2018届二轮复习抽样方法破解之法学案（全国通用）

2018届二轮复习抽样方法破解之法学案（全国通用）

专题64 抽样方法破解之法 ‎ 考纲要求:‎ ‎（1）理解随机抽样的必要性和重要性.‎ ‎（2）会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；了解分层抽样和系统抽样方法.‎ ‎（3）会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题 基础知识回顾:‎ 一、简单随机抽样 ‎1．定义：设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．‎ ‎2．最常用的简单随机抽样的方法：抽签法和随机数法．‎ ‎3．抽签法与随机数法的区别与联系 ‎ 抽签法和随机数法都是简单随机抽样的方法，但是抽签法适合在总体和样本都较少，容易搅拌均匀时使用，而随机数法除了适合总体和样本都较少的情况外，还适用于总体较多但是需要的样本较少的情况，这时利用随机数法能够快速地完成抽样．‎ 二、系统抽样的步骤 假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本．‎ ‎1．先将总体的N个个体编号．‎ ‎2．确定分段间隔k，对编号进行分段，当Nn是整数时，取k＝Nn.‎ ‎3．在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l(l≤k)．‎ ‎4．按照一定的规则抽取样本，通常是将l加上间隔k得到第2个个体编号(l＋k)，再加k得到第3个个体编号(l＋2k)，依次进行下去，直到获取整个样本．‎ 三、分层抽样 ‎1．定义：在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样．‎ ‎2．分层抽样的应用范围：当总体是由差异明显的几个部分组成的，往往选用分层抽样．‎ ‎[必会结论]‎ ‎1．不论哪种抽样方法，总体中的每一个个体入样的概率是相同的．‎ ‎2．系统抽样是等距抽样，入样个体的编号相差Nn的整数倍．‎ ‎3．分层抽样是按比例抽样，每一层入样的个体数为该层的个体数乘以抽样比．‎ 应用举例:‎ 类型一 简单随机抽样 例1．从总体为的一批零件中使用简单随机抽样抽取一个容量为40的样本，若某个零件在第2次抽取时被抽到的可能性为1%，则（ ）‎ A. 100 B. ‎4000 C. 101 D. 4001‎ ‎【答案】B 例2【2018届云南省玉溪第一中学高三上学期第一次月考】总体由编号为的各个体组成，利用随机数表（以下摘取了随机数表中第1行和第2行）选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第9列和第10列数字开始由左向右读取，则选出来的第4个个体的编号为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】从随机数表第1行的第9列和第10列数字开始,依次是14，05，11，09，则第四个数字是09，选B.‎ 例3.用抽签法进行抽样有以下及格步骤：‎ ‎①把号码写在形状、大小相同的号签上（号签可以用小球、卡片、纸条制作）‎ ‎②将总体中的个体编号；‎ ‎③从这容器中逐个不放回地抽取号签，将取出号签所对应的个体作为样本；‎ ‎④将这些号签放在一个容器内并搅拌均匀；‎ 这些步骤的先后顺序应为 ( )‎ A. ②①④③ B. ②③④① C. ①③④② D. ①④②③‎ ‎【答案】A 点评：应用简单随机抽样应注意的问题 ‎(1)一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：一是抽签是否方便；二是号签是否易搅匀．一般地，当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法．‎ ‎(2)在使用随机数表时，如遇到三位数或四位数时，可从选择的随机数表中的某行某列的数字计起，每三个或四个作为一个单位，自左向右选取，有超过总体号码或出现重复号码的数字舍去．‎ 类型二 分层抽样 例4【2018届河南省师范大学附属中学高三8月开学】某单位共有职工150名，其中高级职称45人，中级职称90人，初级职称15人，现采用分层抽样方法从中抽取容量为30的样本，则各职称人数分别为（ ）‎ A. 9,18,3 B. 10,15,‎5 C. 10,17,3 D. 9,16,5‎ ‎【答案】A ‎【解析】各职称人数分别为 选A. ‎ 例5【2017届江西省南昌市一模】某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一1000人、高二1200人、高三人中，抽取81人进行问卷调查，已知高二被抽取的人数为30，那么（ ）‎ A. 860 B. ‎720 C. 1020 D. 1040‎ ‎【答案】D ‎【解析】分层抽样是按比例抽样,可得,可得.