天津市六校2020届高三上学期期末联考数学试题

天津市六校2020届高三上学期期末联考数学试题

‎2019～2020学年度第一学期期末六校联考 高三数学 ‎ ‎ 一、选择题：共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．设集合，则（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎2．“”是“”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎3．过点作圆的切线，则的方程为（ ）‎ A． B．或 C． D．或 ‎4．已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，，则的值是（ ）‎ A．1 B． C． D．‎ ‎5．设正实数分别满足，则的大小关系为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．已知函数，则下列说法中，正确的是（ ）‎ A．的最小值为；‎ B．在区间上单调递增；‎ C．的图像关于点对称 D．将的纵坐标保持不变，横坐标缩短为原来的，可得到.‎ y x O B F C A ‎7．抛物线的焦点与双曲线的右焦点F重合，且相交于两点，直线AF交抛物线与另一点C，且与双曲线的一条渐近线平行，若，则双曲线的离心率为（ ）‎ A．‎ B．‎ C．2‎ D．3‎ ‎8．设函数在上可导，，有且；对，有恒成立，则的解集为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎9．在四边形中，，，，，，点在线段的延长线上，且，点在边所在直线上，则的最大值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.‎ ‎10．复数，则 ▲ .‎ ‎11．曲线在点处的切线方程为 ▲ .‎ ‎12．在的二项展开式中，含项的系数是 ▲ .（用数字作答）‎ ‎13．已知六棱锥的七个顶点都在球的表面上，若，底面，且六边形是边长为的正六边形，则球的体积为 ▲ .‎ ‎14．若，则的最小值为 ▲ .‎ ‎15．已知定义在上的函数满足，且当时，，若函数在上有四个零点，则实数的取值范围为 ▲ .‎ 三、解答题：本大题共5个小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ‎16．（本小题满分14分）‎ 在中，内角所对的边分别为.已知，.‎ ‎（I）求的值；‎ ‎（II）求的值.‎ ‎17．（本小题满分15分）‎ 菱形中，平面，，，‎ ‎（Ⅰ）证明：直线平面；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的正弦值；‎ F E D C B A ‎（Ⅲ）线段上是否存在点使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求；若不存在，说明理由.‎ ‎18．（本小题满分14分）‎ 已知点分别是椭圆（）的左顶点和上顶点，为其右焦点，，且该椭圆的离心率为；‎ ‎（I）求椭圆的标准方程；‎ ‎（II）设点为椭圆上的一动点，且不与椭圆顶点重合，点为直线与轴的交点，线段的中垂线与轴交于点，若直线斜率为，直线的斜率为，且（为坐标原点），求直线的方程.‎ ‎19．（本小题满分16分）‎ 已知数列是公比大于1的等比数列，为数列的前项和,，且，，成等差数列．数列的前项和为，满足，且，‎ ‎（I）求数列和的通项公式；‎ ‎（II）令，求数列的前项和为；‎ ‎（III）将数列的项按照“当为奇数时，放在前面；当为偶数时，放在前面”的要求进行排列，得到一个新的数列：，求这个新数列的前项和．‎ ‎20．（本小题满分16分）‎ 已知，‎ ‎（Ⅰ）求在处的切线方程以及的单调性；‎ ‎（Ⅱ）对，有恒成立，求的最大整数解；‎ ‎（Ⅲ）令，若有两个零点分别为且为的唯一的极值点，求证：.‎ ‎2019～2020学年度第一学期期末六校联考 高三数学参考答案 一、选择题：共9小题，每小题5分，共45分.‎ ‎1—5：AACDB 6—9：BDCA 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.‎ ‎10．1 11． 12．70‎ ‎13． 14．4 15．‎ 三、解答题：本大题共5个小题，共75分.‎ ‎16．（本小题满分14分）‎ 解：‎ ‎（Ⅰ）由，及，得.（2分）‎ 由及余弦定理，得.‎ ‎（6分）‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ），可得，（7分）‎ 代入，得.（8分）‎ 由（Ⅰ）知，A为钝角，所以.（9分）‎ 于是，（10分）‎ ‎，（11分）故 ‎.‎ ‎（14分）‎ ‎17．（本小题满分15分）‎ F E D C B A x y z 解：建立以为原点，分别以，（为中点），的方向为轴，轴，轴正方向的空间直角坐标系（如图），（1分）‎ 则，，，‎ ‎，，.（2分）‎ ‎（Ⅰ）证明：，，‎ 设为平面的法向量，‎ 则，即，‎ 可得，（3分）‎ 又，可得，（4分）‎ 又因为直线平面，所以直线平面；（5分）‎ ‎（Ⅱ），，，‎ 设为平面的法向量，‎ 则，即，可得，（6分）‎ 设为平面的法向量，‎ 则，即，可得，（7分）‎ 所以，（8分）‎ 所以二面角的正弦值为；（9分）‎ ‎（Ⅲ）设，则，（10分）‎ 则，，（11分）‎ 设为平面的法向量，‎ 则，即，‎ 可得，（12分）‎ 由，得，‎ ‎（13分）‎ 解得或（舍），（14分） 所以.（15分）‎ ‎18．（本小题满分14分）‎ 解：（I）依题意知：,,，,,（1分）‎ 则，（2分）又，∴，（3分）‎ ‎∴椭圆的标准方程为：.（4分）‎ ‎（II）由题意，设直线的斜率为，直线方程为 所以，设，中点为，‎ 由消去得（5分）‎ ‎∴ ∴（7分）‎ ‎∴（9分）‎ ‎∴中垂线方程为：令得 ‎ ‎∴（10分） ‎ ‎∴，（11分） （12分）‎ ‎ 解得 ∴（13分）‎ ‎∴直线的方程为，即（14分）‎ ‎19．（本小题满分16分）‎ ‎（I）由已知，得 ，‎ 即， 也即解得 （1分）‎ ‎ 故数列的通项为．（2分）‎ ‎，是首项为1，公差为的等差数列，（3分）‎ ‎（4分）‎ ‎，（5分）‎ ‎（II）（5分）‎ ‎ （9分）‎ ‎（10分）‎ ‎（III）数列前项和，数列的前项和；‎ ①当，（11分）‎ ②当 ⑴当时，‎ ⑵当时,‎ ‎（13分）‎ ③当 ‎（15分）‎ 综上………（16分）‎ ‎20．（本小题满分16分）‎ 解：（Ⅰ）；（1分）‎ ‎；（2分）‎ 所以切线方程为；（3分）‎ ‎，所以的单调递减区间为，单调递增区间为.（5分）‎ ‎（Ⅱ）等价于；（6分）‎ ‎，（7分）‎ 记，所以为上的递增函数，‎ ‎（8分）‎ 且，所以 即，（9分）‎ 所以在上递减，在上递增，‎ 且；（10分）‎ 所以的最大整数解为3.（11分）‎ ‎（Ⅲ），得，‎ ‎（12分）‎ 当，，，；所以在上单调递减，上单调递增，而要使有两个零点，要满足，‎ 即；（13分）‎ 因为，，令，‎ 由，‎ 即：，‎ 而 即：由，只需证：，‎ ‎（14分）‎ 令，则 令，则 故在上递增，；（15分）‎ 故在上递增，；∴.（16分）‎