浙江省2021届高考数学一轮复习第一章集合常用逻辑用语第2节命题及其关系充分条件与必要条件课件

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浙江省2021届高考数学一轮复习第一章集合常用逻辑用语第2节命题及其关系充分条件与必要条件课件

第 2 节 命题及其关系、充分条件与必要条件 考试要求  1. 了解命题的概念,了解 “ 若 p ,则 q ” 形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题,了解四种命题的相互关系; 2. 理解必要条件、充分条件与充要条件的意义,能判断并证明命题成立的充分条件、必要条件、充要条件 . 知 识 梳 理 1 . 命题 用语言、符号或式子表达的,可以 _________ 的陈述句叫做命题,其中 _________ 的语句叫做真命题, _________ 的语句叫做假命题 . 判断真假 判断为真 判断为假 2 . 四种命题及其相互关系 (1) 四种命题间的相互关系 (2) 四种命题的真假关系 ① 两个命题互为逆否命题,它们具有 ______ 的真假性 . ② 两个命题为互逆命题或互否命题时,它们的真假性 __________ . 若 q ,则 p 若 綈 p ,则 綈 q 若 綈 q ,则 綈 p 相同 没有关系 3 . 充分条件、必要条件与充要条件的概念 若 p ⇒ q ,则 p 是 q 的 ______ 条件 , q 是 p 的 ______ 条件   p 是 q 的 ____________ 条件 p ⇒ q 且 q p p 是 q 的 ____________ 条件 p q 且 q ⇒ p p 是 q 的 ______ 条件 p ⇔ q p 是 q 的 ____________________ 条件 p q 且 q p 充分 必要 充分不必要 必要不充分 充要 既不充分也不必要 [ 常用结论与易错提醒 ] 若 A = { x | p ( x )} , B = { x | q ( x )} ,则 (1) 若 A ⊆ B ,则 p 是 q 的充分条件; (2) 若 A ⊇ B ,则 p 是 q 的必要条件; (3) 若 A = B ,则 p 是 q 的充要条件; (4) 若 A  B ,则 p 是 q 的充分不必要条件; (5) 若 A  B ,则 p 是 q 的必要不充分条件; (6) 若 A  B 且 A  B ,则 p 是 q 的既不充分又不必要条件 . 诊 断 自 测 1. 判断下列说法的正误 . (1) “ x 2 + 2 x - 3<0 ” 是命题 .(    ) (2) 命题 “ 若 p ,则 q ” 的否命题是 “ 若 p ,则 綈 q ”. (    ) (3) 当 q 是 p 的必要条件时, p 是 q 的充分条件 .(    ) (4) “ 若 p 不成立,则 q 不成立 ” 等价于 “ 若 q 成立,则 p 成立 ”. (    ) 解析  (1) 错误 . 该语句不能判断真假,故该说法是错误的 . (2) 错误 . 否命题既否定条件,又否定结论 . 答案  (1) ×   (2) ×   (3) √   (4) √ 答案  C 3. 命题 “ 若 a > - 3 ,则 a > - 6 ” 以及它的逆命题、否命题、逆否命题中假命题的个数为 (    ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析  原命题正确,从而其逆否命题也正确;其逆命题为 “ 若 a > - 6 ,则 a > - 3 ” 是假命题,从而其否命题也是假命题 . 因此四个命题中有 2 个假命题 . 答案  B 4. (2020· 杭州质检 ) 设 x ∈ R ,则 “ x > 2 ” 是 “ | x | > 2 ” 的 (    ) A. 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C. 充要条件 D . 既不充分也不必要条件 解析  由 | x | > 2 得 x > 2 或 x <- 2 ,所以 “ x > 2 ” 是 “ | x | > 2 ” 的充分不必要条件,故选 A. 答案   A 答案 - 1 ,- 2( 答案不唯一 ) 6. 已知命题 p : “ 若 a 2 = b 2 ,则 a = b ” ,则命题 p 的否命题为 ________ ,该否命题是一个 ________ 命题 ( 填 “ 真 ” , “ 假 ” ). 