【数学】2018届一轮复习北师大版第1讲　数系的扩充与复数的引入学案

【数学】2018届一轮复习北师大版第1讲　数系的扩充与复数的引入学案

知识点 考纲下载 复 数 ‎1.理解复数的基本概念，理解复数相等的充要条件．‎ ‎2．了解复数的代数表示法及其几何意义．‎ ‎3．会进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．‎ 算法与程序框图 ‎1.了解算法的含义，了解算法的思想．‎ ‎2．理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序、条件分支、循环；理解几种基本算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句的含义．‎ 合理推理与演绎推理 ‎1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用．‎ ‎2．了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理．‎ ‎3．了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异．‎ 直接证明与间接证明 ‎1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点．‎ ‎2．了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点．‎ 数学归纳法 了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．‎ 第1讲　数系的扩充与复数的引入 ‎1．复数的有关概念 ‎(1)复数的定义 形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中实部是a，虚部是b．‎ ‎(2)复数的分类 复数z＝a＋bi(a，b∈R) ‎(3)复数相等 a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．‎ ‎(4)共轭复数 a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R)．‎ ‎(5)复数的模 向量的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝r＝(r≥0，a、b∈R)．‎ ‎2．复数的几何意义 ‎(1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)．‎ ‎(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R) 平面向量．‎ ‎3．复数的运算 ‎(1)复数的加、减 、乘、除运算法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 ‎①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；‎ ‎②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；‎ ‎③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；‎ ‎④除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0)．‎ ‎(2)复数加法的运算定律 复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．‎ ‎1．辨明三个易误点 ‎(1)两个虚数不能比较大小．‎ ‎(2)利用复数相等a＋bi＝c＋di列方程时，注意a，b，c，d∈R的前提条件．‎ ‎(3)注意不能把实数集中的所有运算法则和运算性质照搬到复数集中来．例如，若z1，z2∈C，z＋z＝0，就不能推出z1＝z2＝0；z2<0在复数范围内成立．‎ ‎2．复数的运算技巧 ‎(1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，利用复数相等和相关性质将复数问题实数化是解决复数问题的常用方法．‎ ‎(2)在复数代数形式的四则运算中，加、减、乘运算按多项式运算法则进行，除法则需分母实数化．‎ ‎3．复数代数运算中常用的几个结论 在进行复数的代数运算时，记住以下结论，可提高计算速度．‎ ‎(1)(1±i)2＝±2i；＝i；＝－i；‎ ‎(2)－b＋ai＝i(a＋bi)；‎ ‎(3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N*.‎ ‎1. 设m∈R，复数z＝m2－1＋(m＋1)i表示纯虚数，则m的值为(　　)‎ A．1　　　　　　　　　　　 B．－1‎ C．±1 D．0‎ ‎　A　[解析] 由题意得即 所以m＝1.故选A.‎ ‎2．