2020届二轮复习 高考解题的数学思想 课件

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转化与化归思想 总纲目录 应用一   正与反的相互转化 应用二 一般与特殊的转化 应用三 常量与变量的转化 应用四 形体位置关系的相互转化 应用一　正与反的相互转化 例1 　若对于任意 t ∈[1,2],函数 g ( x )= x 3 +   x 2 -2 x 在区间( t ,3)上 总不为单调函数,则实数 m 的取值范围是 　　　　　     . 答案 　-   < m <-5 解析 　由题意得 g '( x )=3 x 2 +( m +4) x -2,若 g ( x )在区间( t ,3)上总为单调 函数,则① g '( x ) ≥ 0在( t ,3)上恒成立,或② g '( x ) ≤ 0在( t ,3)上恒成立. 由①得3 x 2 +( m +4) x -2 ≥ 0,即 m +4 ≥   -3 x 在 x ∈( t ,3)上恒成立,∴ m +4 ≥   -3 t 恒成立,则 m +4 ≥ -1,即 m ≥ -5; 由②得 m +4 ≤   -3 x 在 x ∈( t ,3)上恒成立, 则 m +4 ≤   -9,即 m ≤ -   . ∴函数 g ( x )在区间( t ,3)上总不为单调函数的 m 的取值范围为-   < m <-5. 【技法点评】 　题目若出现多种成立的情形,则不成立的情形相 对很少,从反面考虑比较简单,因此,间接法多用于含有“至多” “至少”及否定性命题情形的问题中.如本例中由于不为单调函 数有多种情况,直接求解较难,故用“正难则反”的方法求解. 1. 若二次函数 f ( x )=4 x 2 -2( p -2) x -2 p 2 - p +1在区间[-1,1]内至少存在一 个值 c ,使得 f ( c )>0,则实数 p 的取值范围是 　　　     . 答案        解析 　若在区间[-1,1]内不存在 c 满足 f ( c )>0, 且 Δ =36 p 2 ≥ 0恒成立, 则   即   解得 p ≤ -3或 p ≥   , 所以满足题意的实数 p 的取值范围是   . 应用二　一般与特殊的转化 例2 　设四边形 ABCD 为平行四边形,|   |=6,|   |=4.若点 M , N 满足   =3   ,   =2   ,则   ·   =   (　　) A.20　    B.15　    C.9　    D.6 答案     C 解析 　若四边形 ABCD 为矩形,建系如图. 由   =3   ,   =2   ,   知 M (6,3), N (4,4), ∴   =(6,3),   =(2,-1),   ·   =6 × 2+3 × (-1)=9.故选C. 【技法点评】 　(1)常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函 数、特殊图形、特殊角、特殊位置等. (2)对于选择题,当题设在普通条件下都成立时,用特殊值进行探 求,可快捷地得到答案. 2. 如果 a 1 , a 2 , … , a 8 为各项都大于零的等差数列,公差 d ≠ 0,那么   (　　) A. a 1 a 8 > a 4 a 5 　    B. a 1 a 8 < a 4 a 5 C. a 1 + a 8 > a 4 + a 5 　    D. a 1 a 8 = a 4 a 5 答案     B　取特殊数列1,2,3,4,5,6,7,8,显然只有1 × 8<4 × 5成立. 3. 在△ ABC 中,三边长 a , b , c 满足 a + c =3 b ,则tan   tan   的值为(　　) A.   　    B.   　     C.   　    D.   答案     C　令 a =4, c =5, b =3,则符合题意.(取满足条件的三边) 则由∠ C =90 ° ,得tan   =1,由tan A =   , 得tan   =   . 所以tan   tan   =   × 1=   .故选C. 应用三　常量与变量的转化 例3 　已知函数 f ( x )= x 3 +3 ax -1, g ( x )= f '( x )- ax -5,其中 f '( x )是 f ( x )的导 函数.