解析  由否命题的定义可知命题 p 的否命题为 “ 若 a 2 ≠ b 2 ,则 a ≠ b ”. 由于命题 p 的逆命题 “ 若 a = b ,则 a 2 = b 2 ” 是一个真命题, ∴ 否命题是一个真命题 . 答案   “ 若 a 2 ≠ b 2 ,则 a ≠ b ”  真 考点一 四种命题的关系及其真假判断 【例 1 】 (1) 命题 “ 若 x 2 - 3 x - 4 = 0 ,则 x = 4 ” 的逆否命题及其真假性为 (    ) A. “ 若 x = 4 ,则 x 2 - 3 x - 4 = 0 ” 为真命题 B. “ 若 x ≠ 4 ,则 x 2 - 3 x - 4 ≠ 0 ” 为真命题 C. “ 若 x ≠ 4 ,则 x 2 - 3 x - 4 ≠ 0 ” 为假命题 D. “ 若 x = 4 ,则 x 2 - 3 x - 4 = 0 ” 为假命题 (2) 原命题为 “ 若 z 1 , z 2 互为共轭复数,则 | z 1 | = | z 2 | ” ,关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下,正确的是 (    ) A. 真、假、真 B . 假、假、真 C. 真、真、假 D . 假、假、假 解析  (1) 根据逆否命题的定义可以排除 A , D ;由 x 2 - 3 x - 4 = 0 ,得 x = 4 或- 1 ,所以原命题为假命题,所以其逆否命题也是假命题 . (2) 由共轭复数的性质, | z 1 | = | z 2 | , ∴ 原命题为真,因此其逆否命题为真;取 z 1 = 1 , z 2 = i ,满足 | z 1 | = | z 2 | ,但是 z 1 , z 2 不互为共轭复数, ∴ 其逆命题为假,故其否命题也为假 . 答案  (1)C   (2)B 规律方法   (1) 由原命题写出其他三种命题,关键要分清原命题的条件和结论,如果命题不是 “ 若 p ,则 q ” 的形式,应先改写成 “ 若 p ,则 q ” 的形式;如果命题有大前提,写其他三种命题时需保留大前提不变 . (2) 判断一个命题为真命题,要给出推理证明;判断一个命题为假命题,只需举出反例 . (3) 根据 “ 原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假 ” 这一性质,当一个命题直接判断不易进行时,可转化为判断其等价命题的真假 . 【训练 1 】 (1) 已知:命题 “ 若函数 f ( x ) = e x - mx 在 (0 ,+ ∞ ) 上是增函数,则 m ≤ 1 ” ,则下列结论正确的是 (    ) A. 否命题是 “ 若函数 f ( x ) = e x - mx 在 (0 ,+ ∞ ) 上是减函数,则 m > 1 ” ,是真命题 B. 逆命题是 “ 若 m ≤ 1 ,则函数 f ( x ) = e x - mx 在 (0 ,+ ∞ ) 上是增函数 ” ,是假命题 C. 逆否命题是 “ 若 m > 1 ,则函数 f ( x ) = e x - mx 在 (0 ,+ ∞ ) 上是减函数 ” ,是真命题 D. 逆否命题是 “ 若 m > 1 ,则函数 f ( x ) = e x - mx 在 (0 ,+ ∞ ) 上不是增函数 ” ,是真命题 (2) (2018· 北京卷 ) 能说明 “ 若 f ( x )> f (0) 对任意的 x ∈ (0 , 2] 都成立,则 f ( x ) 在 [0 , 2] 上是增函数 ” 为假命题的一个函数是 ________. 解析  (1) 由 f ( x ) = e x - mx 在 (0 ,+ ∞ ) 上是增函数,则 f ′( x ) = e x - m ≥ 0 恒成立, ∴ m ≤ 1. 因此原命题是真命题,所以其逆否命题 “ 若 m > 1 ,则函数 f ( x ) = e x - mx 在 (0 ,+ ∞ ) 上不是增函数 ” 是真命题 . (2) 这是一道开放性试题,答案不唯一,只要满足 f ( x )> f (0) 对任意 x ∈ (0 , 2] 都成立 ,且函数 f ( x ) 在 [0 , 2] 上不是增函数即可 . 如 f ( x ) = sin x ,答案不唯一 . 