【数学】2019届一轮复习人教A版（理科）第26讲平面向量的数量积与平面向量应用举例学案
第26讲 平面向量的数量积与平面向量应用举例
考试说明 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.
2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.
3.掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算.
4.能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.
5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.
6.会用向量方法解决简单的力 问题与其他一些实际问题.
考情分析
考点
考查方向
考例
考查热度
平面向量的数量积
求向量的数量积、夹角、模等相关问题
2017全国卷Ⅰ13,2017全国卷Ⅱ12,2016全国卷Ⅰ13,2016全国卷Ⅲ3,2014全国卷Ⅰ15,2014全国卷Ⅱ3,2013全国卷Ⅱ13
★★★
平面向量垂直的条件
判断垂直、根据垂直求参数值等
2016全国卷Ⅱ3,2013全国卷Ⅰ13
★★☆
平面向量的综合应用
在三角函数、解析几何中的应用等
★☆☆
真题再现
■ [2017-2013 课标全国真题再现
1.[2017·全国卷Ⅱ 已知△ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则·(+)的最小值是 ( )
A.-2 B.-
C.- D.-1
[解析 B 建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,0),B(2,0),C(1,).设P(x,y),则·(+)=(-x,-y)·[(2-x,-y)+(1-x,-y) =(x,y)·(2x-3,2y-)=x(2x-3)+y(2y-)=2x2-3x+2y2-y=2+2-≥-,当且仅当x=,y=时,等号成立,点在平面ABC内部,此时·(+)取得最小值,最小值为-.
2.[2016·全国卷Ⅱ 已知向量a=(1,m),b=(3,-2),且(a+b)⊥b,则m= ( )
A.-8 B.-6
C.6 D.8
[解析 D a+b=(4,m-2),∵(a+b)⊥b,∴(a+b)·b=12-2(m-2)=0,解得m=8.
3.[2016·全国卷Ⅲ 已知向量=,,=,,则∠ABC= ( )
A.30° B.45°
C.60° D.120°
[解析 A cos∠ABC==×+×=,又∠ABC∈[0°,180° ,∴∠ABC=30°.
4.[2014·全国卷Ⅱ 设向量a,b满足|a+b|=,|a-b|=,则a·b= ( )
A.1 B.2
C.3 D.5
[解析 A 由已知得|a+b|2=10,|a-b|2=6,两式相减,得4a·b=4,所以a·b=1.
5.[2017·全国卷Ⅰ 已知向量a,b的夹角为60°,|a|=2,|b|=1,则|a+2b|= .
[答案 2
[解析 |a+2b|===2.
6.[2016·全国卷Ⅰ 设向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则m= .
[答案 -2
[解析 由已知条件,得a·b=0,即m+2=0,即m=-2.
7.[2013·全国卷Ⅰ 已知两个单位向量a,b的夹角为60°,c=ta+(1-t)b,若b·c=0,则t= .
[答案 2
[解析 因为|a|=|b|=1,a·b=,所以b·c=b·[ta+(1-t)b =t+1-t=0,所以t=2.
8.[2013·全国卷Ⅱ 已知正方形ABCD的边长为2,E为CD的中点,则·= .
[答案 2
[解析 如图,建立直角坐标系,则=(1,2),=(-2,2),·=2.
■ [2017-2016 其他省份类似高考真题
1.[2016·山东卷 已知非零向量m,n满足4|m|=3|n|,cos
=,若n⊥(tm+n),则实数t的值为( )
A.4 B.-4
C. D.-
[解析 B 由4|m|=3|n|,可设|m|=3,|n|=4.
又∵n⊥(tm+n),cos=,
∴n·(tm+n)=0,即t×4×3×+16=0,解得t=-4.
2.[2016·天津卷 已知△ABC是边长为1的等边三角形,点D,E分别是边AB,BC的中点,连接DE并延长到点F,使得DE=2EF,则·的值为 ( )
A.- B.
C. D.
[解析 B ∵=-,=+=+=+,∴·=(-)·+=×1×1×-+-×1×1×=+--=.
3.[2017·天津卷 在△ABC中,∠A=60°,AB=3,AC=2.若=2,=λ-(λ∈R),且·=-4,则λ的值为 .
[答案
[解析 ∵·=3×2×cos 60°=3,=+,∴·=+·(λ-)=×3+×4-×9-×3=-4,解得λ=.
4.[2017·山东卷 已知e1,e2是互相垂直的单位向量,若e1-e2与e1+λe2的夹角为60°,则实数λ的值是 .
[答案
[解析 由题意不妨取e1=(1,0),e2=(0,1),由条件可设a=e1-e2=(,-1),b=e1+λe2=(1,λ),所以cos=cos 60°==,所以-λ=,解得λ=.
5.[2016·浙江卷 已知向量a,b,|a|=1,|b|=2.若对任意单位向量e,均有|a·e|+|b·e|≤,则a·b的最大值是 .
[答案
[解析 由|(a+b)·e|≤|a·e|+|b·e|≤,得|a+b|≤,即|a|2+|b|2+2a·b≤6,所以a·b≤,故a·b的最大值为.