对满足-1 ≤ a ≤ 1的一切 a 的值,都有 g ( x )<0,则实数 x 的取值范 围为 　　　     . 答案        解析 　由题意,知 g ( x )=3 x 2 - ax +3 a -5, 令 φ ( a )=(3- x ) a +3 x 2 -5,-1 ≤ a ≤ 1. 对-1 ≤ a ≤ 1,恒有 g ( x )<0,即 φ ( a )<0, ∴   即   解得-   < x <1. 故当 x ∈   时,对满足-1 ≤ a ≤ 1的一切 a 的值,都有 g ( x )<0. 【技法点评】 　在处理多变元的数学问题时,我们可以选取其中 的常数(或参数),将其看作是“主元”,而把其他变元看作是常量, 从而达到减少变元简化运算的目的. 4. 设 f ( x )是定义在R上的单调递增函数,若 f (1- ax - x 2 ) ≤ f (2- a )对任意 a ∈[-1,1]恒成立,则 x 的取值范围为      . 答案 　(- ∞ ,-1] ∪ [0,+ ∞ ) 解析 　∵ f ( x )是R上的单调递增函数, ∴1- ax - x 2 ≤ 2- a , a ∈[-1,1].① ①可化为( x -1) a + x 2 +1 ≥ 0, 对 a ∈[-1,1]恒成立. 令 g ( a )=( x -1) a + x 2 +1, a ∈[-1,1], 则   解得 x ≥ 0或 x ≤ -1, 即实数 x 的取值范围是(- ∞ ,-1] ∪ [0,+ ∞ ). 5. 设 y =(log 2 x ) 2 +( t -2)log 2 x - t +1,若 t 在[-2,2]上变化时, y 恒取正值,则 x 的取值范围是 　　　　　　　　     . 答案        ∪ (8,+ ∞ ) 解析 　设 y = f ( t )=(log 2 x -1) t +(log 2 x ) 2 -2log 2 x +1, 则 f ( t )是一次函数,当 t ∈[-2,2]时, f ( t )>0恒成立, 则   即   解得log 2 x <-1或log 2 x >3, 即0< x <   或 x >8, 故 x 的取值范围是   ∪ (8,+ ∞ ). 应用四　形体位置关系的相互转化 例4     (2018课标全国Ⅰ,7,5分)某圆柱的高为2,底面周长为16,其 三视图如图.圆柱表面上的点 M 在正视图上的对应点为 A ,圆柱表 面上的点 N 在左视图上的对应点为 B ,则在此圆柱侧面上,从 M 到 N 的路径中,最短路径的长度为   (　　)   A.2   　    B.2   　    C.3　    D.2 答案     B 解析 　先画出圆柱的直观图,根据题图的三视图可知点 M , N 的位 置如图①所示. 圆柱的侧面展开图及 M , N 的位置( N 为 OP 的四等分点)如图②所 示,连接 MN ,则图中 MN 即为 M 到 N 的最短路径. ON =   × 16=4, OM =2, ∴| MN |=   =   =2   .故选B. 【技法点评】 　形体位置关系的转化常将空间问题平面化、不 规则几何体特殊化,使问题易于解决.同时也要注意方法的选取, 否则会跳入自己设的“陷阱”中. 6. 如图,在直三棱柱 ABC - A 1 B 1 C 1 中,底面为直角三角形,∠ ACB =90 ° , AC =6, BC = CC 1 =   , P 是 BC 1 上一动点,则 CP + PA 1 的最小值是 　     　     . 答案 　5   解析 　连接 A 1 B ,沿 BC 1 将△ CBC 1 展开,与△ A 1 BC 1 在同一个平面内, 如图,连接 A 1 C ,则 A 1 C 的长度就是所求的最小值. 通过计算可得 AB = A 1 B 1 =   , A 1 B =   , A 1 C 1 =6, BC 1 =2,所以 A 1   + B   = A 1 B 2 ,则∠ A 1 C 1 B =90 ° ,又∠ BC 1 C =45 ° ,所以∠ A 1 C 1 C =135 ° . 在△ A 1 CC 1 中,由余弦定理可求得 A 1 C =5   .