答案  (1)D   (2) f ( x ) = sin x ( 答案不唯一 ) 答案  (1)D   (2)B 规律方法  充要条件的三种判断方法 (1) 定义法:根据 p ⇒ q , q ⇒ p 进行判断 . (2) 集合法:根据使 p , q 成立的对象构成的集合之间的包含关系进行判断 . (3) 等价转化法:根据一个命题与其逆否命题的等价性,把判断的命题转化为其逆否命题进行判断 . 这个方法特别适合以否定形式给出的问题,如 “ xy ≠ 1 ” 是 “ x ≠ 1 或 y ≠ 1 ” 的何种条件,即可转化为判断 “ x = 1 且 y = 1 ” 是 “ xy = 1 ” 的何种条件 . 【训练 2 】 (1) (2018· 北京卷 ) 设 a , b 均为单位向量,则 “ | a - 3 b | = |3 a + b | ” 是 “ a ⊥ b ” 的 (    ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 (2) (2019· 浙江教育绿色评价联盟三联 ) 已知 x , y 为实数,则 “ xy ≥ 0 ” 是 “ | x + y | ≥ | x - y | ” 的 (    ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分且必要件条 D. 既不充分也不必要条件 解析  (1) ∵ | a - 3 b | = |3 a + b | , ∴ ( a - 3 b ) 2 = (3 a + b ) 2 , ∴ a 2 - 6 a · b + 9 b 2 = 9 a 2 + 6 a · b + b 2 ,又 ∵ | a | = | b | = 1 , ∴ a · b = 0 , ∴ a ⊥ b ;反之也成立 . 故选 C. (2) 由不等式的性质,知 | x + y | ≥ | x - y | ⇔ ( x + y ) 2 ≥ ( x - y ) 2 ⇔ xy ≥ 0 ,则 “ xy ≥ 0 ” 是 “ | x + y | ≥ | x - y | ” 的充分且必要条件 . 故选 C. 答案  (1)C   (2)C 考点三 充分条件、必要条件的应用 【例 3 】 ( 经典母题 ) 已知 P = { x | x 2 - 8 x - 20 ≤ 0} ,非空集合 S = { x |1 - m ≤ x ≤ 1 + m }. 若 “ x ∈ P ” 是 “ x ∈ S ” 的必要条件,求 m 的取值范围 . 解  由 x 2 - 8 x - 20 ≤ 0 ,得- 2 ≤ x ≤ 10 , ∴ P = { x | - 2 ≤ x ≤ 10}. ∵“ x ∈ P ” 是 “ x ∈ S ” 的必要条件,则 S ⊆ P . 变式迁移 又 ∵ S 为非空集合, ∴ 1 - m ≤ 1 + m ,解得 m ≥ 0 , 综上,可知当 0 ≤ m ≤ 3 时, “ x ∈ P ” 是 “ x ∈ S ” 的必要条件 . 【变式迁移 1 】 本例条件不变,问是否存在实数 m ,使 “ x ∈ P ” 是 “ x ∈ S ” 的充要条件? 解  由例题知 P = { x | - 2 ≤ x ≤ 10}. 若 “ x ∈ P ” 是 “ x ∈ S ” 的充要条件,则 P = S , 这样的 m 不存在 . 【变式迁移 2 】 本例条件不变,若 “ x ∈ P ” 是 “ x ∈ S ” 的充分不必要条件,求实数 m 的取值范围 . 解 由例题知 P = { x | - 2 ≤ x ≤ 10}. ∵“ x ∈ P ” 是 “ x ∈ S ” 的充分不必要条件 , ∴ P  S . ∴ [ - 2 , 10]  [1 - m , 1 + m ]. ∴ m ≥ 9 ,则 m 的取值范围是 [9 ,+ ∞ ). 规律方法  充分条件、必要条件的应用,一般表现在参数问题的求解上 . 解题时需注意: (1) 把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式 ( 或不等式组 ) 求解; (2) 要注意区间端点值的检验 . 【训练 3 】 ax 2 + 2 x + 1 = 0 只有负实根的充要条件是 ________. 当 a ≠ 0 时,原方程为一元二次方程, 又 ax 2 + 2 x + 1 = 0 只有负实根, 综上,方程只有负根的充要条件是 0 ≤ a ≤ 1. 答案  0 ≤ a ≤ 1
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