故本题选.‎ 例6【2018届河南省郑州市第一中学高三上学期第二次月考】为了调查民众对最新各大城市房产限购政策的了解情况，对甲、乙、丙、丁四个不同性质的单位做分层抽样调查．假设四个单位的人数有如下关系：甲、乙的人数之和等于丙的人数，甲丁的人数之和等于乙、丙的人数之和，且丙单位有36人，若在甲、乙两个单位抽取的人数之比为1:2，则这四个单位的总人数为（ ）‎ A. 96 B. ‎120 C. 144 D. 160‎ ‎【答案】B 点评：分层抽样的步骤 ‎(1)将总体按一定标准分层；‎ ‎(2)计算各层的个体数与总体数的比，按各层个体数占总体数的比确定各层应抽取的样本容量；‎ ‎(3)在每一层进行抽样(可用简单随机抽样或系统抽样)．‎ 类型三 系统抽样 例7【2018届山东省济南外国语学校三箭分校高三9月月考】要从编号为1-50的50名学生中用系统抽样方法抽出5人，所抽取的5名学生的编号可能是（ ）‎ A. 3，13，23，33，43 B. 2，4，8，16，32‎ C. 1，2，3，4，5 D. 5，10，15，20，25‎ ‎【答案】A ‎【解析】样本间隔为50÷5=10， 则用系统抽样方法确定所选取的5名学生的编号可能是3，13，23，33，43， 故选：A.‎ 例8【2016大联考一】将800个个体编号为，然后利用系统抽样的方法从中抽取20个个体作为样本，则在编号为的个体中应抽取的个体数为（ ）‎ A．10 B．‎9 C．8 D．7‎ ‎【答案】D．‎ ‎【解析】抽样的间隔为，所以第4组的编号为，第10组的编号为，所以在编号为的个体中被抽取的个体是从第4组至第10组中的每组一个，一共有7个．‎ 例9.有以下三个案例：‎ 案例一：从同一批次同类型号的10袋牛奶中抽取3袋检测其三聚氰胺含量；‎ 案例二：某公司有员工800人：其中高级职称的160人，中级职称的320人，初级职称200人，其余人员120人.从中抽取容量为40的样本，了解该公司职工收入情况；‎ 案例三：从某校1000名学生中抽10人参加主题为“学雷锋，树新风”的志愿者活动.‎ ‎（1）你认为这些案例应采用怎样的抽样方式较为合适？‎ ‎（2）在你使用的分层抽样案例中写出每层抽样的人数；‎ ‎（3）在你使用的系统抽样案例中按以下规定取得样本编号：如果在起始组中随机抽取的码为(编号从0开始)，那么第组(组号从0开始，)抽取的号码的百位数为组号，后两位数为的后两位数.若，试求出及时所抽取的样本编号.‎ ‎【答案】（1）一用简单随机抽样，二用分层抽样，三用系统抽样；（2）8、16、10、6；（3）.‎ 点评：系统抽样的特点及抽样技巧 ‎(1)系统抽样的特点——机械抽样，又称等距抽样，所以依次抽取的样本对应的号码就是一个等差数列，首项就是第1组所抽取样本的号码，公差为间隔数，根据等差数列的通项公式就可以确定每一组内所要抽取的样本号码．‎ ‎(2)系统抽样时，如果总体中的个数不能被样本容量整除时，可以先用简单随机抽样从总体中剔除几个个体，然后再按系统抽样进行．‎ 类型四 与抽样有关的概率统计问题 例10.设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18.现采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛．‎ ‎(1)求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数；‎ ‎(2)将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为A1，A2，A3，A4，A5，A6.现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛．‎ ‎①用所给编号列出所有可能的结果；‎ ‎②设A为事件“编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到”，求事件A发生的概率．‎ ‎【答案】(1) 3,1,2.(2).