河北省衡水市深州市长江中学2020届高三上学期12月月考数学（文）试题

河北省衡水市深州市长江中学2020届高三上学期12月月考数学（文）试题

河北深州市长江中学2019-2020高三上学期12月月考 数 学（文科）‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1.已知集合A={x|x<1}，B={x|}，则 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎∵集合 ‎∴‎ ‎∵集合 ‎∴，‎ 故选A ‎2.若函数f(x)＝为奇函数，则a等于(　　)‎ A. 1 B. ‎2 ‎C. D. －‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由于函数为奇函数，则，化简后可求得的值.‎ ‎【详解】依题意得，由于函数为奇函数，故，即，对比可得，故选.‎ ‎【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性，考查利用函数的奇偶性来求参数即求函数的解析式.‎ 在利用奇偶性来解题时，主要把握的是，或者.属于基础题.‎ ‎3.若x∈（0，1），a＝lnx，b＝，c＝elnx，则a，b，c的大小关系为（　　）‎ A. b＞c＞a B. c＞b＞a C. a＞b＞c D. b＞a＞c ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用指数函数、对数函数的单调性直接求解．‎ ‎【详解】∵x∈（0，1），‎ ‎∴a＝lnx＜0，‎ b＝（）lnx＞（）0＝1，‎ ‎0＜c＝elnx＜e0＝1，‎ ‎∴a，b，c的大小关系为b＞c＞a．‎ 故选A．‎ ‎【点睛】本题考查三个数的大小的判断，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．‎ ‎4.设函数，若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数为奇函数求出，再求导，求函数值，由点斜式写出切线方程．‎ ‎【详解】∵函数为奇函数，‎ ‎∴，所以函数，可得，；‎ 曲线在点处的切线的斜率为：，‎ 则曲线在点处的切线的方程为，即.‎ 故选：A ‎【点睛】本题主要考查奇函数的性质、利用函数的导数求切线方程，属于基础题．‎ ‎5.正三角形中，是线段上的点，，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先用，表示出，再计算即可.‎ ‎【详解】先用，表示出，再计算数量积．‎ 因为，，则，‎ 所以.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的运算，属基础题.‎ ‎6.在下列给出的四个结论中，正确的结论是 A. 已知函数在区间内有零点，则 B. 若，则是与的等比中项 C. 若是不共线的向量，且，则∥‎ D. 已知角终边经过点，则 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ A.运用举反例判定；‎ B.计算可知错误；‎ C.由题可得故C正确；‎ D. 计算可知错误.‎ ‎【详解】A. 因为函数f（x）在区间（a，b）内有零点，‎ 可取函数f（x）=x2-2x-3，x∈（-2，4），则f（-2）•f（4）＞0，所以错； B.若， 即是是与的等比中项，故B错；‎ C. 若是不共线的向量，且 故∥，即C正确；‎ D.已知角终边经过点，则，故D错误.‎ ‎【点睛】本题考查命题的真假判断，解题时注意运用举反例这一重要数学方法，可快速解决．本题是一道基础题．‎ ‎7.将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，则下列说法不正确的是　　‎ A. B. 在区间上是增函数 C. 是图象的一条对称轴 D. 是图象的一个对称中心 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】分析：利用三角函数的图象平移求得，然后逐一分析四个选项得答案．‎ 详解：把函数的图像向平左移个单位， 得到函数图象的解析式 ‎ 故A正确； 当时，在区间是增函数，故B正确；‎ 是图象的一条对称轴，故C正确； ，∴不是图像的一个对称中心，故D错误． 故选D．‎ 点睛：本题考查 型函数的图象和性质，是基础题．‎ ‎8.在中，内角，，所对边分别是，，，若，且，则角的大小（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用正弦定理由求出角，再利用余弦定理由求出角，由三角形内角和为即可求得角.‎ ‎【详解】由正弦定理得 得，所以．‎ 又，得．所以．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，属常规考题.