(2016·高考全国卷甲)已知z＝(m＋3)＋(m－1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是(　　)‎ A．(－3，1)　　 B．(－1，3)‎ C．(1，＋∞) D．(－∞，－3)‎ ‎　A　[解析] 由已知可得复数z在复平面内对应的点的坐标为(m＋3，m－1)，所以解得－3＜m＜1，故选A.‎ ‎3．(2015·高考全国卷Ⅰ)设复数z满足＝i，则|z|＝(　　)‎ A．1　　 B． C. D．2‎ ‎　A　[解析] 由＝i，得z＝＝＝＝i，所以|z|＝|i|＝1，故选A.‎ ‎4. 在复平面内，已知6＋5i对应的向量为，＝(4，5)，则对应的复数为________．　‎ ‎[解析] ＝(6，5)，＝(4，5)，‎ 则＝＋＝(10，10)．‎ ‎[答案] 10＋10i ‎5. 已知(1＋2i)z＝4＋3i，则z＝________．‎ ‎[解析] 因为z＝＝ ‎＝＝2－i，所以z＝2＋i.‎ ‎[答案] 2＋i ‎　复数的有关概念[学生用书P227]‎ ‎[典例引领]‎ ‎　(1)(2016·高考全国卷乙)设(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是实数，则|x＋yi|＝(　　)‎ A．1　　　　　　　　　　 B． C. D．2‎ ‎(2)(2017·辽宁师大附中期中)设复数z的共轭复数为，若z＝1－i(i为虚数单位)，则＋z2的虚部为________．‎ ‎【解析】　(1)因为(1＋i)x＝x＋xi＝1＋yi，‎ 所以x＝y＝1，|x＋yi|＝|1＋i|＝　＝，选B．‎ ‎(2)因为z＝1－i(i为虚数单位)，‎ 所以＋z2＝＋(1－i)2＝－2i＝－2i＝－i.故其虚部为－1.‎ ‎【答案】　(1)B　(2)－1‎ 解决复数概念问题的方法及注意事项 ‎(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．‎ ‎(2)解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．　 ‎ ‎[通关练习]‎ ‎1．(2017·山西省第二次四校联考)i是虚数单位，若＝a＋bi(a，b∈R)，则lg(a＋b)的值是(　　)‎ A．－2　　 B．－1‎ C．0 D． ‎　C　[解析] 因为＝＝－i＝a＋bi，‎ 所以，所以lg(a＋b)＝lg 1＝0.‎ ‎2．(2017·河南省六市第一次联考)已知i为虚数单位，a∈R，若为纯虚数，则复数z＝2a＋i的模等于(　　)‎ A.　　 B． C. D． ‎　C　[解析] 由题意得，＝ti，t≠0，t∈R，所以2－i＝－t＋tai，所以，解得，所以z＝2a＋i＝1＋i，|z|＝.‎ ‎　复数的几何意义[学生用书P227]‎ ‎[典例引领]‎ ‎　(1)设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝2＋i，则z1z2＝(　　)‎ A．－5　　　　　　　　　　 B．5‎ C．－4＋i D．－4－i ‎(2)(2017·湖南一模)已知复数z＝，则z－|z|对应的点所在的象限为(　　)‎ A．第一象限　　 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【解析】　(1)因为z1＝2＋i在复平面内的对应点的坐标为(2，1)，又z1与z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，则z2的对应点的坐标为(－2，1)，即z2＝－2＋i，所以z1z2＝(2＋i)(－2＋i)＝i2－4＝－5.‎ ‎(2)因为复数z＝＝＝＋i，‎ 所以z－|z|＝＋i－＝＋i，对应的点所在的象限为第二象限．故选B．‎ ‎【答案】　(1)A　(2)B 复数的几何意义及应用 ‎(1)复数z、复平面上的点Z及向量相互联系，即z＝a＋bi(a，b∈R)⇔Z(a，b)⇔.　 ‎ ‎(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．‎ ‎[通关练习]‎ ‎1．(2017·河北省三市第二次联考)若复数z＝＋a在复平面上对应的点在第二象限，则实数a可以是(　　)‎ A．－4　　 B．－3‎ C．1 D．2‎ ‎　A　[解析] 若z＝＋a＝(3＋a)－ai在复平面上对应的点在第二象限，则a＜－3.‎ ‎2．(2017·宝鸡九校联考)如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，，则复数z1·z2对应的点位于(　　)‎ A．第一象限　　 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎　D　[解析] 由已知＝(－2，－1)，＝(0，1)，‎ 所以z1＝－2－i，z2＝i，z1z2＝1－2i，‎ 它所对应的点为(1，－2)，在第四象限．‎ ‎　复数代数形式的运算[学生用书P228]‎ ‎[典例引领]‎ ‎　(1)(2016·高考全国卷丙)若z＝1＋2i，则＝(　　)‎ A．1　　　　　　　　　　 B．－1‎ C．i D．