‎ 例11【2018届陕西省西安市长安区高三上大联考一】某单位N名员工参加“社区低碳你我他”活动，他们的年龄在25岁至50岁之间，按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布图如图所示，下表是年龄的频率分布表.‎ ‎（1）现要从年龄较小的第组中用分层抽样的方法抽取6人，则年龄第组人数分别是多少？‎ ‎（2）在（1）的条件下，从这6中随机抽取2参加社区宣传交流活动，求恰有2人在第3组的概率。‎ ‎【答案】（1）年龄第1，2，3组人数分别是1人，1人，4人；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由频率分布表和频率分布直方图知第1，2，3组的人数比为 ，要从年龄较小的第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取6人，由此能求出年龄第1，2，3组人数． （2）从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，基本事件总数 ‎ 种，恰有2人在第3组包含的基本事件个数 种，由此能求出恰有2人在第3组的概率．‎ 点评：分层抽样是历年高考的重要考点之一，高考中常把分层抽样、频率分布、概率综合起来进行考查，反映了当前高考的命题方向.这类试题难度不大，但考查的知识面较为宽广，在解题中要注意准确使用所学知识，不然在一个点上的错误就会导致整体失误.‎ 方法、规律归纳:‎ 系统抽样和分层抽样中的注意事项 ‎(1)系统抽样最大的特点是“等距”，利用此特点可以很方便地判断一种抽样方法是否是系统抽样．‎ ‎(2)分层抽样中分多少层、如何分层要视具体情况而定，总的原则是层内样本的差异要小，两层之间的样本差异要大，且互不重叠；为了保证每个个体等可能入样，所有层中每个个体被抽到的可能性相同．‎ 实战演练:‎ ‎1.【2018届江西省宜春昌黎实验学校高三第二次段考】某中学高一年级560人，高二年级540人，高三年级520人，用分层抽样的方法抽取容量为81的样本，则在高一、高二、高三三个年级抽取的人数分别为 A. 28、27、26 B. 28、26、‎24 C. 26、27、28 D. 27、26、25‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据题意得，用分层抽样在各层中的抽样比为 ‎ ‎ 则在高一年级抽取的人数是人 高二年级抽取的人数是人 高三年级抽取的人数是人 故答案选.‎ ‎2.【2017年江苏卷】某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取________ 件.‎ ‎【答案】18‎ ‎【解析】应从丙种型号的产品中抽取件，故答案为18．‎ ‎3．某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点，公司为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为(1)；在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务情况，记这项调查为(2)。则完成(1)、(2)这两项调查宜采用的抽样方法依次是___________、___________。‎ ‎【答案】 分层抽样法 简单随机抽样法 ‎ 4．高二某班有学生人，现将所有同学随机编号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知5号、33号、47号学生在样本中，则样本中还有一个学生的编号为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵高二某班有学生56人，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，‎ ‎∴样本组距为56÷4=14，‎ 则5+14=19，‎ 即样本中还有一个学生的编号为19.‎ ‎5．某单位名职工的年龄分布情况如图，现要从中抽取名职工作样本，用系统抽样法，将全体职工随机按编号，并按编号顺序平均分为组（号， 号， ， 号），若第组抽出的号码为，则第组抽出的号码应是__________，若用分层抽样方法，则 岁以下年龄段应抽取__________人.‎ ‎【答案】 37 20‎ ‎【解析】因为每小组有个人，第组抽出的号码为，‎ 所以第组应抽出的号码为，‎ 又因为岁以下人数占，‎ 所以样本中也应点，‎ 故岁以下年龄段应抽取人．‎ ‎6.【2018届陕西省西安市长安区第五中学高三上第二次模拟】某校高一、高二、高三人数分别是400人、350人、350人.