高考数学复习-正弦定理

高考数学复习-正弦定理

正弦定理 欧阳炼 .C .B.A A B C c b a , , , , Rt ABC C C c A a B b      在 中， 为直角 所对的边为长 所对的边长为 所对的边长为 根据正弦函数的定义，我们有 sin ,a Ac  sin sin sin a b c A B C  对于直角三角形我们有 ，那么 此关系式对于一般的三角形是否仍成立呢？ sinb Bc  sin sin a b cA B  所以 又因为sinC=1， sin sin sin a b c A B C  所以 ABC当 是锐角三角形时，设边AB上的高是CD， 我们有 sin CDB a  sin CDA b  sin sina B b A CD 所以 ,sin sin a b A B 即 ,sin sin sin sin sin b c B C a b c A B C     同理，在 ABC中， 所以 ABC当 是钝角三角形时，BC边上的高为AD， 过点C作AB的垂线与AB的延长线交于点D,有 sin , sin sin sin sin sin AD c B AD b C c B b C b c B C     所以 即 sin , sin(180 ) CE a B CE b A   o 又因为 sin sin(180 ) sin sin sin sin a a b A A B a b c A B C     o故 所以 正弦定理：从上面的讨论我们得到下面的结论： 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比 相等，即 sin sin sin a b c A B C   正弦定理非常好的描述了任意三角形中边与角的一种数量关系。 A B C一般地，把三角形的三个角 ， ， 和它们的对边 叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求其 他元素的过程叫做解三角形 O ABC CO O A D C      圆 为 的半径为R的外接圆，连接 并延长， 与圆 交于点D，连接BD，故 ，在Rt BD中， sin2 a DR  2sin a RA 所以 2 , 2sin 2sin sin cR RC a c RA C      b同理sinB b则 sinB sin A 从正弦定理的结构，我们知道： （1）已知三角形的两角和任意一边，可以求 出三角形中其他的元素（两角一边） （2）已知三角形的任意两边和其中一边的对 角，可以计算出三角形中其他的元素（两 边一对角） 基础训练一（两角和一边） 1、 在 中，已知 ，求a。ABC  30,45,10 CAc 0 0 sin sin 210sin 10 sin 45 2 10 21sin sin30 2 a c A C c Aa C       Q解： 2 60 45ABC A C    o o、在 中， ， ，b=2,则此三角形的 最小边长为多少？ 60 45 75 A C B       o o o Q解 ， 所以 ，故c边最短。 sin 22sin 2 2 3 2sin(45 30 ) c C Cc       o o Q b sinB b sinB 基础训练2（两边和其中一边所对的角） 03 6 3, 6, 30 .b c C a   、在 ABC中，已知 ，求 sin 3sin 2 , 120o b CB c B   o 解：根据正弦定理有 因为b>c，所以B=60 或 60 sin 6sin90 12sin sin30 o o o B c Aa C     o（1）当 时，A=90 120 30 , sin 6sin30 6.sin sin30 o o o o B A c Aa C      （2）当 时， 6 12a a 所以 或 60oa 4、在 ABC中，已知 =50 3,b=50,A= ，求 B和c. , sin 50sin 60 1sin 250 3 a B A B b AB a        解： b< , 是锐角。 又因为 o Q 030 , 150 ( ) 90o B B C       舍去o sin 50 3sin90 100sin sin 60 a Cc A     o o   05、已知在 ABC中，a=4cm,b=5cm, A=120 , 解三角形。 0 4, 5, , , 120 , a b a b A B A B          分析：在这里有 所以 根据三角形的性质有 而 所以 也是一个钝角，这种情况是不存在的。 sinsin b AB a  , 2, 45oABC a x b B x     6、已知 中， ， 若三角形有两解，则 的取值范围是（ ） . 2 . 2 .2 2 2 .2 2 3 A x B x C x D x       C . sin . sin . sin . sin A a b A B a b A C a b A D a b A      7.在 ABC中，下列关系一定成立的是（ ）D 1. 2sin sin sin 2.sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 3.sin :sin :sin : : a b c R R ABCA B C a b c a b A B C A B a c b c a b c A C B C A B C A B C a b c                   （ 为 的外接圆半径） 正弦定理公式主要变形： 拓展训练 sin 60 90 AABC a   o o o o cosB1、在 中，若 = ，则 B的值为....（ ）b A、30 B、45 C、 D、 B ,sin sin sin cos sin cos 45 a b b b A B B B B B B        o Q解析： 2  4 5、在 ABC中，已知cosA= ，cosB= ,则a:b:c=_________5 13 4 5cos ,cos ,0 ,05 13 3 12sin ,sin5 13 sin sin( ) sin cos cos sin 3 5 4 12 63 5 13 5 13 65 : : sin :sin :sin 3 12 63: : 13: 20: 215 13 65 A B A B A B C A B A B A B a b c A B C                         Q解析： 13: 20: 21 3. , 2 , 60 ,oABC b a B A A    在 中 则 30o 2 , sin 2sin sin(60 ) 2sin 1 3sin cos 2sin2 2 3tan 3 (0 ,180 ) 30 o o o o b a B A A A A A A A A A               解析由正弦定理及 知 4 ,lg(sin sin ) 2lgsin lg(sin sin )ABC A C B C A    在 中 则该三角形的形状是 直角三角形 2 2 2 2 2 2 2 lg(sin sin ) lg(sin sin ) lgsin sin sin sin A C C A B C A B c a b          解析：由已知条件， 故三角形为直角三角形 2 25 tan tanABC a B b A ABC  在 中，已知 ，是判断 的形状。 2 2 2 2 2 2 sin sin cos cos 4 sin sin 4 sin sin cos cos sin cos sin cos sin 2 sin 2 2 2 2 2 2 a B b A B A R A B R B A B A R ABC A A B B A B A B A B A B A B                  解：由已知得 （ 为 外接圆半径） 或 即 或 所以三角形为等腰或直角三角形 小结 一、正弦定理的内容 二、正弦定理的运用 1、直接利用正弦定理解三角形 2、正弦定理变形公式运用