‎ ‎9.已知函数在上单调递增函数，则实数的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出函数的导数，由函数上单调递增函数得，得，从而求出的范围．‎ ‎【详解】，由题意可得在上恒成立，‎ 所以，解得.故的取值范围为，‎ 故选：D ‎【点睛】本题主要考查利用函数的导数研究函数的单调性，属于基础题．‎ ‎10.设为等差数列的前项的和，，则数列的前2017项和为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 设等差数列 的公差为 ，‎ ‎ , ，则数列 的前 项和为 ‎ ，故选A.‎ ‎【方法点晴】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，掌握一些常见的裂项技巧：①；②‎ ‎；③；‎ ‎④；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.‎ ‎11.已知函数，若对任意的正数，满足，则的最小值为（ ）‎ A. 6 B. ‎8 ‎C. 12 D. 24‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先确定函数奇偶性与单调性，再根据奇偶性与单调性化简方程得，最后根据基本不等式求最值.‎ ‎【详解】因为所以定义域为，‎ 因为，所以为减函数 因为，,所以为奇函数，‎ 因为，所以，即，‎ 所以，‎ 因为，‎ 所以（当且仅当，时，等号成立），选C.‎ ‎【点睛】本题考查函数奇偶性与单调性以及基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属中档题.‎ ‎12.已知函数，若对于，，使得，则的最大值为（　　）‎ A. e B. 1-e C. 1 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 不妨设f()=g()＝a，从而可得的表达式，求导确定函数的单调性，再求最小值即可．‎ ‎【详解】不妨设f()=g()＝a，‎ ‎∴＝a，‎ ‎∴＝ln(a+e)，＝，‎ 故＝ln(a+e)-，（a＞-e）‎ 令h（a）＝ln(a+e)-，‎ h′（a），‎ 易知h′（a）在（-e，+∞）上是减函数，‎ 且h′（0）＝0，‎ 故h（a）在a处有最大值，‎ 即的最大值为；‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题考查了函数的性质应用及导数的综合应用，考查了指对互化的运算，属于中档题．‎ 二、填空题（本题共4道小题，每题5分,共20分,其中第16题第一空2分,第二空3分,请将正确的答案填在横线上)‎ ‎13.已知，则______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题主要考查诱导公式的应用，属基础题.‎ ‎14.已知向量夹角，且，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：夹角，，，，.‎ 考点：向量的运算.‎ ‎【思路点晴】平面向量的数量积计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用. 利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．列出方程组求解未知数.‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎15.若曲线与曲线在上存在公共点，则 的取值范围为 ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：根据题意，函数与函数在上有公共点，令得：‎ 设则 由得：‎ 当时，，函数在区间上是减函数，‎ 当时，，函数在区间上是增函数，‎ 所以当时，函数在上有最小值 所以．‎ 考点：求参数的取值范围．‎ ‎16.将正整数分解成两个正整数的乘积有，，三种，其中是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称为的最佳分解．当（且、）是正整数的最佳分解时我们定义函数，例如．则的值为______，数列的前项的和为______．‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，即可求得的值；对于数列，分为奇数、偶数两种情况讨论求出通项公式，再利用公式法求和即可.‎ ‎【详解】，可得；‎ 当为偶数时，‎ 当为奇数时，‎ ‎.‎ 故答案为：；.‎ ‎【点睛】本题主要考查自定义概念的理解及数列的求和问题，属常规考题，难度中等.‎ 三、解答题 （第17题10分，第18题至22题每题12分，共计70分）‎ ‎17.