为调査该校学习情况，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为的样本.已知从高一的同学中抽取的同学有8人 ‎（1）求样本容量的值和高二抽取的同学的人数 ‎（2）若从高二抽取的同学中选出2人参加某活动，已知高二被抽取的同学中有2名女生，求至少有1名女同学被选中的概率.‎ ‎【答案】（1）7；（2）‎ 的有： 共 11 种 ‎ 故至少有1名女同学被选中的概率.‎ ‎7.【2018届山东省济南外国语学校三箭分校高三9月月考】某社区为丰富居民节日活动，组织了“迎新春”象棋大赛，已知报名的选手情况统计如下表：‎ 组别 男 女 总计 中年组 ‎91‎ 老年组 ‎16‎ 已知中年组女性选手人数是仅比老年组女性选手人数多2人，若对中年组和老年组分别利用分层抽样的方法抽取部分报名者参加比赛，已知老年组抽取了5人，其中女性3人，中年组抽取了7人.‎ ‎（1）求表格中的数据；‎ ‎（2）若从选出的中年组的选手中随机抽取两名进行比赛，求至少有一名女性选手的概率.‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）． ‎ ‎ 8.【2018届吉林省汪清县第六中学高三9月月考】我市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者．现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示．‎ ‎（1）分别求第3，4，5组的频率．‎ ‎（2）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加广场宣传活动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？‎ ‎（3）在（2）的条件下，我市决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率．‎ ‎【答案】(1) 第3组的频率为0．3，第4组的频率为0．2，第5组的频率为0．1;(2) 从第3，4，5组中分别抽取3人，2人，1人;(3) 第4组至少有一名志愿者被抽中的概率为.‎ ‎（3）记第3组的3名志愿者为A1，A2，A3，第4组的2名志愿者为B1，B2，第5组的1名志愿者为C1．‎ 则从6名志愿者中抽取2名志愿者有：‎ ‎（A1,A2）, （A1,A3）,（A1,B1）,（A1,B2）,（A1,C1）,（A2,A3）,（A2,B1）,（A2,B2）,（A2,C1）,（A3,B1）,（A3,B2）,‎ ‎（A3,C1）,（B1,B2）,（B1,C1）,（B2,C1），共有15种．‎ 其中第4组的2名志愿者B1,B2至少有一名志愿者被抽中的有：‎ ‎（A1,B1）, （A1,B2）, （A2,B1）, （A2,B2）, （A3,B1）, （A3,B2）, （B1,B2）, （B1,C1）, （B2,C1），共有9种．‎ 所以第4组至少有一名志愿者被抽中的概率为．‎ ‎9.【2018届四川省南充高级中学高三9月检测】某中学在高二年级开设大学选修课程《线性代数》，共有名同学选修，其中男同学名，女同学名.为了对这门课程的教学效果进行评估，学校按性别采取分层抽样的方法抽取人进行考核.‎ ‎（1）求抽取的人中男、女同学的人数；‎ ‎（2）考核前，评估小组打算从选出的中随机选出名同学进行访谈，求选出的两名同学中恰有一名女同学的概率；‎ ‎（3）考核分答辩和笔试两项. 位同学的笔试成绩分别为；结合答辩情况，他们的考核成绩分别为.这位同学笔试成绩与考核成绩的方差分别记为，试比较和的大小.（只需写出结论）‎ ‎【答案】（1）3， 2 （2） （3）‎ ‎ 10.【2017届山西省三区八校二模】山西某公司有一批专业技术人员，对他们进行年龄状况和接受教育程度（本科学历）的调查，其结果（人数分布）如表：‎ 学历 ‎35岁以下 ‎3550岁 ‎50岁以上 本科 ‎80‎ ‎30‎ ‎20‎ 研究生 ‎20‎ ‎（Ⅰ）用分层抽样的方法在岁年龄段的专业技术人员中抽取一个容量为10的样本，将该样本看成一个总体，从中任取3人，求至少有1人的学历为研究生的概率；‎ ‎（Ⅱ）在这个公司的专业技术人员中按年龄状况用分层抽样的方法抽取个人，其中35岁以下48人，50岁以上10人，再从这个人中随机抽取出1人，此人的年龄为50岁以上的概率为，求、的值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ），.‎