【课前双基巩固】
知识聚焦
1.(1)|a||b|cos θ |a||b|cos θ 0 0·a=0 (2)①|a|cos θ(|b|cos θ) ②b在a的方向上的投影|b|cos θ (3)非零 a⊥b
2.①a·b=b·a ②λ(a·b) a·(λb) ③a·c+b·c
3.①|a|cos θ ②a·b=0 ③|a||b| -|a||b| |a|2 ④ ⑤≤
4. x1x2+y1y2 x1x2+y1y2=0
对点演练
1.-6 [解析 ∵a-b=(-2,2),∴a·(a-b)=-2×1+2×(-2)=-6.
2.60° [解析 设向量a与b的夹角为θ.由a·b=cos θ=×cos θ=,得cos θ=,又θ∈[0°,180° ,∴向量a与b的夹角为60°.
3.2 [解析 |2a-b|====2.
4. [解析 由单位向量e1,e2的夹角为45°,得e1·e2=1×1×cos 45°=.由e1⊥(λe2-e1)可得e1·(λe2-e1)=0,即λe1·e2-=0,则λ-1=0,解得λ=.
5.北偏西30° [解析 如图所示,设渡船速度为,水流速度为,渡船实际垂直过江的速度为.依题意知=12.5,||=25.∵=+,∴·=·+.又∵⊥,∴·=25×12.5cos(∠BOD+90°)+12.52=0,∴∠BOD=30°,∴渡船的航向为北偏西30°.
6.- [解析 依题意有a·b+b·c+c·a=1×1×cos 120°+1×1×cos 120°+1×1×cos 120°=++=-.本题在计算时,容易把向量夹角取作60°而致误.
7. [解析 因为点C(-1,0),D(4,5),所以=(5,5),又=(2,1),所以向量在方向上的投影为||cos<,>===.
8.菱形 [解析 由四边形ABCD满足+=0知,四边形ABCD为平行四边形,又(-)·=0,即·=0,可知该平行四边形的对角线互相垂直,故该四边形一定是菱形.
【课堂考点探究】
例1 [思路点拨 (1)利用向量的数量积公式建立关于x的方程求解;(2)根据条件以正三角形的边BC所在直线为x轴,垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系,然后写出相关点的坐标,确定出向量,的坐标,最后利用向量的数量积公式求解.
(1)3 (2)- [解析 (1)因为a·b=6-x=3,所以x=3.
(2)由题意建立如图所示的平面直角坐标系.因为△ABC的边长为1,所以A0,,B-,0.因为=2,所以点D为BC的中点,则D(0,0).因为=2,所以点E为AC的三等分点,则E,,所以·=0,-·,=-×=-.
变式题 (1)A (2)- [解析 (1)因为菱形ABCD的边长为2,∠B=,所以·=2×2cos=2,所以·=(+)·(-)=(+)·(--)=(+)·[(λ-1)- =(1-λ)||2-·+(1-λ)·-||2=(1-λ)×4-2+2(1-λ)-4=-6λ=-3,所以λ=,故选A.
(2)由题意可得|a-b|====7,∴a·b=-.
例2 [思路点拨 (1)首先利用向量平行的条件求得参数m的值,然后利用模的坐标公式求解;(2)由||2=(λ+μ)2建立||2关于λ的函数,求其最值即可.
(1)D (2)D [解析 (1)∵a∥b,∴m+6=0,解得m=-6,则b=(2,-6),∴a-2b=(-3,9),∴|a-2b|==3,故选D.
(2)||2=(λ+μ)2=[λ+(1-λ) 2=4λ2+4(1-λ)2+2λ(1-λ)·,∵·=2,∴||2=4λ2+4(1-λ)2+2λ(1-λ)·2=4λ2-4λ+4=4λ-2+3,当λ=时,||取得最小值.
例3 [思路点拨 (1)求出a+b,然后通过向量的数量积求解即可;(2)先求出a+b,再利用向量垂直的条件列出关于m的方程求解;(3)由已知可得<,>=60°,再求出·,·,·的值,结合平面向量的运算法则及·=0求得λ的值.
(1)C (2)B (3) [解析 (1)向量a=(2,-1),b=(1,7),则a+b=(3,6).∵a·(a+b)=6-6=0,∴a⊥(a+b).故选C.
(2)由题意可得a+b=(7,m-2),结合向量垂直的充要条件得7×2+(m-2)×(-2)=0,解得m=9.故选B.
(3)由AB=4,BC=CD=2,可得<,>=60°,则·=4×2×=4,·=4×2×=-4,·=2×2×=2.∵==λ,∴=λ,=λ,则=+=+λ,=-=λ-,∴·=(+λ)·(λ-)=λ||2-·+λ2·-λ·=0,即16λ-4-4λ2-2λ=0,∴2λ2-7λ+2=0,解得λ=(舍)或λ=.