－i ‎(2)(2017·武汉市武昌区调研)已知(－1＋3i)(2－i)＝4＋3i(其中i是虚数单位，是z的共轭复数)，则z的虚部为(　　)‎ A．1　　 B．－1‎ C．i D．－i ‎(3)已知i是虚数单位，则＋＝________．‎ ‎【解析】　(1)＝＝i.‎ ‎(2)因为＝＋1－3i＝＋1－3i＝1＋2i＋1－3i＝2－i，所以z＝2＋i，‎ z的虚部为1，故选A.‎ ‎(3)原式＝＋＝＋i6＝i1 008＋i6＝i4×252＋i4＋2＝1＋i2＝0. ‎ ‎【答案】　(1)C　(2)A　(3)0‎ ‎　 ‎ ‎　计算下列各式的值：‎ ‎(1)；(2)；(3)＋i3.‎ ‎[解] (1)＝＝＝2i.‎ ‎(2)＝＝2－i.‎ ‎(3)＋i3＝＋i3＝＋i3＝i－i＝0.‎ ‎[学生用书P380(独立成册)]‎ ‎1．(2017·山西省第二次四校联考)若复数z满足z(i＋1)＝，则复数z的虚部为(　　)‎ A．－1　　 B．0‎ C．i D．1‎ ‎　B　[解析] 因为z(i＋1)＝，所以z＝＝＝－1，所以z的虚部为0.‎ ‎2．(2017·商丘模拟)已知＝a＋bi(a，b∈R，i为虚数单位)，则a＋b＝(　　)‎ A．－7　　 B．7‎ C．－4 D．4‎ ‎　A　[解析] 因为＝1＋＋＝－3－4i，‎ 所以－3－4i＝a＋bi，则a＝－3，b＝－4，‎ 所以a＋b＝－7，故选A.‎ ‎3．(2017·河北省“五校联盟”质量检测)在复平面内与复数z＝所对应的点关于实轴对称的点为A，则A对应的复数为(　　)‎ A．1＋i　　 B．1－i C．－1－i D．－1＋i ‎　B　[解析] 因为z＝＝＝i(1－i)＝1＋i，所以A点坐标为(1，－1)，其对应的复数为1－i.故选B．‎ ‎4．(2017·湖南省东部六校联考)已知i是虚数单位，设复数z1＝1＋i，z2＝1＋2i，则在复平面内对应的点在(　　)‎ A．第一象限　　 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎　D　[解析] 由题可得，＝＝＝－i，对应在复平面上的点的坐标为，在第四象限．‎ ‎5．(2017·广东测试)若z＝(a－)＋ai为纯虚数，其中a∈R，则＝(　　)‎ A．i　　 B．1‎ C．－i D．－1‎ ‎　C　[解析] 因为z为纯虚数，所以a＝，‎ 所以＝＝＝＝－i.‎ ‎6．(2017·湖北优质高中联考)已知复数z＝1＋i(i为虚数单位)则－z2的共轭复数是(　　)‎ A．－1＋3i　　 B．1＋3i C．1－3i D．－1－3i ‎　B　[解析] －z2＝－(1＋i)2＝－2i＝1－i－2i＝1－3i，其共轭复数是1＋3i，故选B．‎ ‎7．已知复数z＝1－i，则＝________．‎ ‎[解析] ＝＝z－1－ ‎＝(－i)－＝－i－＝－2i.‎ ‎[答案] －2i ‎8．已知i是虚数单位，m，n∈R，且m(1＋i)＝1＋ni，则＝________．‎ ‎[解析] 由m(1＋i)＝1＋ni，得m＋mi＝1＋ni，即m＝n＝1，所以＝＝i2＝－1.‎ ‎[答案] －1‎ ‎9．已知复数z满足＝i(其中i是虚数单位)，则|z|＝________．‎ ‎[解析] 由＝i知，z＋2＝zi－2i，‎ 即z＝，所以|z|＝＝＝2.‎ ‎[答案] 2‎ ‎10．已知复数z＝(i为虚数单位)在复平面内对应的点在直线x－2y＋m＝0上，则实数m＝________．‎ ‎[解析] z＝＝＝＝1－2i，复数z在复平面内对应的点的坐标为(1，－2)，将其代入x－2y＋m＝0，得m＝－5.‎ ‎[答案] －5‎ ‎11．计算：(1)；‎ ‎(2)＋；‎ ‎(3).‎ ‎[解] (1)＝ ‎＝＝＝＋i.‎ ‎(2)＋＝＋＝＋＝－1.‎ ‎(3)＝＝＝ ‎＝－－i.‎ ‎12．已知复数z的共轭复数是，且满足z·＋2iz＝9＋2i.‎ 求z.‎ ‎[解] 设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi.因为z·＋2iz＝9＋2i，所以(a＋bi)(a－bi)＋2i(a＋b i)＝9＋2i，即a2＋b2－2b＋2ai＝9＋2i，所以 由②得a＝1，代入①，得b2－2b－8＝0.‎ 解得b＝－2或b＝4.所以z＝1－2i或z＝1＋4i.‎ ‎13．(2017·宁夏银川一中一模)已知复数(1＋i)(a＋bi)＝2＋4i(a，b∈R)，则函数f(x)＝2sin＋b图象的一个对称中心是(　　)‎ A.　　 B． C. D． ‎　D　[解析] 因为(1＋i)(a＋bi)＝2＋4i，所以a＋bi＝＝＝3＋i，所以a＝3，b＝1.f(x)＝2sin＋1，令3x＋＝kπ，k∈Z，所以x＝－＋，k∈Z，令k＝1，得x＝，所以f(x)＝2sin＋1的一个对称中心为，故选D．‎ ‎14．－3＋2i是方程2x2＋px＋q＝0的一个根，且p，q∈R，则p＋q＝________．‎ ‎[解析] 由题意得2(－3＋2i)2＋p(－3＋2i)＋q＝0，‎ 即2(5－12i)－3p＋2pi＋q＝0，‎ 即(10－3p＋q)＋(－24＋2p)i＝0，‎ 所以所以p＝12，q＝26，所以p＋q＝38.‎ ‎[答案] 38‎