【数学】2020届一轮复习北师大版定点、定值与探索性问题学案

【数学】2020届一轮复习北师大版定点、定值与探索性问题学案

第三课时　定点、定值与探索性问题 考向一　圆锥曲线中的定值问题 ‎【典例】 (2018·临沂质检)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)经过(1,1)与两点．‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)过原点的直线l与椭圆C交于A，B两点，椭圆C上一点M满足|MA|＝|MB|.求证：＋＋为定值．‎ ‎[思路分析]‎ 总体 设计 看到：求椭圆方程与定值问题．‎ 想到：利用特例得出定值再证明，或采用推理、计算、消元得定值．‎ 解题 指导 ‎(1)利用待定系数法求椭圆方程；‎ ‎(2)先利用特殊情况得出定值，再推广到一般情况，即分别用直线斜率k表示出|OA|2、|OB|2和|OM|2，再化简求值.‎ ‎[规范解答]　(1)将(1,1)与两点代入椭圆C的方程，‎ 得解得 2分 ‎∴椭圆C的方程为＋＝1. 4分 ‎(2)证明：由|MA|＝|MB|，知M在线段AB的垂直平分线上，由椭圆的对称性知A，B关于原点对称.5分 ‎①若点A，B是椭圆的短轴顶点，则点M是椭圆的一个长轴顶点，此时＋＋＝＋＋＝2． 6分 同理，若点A，B是椭圆的长轴顶点，则点M是椭圆的一个短轴顶点，‎ 此时＋＋＝＋＋＝2． 7分 ‎②若点A，B，M不是椭圆的顶点，‎ 设直线l的方程为y＝kx(k≠0)，则直线OM的方程为y＝－x，设A(x1，y1)，B(－x1，－y1)， 8分 由消去y得，x2＋2k2x2－3＝0，‎ 解得x＝，y＝， 9分 ‎∴|OA|2＝|OB|2＝x＋y＝，同理|OM|2＝， 10分 ‎∴＋＋＝2×＋＝2. ‎ ‎11分 故＋＋＝2为定值. 12分 ‎[技法总结]　求解定值问题的两大途径 ‎(1)首先由特例得出一个值(此值一般就是定值)然后证明定值：即将问题转化为证明待证式与参数(某些变量)无关．‎ ‎(2)先将式子用动点坐标或动线中的参数表示，再利用其满足的约束条件使其绝对值相等的正负项抵消或分子、分母约分得定值．‎ ‎[变式提升]‎ ‎1．(2018·益阳三模)已知抛物线C1的方程为x2＝2py(p＞0)，过点M(a，－2p)(a为常数)作抛物线C1的两条切线，切点分别为A，B．‎ ‎(1)过焦点且在x轴上截距为2的直线l与抛物线C1交于Q，N两点，Q，N两点在x轴上的射影分别为Q′，N′，且|Q′N′|＝2，求抛物线C1的方程；‎ 解　因为抛物线C1的焦点坐标是，‎ 所以过焦点且在x轴上截距为2的直线方程是＋＝1，即＋＝1．‎ 联立消去y并整理，得x2＋x－p2＝0，‎ 设点Q(xQ，yQ)，N(xN，yN)，‎ 则xQ＋xN＝－，xQxN＝－p2．‎ 则|Q′N′|＝|xQ－xN|＝ ‎＝＝ ＝2 ，‎ 解得p＝2．‎ 所以抛物线C1的方程为x2＝4y．‎ ‎(2)设直线AM，BM的斜率分别为k1，k2, 求证：k1·k2为定值．‎ 证明　设点A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1＞0，x2＜0)，‎ 依题意，由x2＝2py(p＞0)，得y＝，则y′＝．‎ 所以切线MA的方程是y－y1＝(x－x1)，即y＝x－.又点M(a，－2p)在直线MA上，‎ 于是有－2p＝×a－，即x－2ax1－4p2＝0．