例4 [思路点拨 (1)利用两个向量的数量积的定义和两个向量坐标形式的运算法则,求得cos θ=的值,进而可得θ的值.(2)利用两个向量的数量积的定义和两个向量的数量积公式,求得m的值.(3)根据题意利用夹角公式列出关于m的方程求解.
(1)B (2) (3)3 [解析 (1)设a与a+b的夹角为θ.∵向量a=(1,0),b=-,,∴a+b=,,∴a·(a+b)=(1,0)·,=,则cos θ===,由θ∈[0,π 可得θ=,故选B.
(2)∵a=(m,3),b=(,1),向量a,b的夹角为30°,∴a·b=m+3=×2cos 30°,解得m=.
(3)依题意有c=(m+6,2m+3),根据夹角公式有=,解得m=3.
强化演练
1.C [解析 由题意得|a-b|===,故选C.
2.B [解析 cos===,又∈[0,π ,所以a与b的夹角为,故选B.
3.- [解析 因为|a|=1,|b|=2,a+b=(1,),所以(a+b)2=1+4+2×1×2cos θ=4⇒cos θ=-,则sin θ=,所以tan θ=-.
4.-1 [解析 ∵=λ+,⊥,∴·=(λ+)·=λ·+=λ×2×1×cos 60°+1=λ+1=0,∴λ=-1.
5.5 [解析 以D为原点,DA,DC所在直线分别为x轴,y轴建立平面直角坐标系,如图所示.设CD=a,P(0,y),可得A(2,0),B(1,a),∴+3=(2,-y)+3(1,a-y)=(5,3a-4y),∴|+3|=,∴|+3|的最小值为5.
6.3 [解析 如图所示,由2++=0,得O为AB的中点,即AB为圆的直径,所以AB=2.由于CB=OC=AB,所以∠A=,AC=,所以·=··cos=3.
例5 [思路点拨 (1)由a⊥b可得a·b=(sin x,-)·(1,cos x)=sin x-cos x=0,从而可得tan x=,再根据二倍角公式可得结果;(2)由题可得f(x)=2sinx-,再
根据平移变换可得g(x)=2sin2x+,利用正弦函数的单调性解不等式即可得结果.
解:(1)∵a⊥b,∴a·b=(sin x,-)·(1,cos x)=sin x-cos x=0,∴tan x=,
∴tan 2x==-.
(2)由题可得f(x)=a·b=(sin x,-)·(1,cos x)=sin x-cos x=2sinx-,
则g(x)=2sin2x+.
令2 π-≤2x+≤2 π+ ( ∈ ),得 π-≤x≤ π+( ∈ ),
∴g(x)的单调递增区间为 π-, π+( ∈ ).
由2x+= π( ∈ )得x= π- ( ∈ ),即函数g(x)的图像的对称中心为 π-,0( ∈ ).
变式题 解:(1)(a+b)∥c⇒(sin x-1)-(cos x+1)=0,
∴sin x-cos x=2⇒2sin x-cos x=2⇒sinx-=1,
又x∈[0,π ,∴x-∈-,,
∴x-=⇒x=.
(2)a·b=-sin x+cos x=⇒2-sin x+cos x=,∴sinx+=,
又x∈[0,π ,∴x+∈,π,
∴cosx+=-,∴sinx+=sinx+-=-cosx+=.
【备选理由】与平面向量相关的最值问题是高考的热点,具有综合性强的特点,下面提供三道题可在适当考点中使用.
1 [配合例1使用 如图所示,AB=2,O为圆心,C为半圆上不同于A,B的任意一点,若P为半径OC上的动点,则(+)·的最小值为 ( )
A.- B.-2
C.-1 D.-
[解析 A 因为O为AB的中点,所以+=2,则(+)·=2·=-2||·||=-2||·(1-||)=2||2-2||=2||-2-,当=时,(+)·取得最小值-,故选A.
2 [配合例2使用 [2017·石家庄二中三模 已知G为△ABC 所在平面上一点,且++=0,∠A=60°,·=2,则的最小值为 .
[答案
[解析 由题意得点G 为△ABC的重心,则= (+),∴= (++2·)= (++4).∵·=||·||cos 60°=2,∴||·||=4,∴≥ (2||·||+4)=,当且仅当||=||=2时,等号成立,∴||≥,即||的最小值为.
3 [配合例4使用 [2017·湖州调研 已知a,b,e是同一平面内的三个向量,且=1,a⊥b,a·e=2,b·e=1,当|a-b|取得最小值时,a与e夹角的正切值为 ( )
A. B.
C.1 D.
[解析 D 根据题意,分别以a,b为x轴,y轴建立平面直角坐标系,设e与a的夹角为θ,θ为锐角,则e与b的夹角为-θ.∵|e|=1,a⊥b,a·e=2,b·e=1,∴|a|·cos θ=2,|b|·cos-θ=|b|·sin θ=1,∴|a|=,|b|=,∴|a-b|2=|a|2-2a·b+|b|2 =+=+(sin2θ+cos2θ)=5++≥5+2=9,当且仅当2sin2θ=cos2θ,即tan θ=时等号成立,此时|a-b|取得最小值3,且a与e夹角的正切值为,故选D.