已知数列满足，‎ ‎（1）证明是等比数列，‎ ‎（2）求数列的前项和 ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用定义法证明是一个与n无关的非零常数，从而得出结论；‎ ‎（2）由（1）求出，利用分组求和法求．‎ ‎【详解】（1）由得，所以，‎ 所以是首项为，公比为的等比数列,，所以，‎ ‎（2）由（1）知的通项公式为；则 所以 ‎【点睛】本题主要考查等比数列的证明以及分组求和法，属于基础题．‎ ‎18.在中，的对边分别为，已知．‎ ‎（1）求值；‎ ‎（2）若的面积为，，求的值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据二倍角和诱导公式可得的值；（2）根据面积公式求，然后利用余弦定理求，最后根据正弦定理求的值.‎ ‎【详解】（1）,‎ ‎，‎ 所以原式整理为,‎ 解得：（舍）或 ‎ ‎,‎ ‎;‎ ‎（2），‎ 解得，‎ 根据余弦定理,‎ ‎,‎ ‎，‎ 代入解得：,‎ ‎.‎ 点睛】本题考查了根据正余弦定理解三角形，属于简单题.‎ ‎19.如图所示，在平面直角坐标系中，锐角、的终边分别与单位圆交于，‎ 两点，点.‎ ‎（1）若点，求的值：‎ ‎（2）若，求.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据计算，，代入公式得到答案.‎ ‎（2）根据,得到，根据计算得到答案.‎ ‎【详解】解：（1）因为是锐角，且，在单位圆上，‎ 所以，，，‎ ‎∴‎ ‎（2）因为，所以，‎ 且，所以，，可得：，‎ 且，‎ 所以，‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查了三角函数的计算，意在考查学生对于三角函数定义的理解和应用.‎ ‎20.已知数列的前项和为，点在直线上，‎ ‎(1)求通项公式；‎ ‎(2)若，求数列的前项和．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎⑴由点在直线上代入得到的关系，然后求出通项公式 ‎⑵由（1）得，运用错位相减法求出前项和 ‎【详解】(1)点在直线上，，‎ ‎ . ‎ 当时， 则， ‎ 当时，,‎ ‎ ‎ 两式相减，得, ‎ 所以. ‎ 所以是以首项为，公比为等比数列，所以. ‎ ‎(2), ‎ ‎ ,‎ ‎ , ‎ 两式相减得:, ‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题主要考查了数列的递推公式的运用，错位相减求和的运用，解题的关键是理解各个概念以及掌握求和的基本步骤．‎ ‎21.如图，有一块边长为 (百米)的正方形区域.在点处有一个可转动的探照灯，其照射角始终为 (其中点，分别在边，上)，设 (百米)．‎ ‎（1）用表示出的长度，并探求的周长是否为定值；‎ ‎（2）设探照灯照射在正方形内部区域的面积为 (平方百米)，求S的最大值．‎ ‎【答案】（1），为定值；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出，设，表示出和，由勾股定理即可求出，再求出周长，即可判断是否为定值；‎ ‎（2）由求出面积S，由基本不等式即可求出面积的最大值．‎ ‎【详解】（1）由，得，，设，则，‎ ‎，，‎ ‎，是定值；‎ ‎（2），‎ 由于，则，当且仅当，即时等号成立，‎ 故探照灯照射在正方形内部区域的面积最大为平方百米．‎ ‎【点睛】本题考查三角函数知识的运用，考查和角公式的运用，考查面积的最值，考查基本不等式求最值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．‎ ‎22.已知函数在处取得极值．‎ ‎(1)求实数a的值；‎ ‎(2)若关于x的方程在区间上恰有两个不同的实数根，求实数b的取值范围．‎ ‎【答案】(1)；(2)．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）函数，对其进行求导，在处取得极值，可得，求得值； （Ⅱ）由知，得令 则关于的方程在区间上恰有两个不同的实数根，转化为上恰有两个不同实数根，对对进行求导，从而求出的范围；‎ ‎【详解】（Ⅰ）时，取得极值，‎ 故解得.经检验符合题意．‎ ‎（Ⅱ）由知，得 ‎ 令 ‎ 则在上恰有两个不同的实数根，‎ ‎ 等价于上恰有两个不同实数根.‎ ‎ ‎ ‎ 当时，，于是上单调递增；‎ ‎ 当时，，于是在上单调递增；‎ ‎ 依题意有 .‎ ‎【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值及单调性以及方程 的实数根问题，解题过程中用到了分类讨论的思想，分类讨论的思想也是高考的一个重要思想，要注意体会其在解题中的运用，属中档题．‎