‎ 同理，有x－2ax2－4p2＝0，‎ 因此，x1，x2是方程x2－2ax－4p2＝0的两根，‎ 则x1＋x2＝‎2a，x1x2＝－4p2．‎ 所以k1·k2＝·＝＝＝－4，‎ 故k1·k2为定值得证．‎ ‎2．(2018·龙岩一模)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，点在椭圆上．不过原点的直线l与椭圆交于A，B两点，且·＝0(O为坐标原点)．‎ ‎(1)求椭圆C的方程； ‎ ‎(2)试判断＋是否为定值？若是，求出这个值；若不是，请说明理由．‎ 解　(1)∵椭圆C的离心率e＝＝，又c2＝a2－b2，‎ ‎∴a2＝a2－b2，∴a2＝4b2．‎ 又点P在椭圆上，∴＋＝1，‎ 即＋＝1，∴b2＝1，则a2＝4，‎ ‎∴椭圆C的方程为＋y2＝1．‎ ‎(2)当直线OA的斜率存在且不为0时，设其方程为y＝kx，∵A，B分别为椭圆上的两点，且·＝0，‎ 即OA⊥OB，∴直线OB的方程为y＝－x．‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 把y＝kx代入椭圆C：＋y2＝1，‎ 得x＝，∴y＝，‎ 同理x＝，∴y＝，‎ ‎∴＋＝＋ ‎＝＋＝．‎ 当直线OA，OB中的一条直线的斜率不存在时，则另一条直线的斜率为0，此时＋＝＋＝＋1＝．‎ 综上所述，＋为定值 ．‎ 考向二　圆锥曲线中的定点问题 ‎【典例】 (2018·荆州二模)已知倾斜角为的直线经过抛物线Γ：y2＝2px(p＞0)的焦点F，与抛物线Γ相交于A、B两点，且|AB|＝8．‎ ‎(1)求抛物线Γ的方程；‎ ‎(2)过点P(12,8)的两条直线l1、l2分别交抛物线Γ于点C、D和E、F，线段CD和EF的中点分别为 M、N. 如果直线l1与l2的倾斜角互余，求证：直线MN经过一定点．‎ ‎(1)解　由题意可设直线AB的方程为y＝x－，‎ 由消去y整理得x2－3px＋＝0，‎ 设令A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝3p，‎ 由抛物线的定义得|AB|＝x1＋x2＋p＝4p＝8，‎ ‎∴4p＝8，∴p＝2．‎ ‎∴抛物线的方程为y2＝4x．‎ ‎(2)证明　设直线l1、l2的倾斜角分别为α、β，直线l1的斜率为k，则k＝tan α．‎ ‎∵直线l1与l2的倾斜角互余，‎ ‎∴tan β＝tan＝＝＝＝，‎ ‎∴直线l2的斜率为．‎ ‎∴直线CD的方程为y－8＝k(x－12)，即y＝k(x－12)＋8，‎ 由消去x整理得ky2－4y＋32－48k＝0，‎ ‎∴yC＋yD＝，∴xC＋xD＝24＋－，‎ ‎∴点M的坐标为，‎ 以代替点M坐标中的k，可得点N的坐标为(12＋2k2－8k,2k)，‎ ‎∴kMN＝＝．‎ ‎∴直线MN的方程为 y－2k＝[x－(12＋2k2－8k)]，‎ 即y＝x－10，‎ 显然当x＝10，y＝0．‎ ‎∴直线MN经过定点(10,0)．‎ ‎[技法总结]　动线过定点问题的两大类型及解法 ‎(1)动直线l过定点问题，解法：设动直线方程(斜率存在)为y＝kx＋t，由题设条件将t用k表示为t＝mk，得y＝k(x＋m)，故动直线过定点(－m,0)．‎ ‎(2)动曲线C过定点问题，解法：引入参变量建立曲线C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点．