤1.
②当1k的解集为R，则实数k的取值范围为( )
A．(3，＋∞) B．(－∞，－3)
C．(－∞，－1) D．(－∞，0)
答案 B
解析 根据绝对值的几何意义，设数x，－1,2在数轴上对应的点分别为P、A、B，则原不等式等价于|PA|－|PB|>k恒成立．∵|AB|＝3，即|x＋1|－|x－2|≥－3.
故当k<－3时，原不等式恒成立．
3．若存在实数x使|x－a|＋|x－1|≤3成立，则实数a的取值范围是( )
A．[2,4] B．[1,2]
C．[－2,4] D．[－4，－2]
答案 C
解析 ∵|x－a|＋|x－1|≥|(x－a)－(x－1)|＝|a－1|，
要使|x－a|＋|x－1|≤3有解，
可使|a－1|≤3，∴－3≤a－1≤3，
∴－2≤a≤4.
4．若不等式|2x－1|＋|x＋2|≥a2＋a＋2对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是______．
答案 [－1，]
解析 设y＝|2x－1|＋|x＋2|
＝当x<－2时，y＝－3x－1>5；
当－2≤x<时，5≥y＝－x＋3>；当x≥时，y＝3x＋1≥，故函数y＝|2x－1|＋|x＋2|的最小值为.因为不等式|2x－1|＋|x＋2|≥a2＋a＋2对任意实数x恒成立，所以≥a2＋a＋2.解不等式≥a2＋a＋2，得－1≤a≤，故a的取值范围为[－1，]．
题型一 绝对值不等式的解法
例1 (2016·全国乙卷)已知函数f(x)＝|x＋1|－|2x－3|.
(1)在图中画出y＝f(x)的图象；
(2)求不等式|f(x)|>1的解集．
解 (1)f(x)＝
y＝f(x)的图象如图所示．
(2)由f(x)的表达式及图象可知，当f(x)＝1时，x＝1或x＝3；
当f(x)＝－1时，x＝或x＝5，
故f(x)>1的解集为{x|11的解集为.
思维升华 解绝对值不等式的基本方法有：
(1)利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式；
(2)当不等式两端均为正号时，可通过两边平方的方法，转化为解不含绝对值符号的普通不等式；
(3)利用绝对值的几何意义，数形结合求解．
(1)不等式|x－1|＋|x＋2|≥5的解集为________．
(2)设不等式|x－2|2a>0时，是否存在x∈[－1,1]，使得|f(x)|≥b?
(1)证明 ∵|f(－1)|＝|1－b＋c|≤1，
|f(1)|＝|1＋b＋c|≤1，
∵|1－b＋c＋1＋b＋c|≤|1－b＋c|＋|1＋b＋c|≤2，
∴|2＋2c|≤2，∴|1＋c|≤1.
(2)解 由b>2a>0，得－<－1，
则f(x)在[－1,1]上递增，
∴f(x)∈[a－b＋c，a＋b＋c]．
①当a＋c>0时，a＋b＋c>b>0，
此时有|f(1)|≥b，即存在x＝1，使得|f(x)|≥b成立．
②当a＋c<0时，a－b＋c<－b<0，
此时有|f(－1)|≥b，即存在x＝－1使得|f(x)|≥b成立．
③当a＋c＝0时，f(x)∈[－b，b]，存在x使得|f(x)|≥b成立．
综上，存在x＝±1使得|f(x)|≥b成立．
思维升华 (1)恒成立问题可转化为函数的最值问题；(2)和绝对值有关的最值可以利用绝对值的性质进行改编或者化为分段函数解决．
命题点2 绝对值不等式和数列的综合
例4 (2016·浙江样卷)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝(n∈N*)．
(1)证明：数列{|an－|}为单调递减数列；
(2)记Sn为数列{|an＋1－an|}的前n项和，证明：Sn<(n∈N*)．
证明 (1)由题意知an>0，
故＝＝<1，
∴数列{|an－|}为单调递减数列．
(2)∵a1＝1，a2＝，
∴当n≥3时，|an－|<，得1} D．{x|x<－1或x>1}
答案 A
解析 方法一 原不等式即为|2x－1|<|x－2|，
∴4x2－4x＋1a对于一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是________．
答案 (－∞，2)
解析 由绝对值的几何意义知|x－4|＋|x＋5|≥9，则log3(|x－4|＋|x＋5|)≥2，所以要使不等式log3(|x－4|＋|x＋5|)>a对于一切x∈R恒成立，则需a<2.
9．已知f(x)＝|x－3|，g(x)＝－|x－7|＋m，若函数f(x)的图象恒在函数g(x)图象的上方，则m的取值范围是________．
答案 (－∞，4)
解析 由题意，可得不等式|x－3|＋|x－7|－m>0恒成立，即(|x－3|＋|x－7|)min>m，由于数轴上的点到点3和点4的距离之和的最小值为4，所以要使不等式恒成立，则m<4.
10．若不等式|3x－b|＜4的解集中的整数有且仅有1,2,3，则b的取值范围为________．
答案 (5,7)
解析 由|3x－b|＜4，得－4＜3x－b＜4，
即＜x＜，
∵不等式|3x－b|＜4的解集中的整数有且仅有1,2,3，则⇒∴5＜b＜7.
11．已知函数f(x)＝|x＋3|－|x－2|.
(1)求不等式f(x)≥3的解集；
(2)若f(x)≥|a－4|有解，求a的取值范围．
解 (1)f(x)＝|x＋3|－|x－2|≥3，
当x≥2时，有x＋3－(x－2)≥3，解得x≥2；
当x≤－3时，－x－3＋(x－2)≥3，解得x∈∅；
当－3－1，所以－1
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