‎ ‎[变式提升]‎ ‎3．(2018·甘肃检测)如图，设直线l：y＝k与抛物线C：y2＝2px(p>0，p为常数)交于不同的两点M，N，且当k＝时，弦MN的长为4．‎ ‎(1)求抛物线C的标准方程；‎ ‎(2)过点M的直线交抛物线于另一点Q，且直线MQ过点B(1，－1)，求证：直线NQ 过定点．‎ ‎(1)解　设M(x1，y1)，N(x2，y2)，当k＝时，‎ 直线l：y＝，即x＝2y－，‎ 联立消去x，得y2－4py＋p2＝0．‎ ‎∴y1＋y2＝4p，y1y2＝p2，‎ 于是得|MN|＝|y1－y2|‎ ‎＝× ‎＝2|p|＝4，‎ 因为p>0，所以p＝2，‎ 即抛物线C的标准方程为y2＝4x．‎ ‎(2)证明　设点M(4t2,4t)，N(4t，4t1)，Q(4t，4t2)，‎ 易得直线MN，MQ，NQ的斜率均存在，‎ 则直线MN的斜率是kMN＝＝，‎ 从而直线MN的方程是y＝(x－4t2)＋4t，‎ 即x－(t＋t1)y＋4tt1＝0．‎ 同理可知MQ的方程是x－(t＋t2)y＋4tt2＝0，‎ NQ的方程是x－(t1＋t2)y＋4t1t2＝0．‎ 又易知点(－1,0)在直线MN上，从而有4tt1＝1．‎ 即t＝，点B(1，－1)在直线MQ上，‎ 从而有1－(t＋t2)×(－1)＋4tt2＝0，‎ 即1－×(－1)＋4××t2＝0，‎ 化简得4t1t2＝－4(t1＋t2)－1．‎ 代入NQ的方程得x－(t1＋t2)y－4(t1＋t2)－1＝0．‎ 所以直线NQ过定点(1，－4)．‎ ‎4．(2018·绵阳三模)如图，椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，MF2⊥x轴，直线MF1交y轴于H点，OH＝，Q为椭圆E上的动点，△F‎1F2Q的面积的最大值为1．‎ ‎(1)求椭圆E的方程；‎ ‎(2)过点S(4,0)作两条直线与椭圆E分别交于A、B、C、D，且使AD⊥x轴，如图，问四边形ABCD的两条对角线的交点是否为定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由．‎ 解　(1)设F(c,0)，由题意可得＋＝1，即yM＝．‎ ‎∵OH是△F‎1F2M的中位线，且OH＝，‎ ‎∴|MF2|＝，即＝，整理得a2＝2b4.①‎ 又由题知，当Q在椭圆E的上顶点时，△F‎1F2M的面积最大，∴×‎2c×b＝1，整理得bc＝1，‎ 即b2(a2－b2)＝1，②‎ 联立①②可得2b6－b4＝1，‎ 变形得(b2－1)(2b4＋b2＋1)＝0，‎ 解得b2＝1，进而a2＝2．‎ ‎∴椭圆E的方程式为＋y2＝1．‎ ‎(2)设A(x1，y1)，C(x2，y2)，‎ 则由对称性可知D(x1，－y1)，B(x2，－y2)．‎ 设直线AC与x轴交于点(t,0)，‎ 直线AC的方程为x＝my＋t(m≠0)，‎ 联立消去x，得(m2＋2)y2＋2mty＋t2－2＝0，‎ ‎∴y1＋y2＝，y1y2＝，‎ 由A、B、S三点共线kAS＝kBS，即＝，‎ 将x1＝my1＋t，x2＝my2＋t代入整理得 y1(my2＋t－4)＋y2(my1＋t－4)＝0，‎ 即2my1y2＋(t－4)(y1＋y2)＝0，‎ 从而＝0，‎ 化简得‎2m(4t－2)＝0，解得t＝，‎ 于是直线AC的方程为x＝my＋，‎ 故直线AC过定点. 同理可得BD过定点，‎ ‎∴直线AC与BD的交点是定点，定点坐标为．‎