【数学】2020届一轮复习苏教版专题七第一讲随机变量与分布列学案

【数学】2020届一轮复习苏教版专题七第一讲随机变量与分布列学案

‎[江苏卷5年考情分析]‎ 这两部分内容的教学课时都较多，但高考并非是年年都考，通常是交叉式的隔年考一个内容．但2017年两道必做题一改常规，既考查空间向量在立体几何中的应用，又考查概率分布与期望值；既考查运算能力，又考查思维能力.2018年又只考查了空间向量．由于考题属中档题要求，所以不宜过难．立体几何题应当容易建立空间直角坐标系，以计算空间角为主；概率题是离散型随机变量及其分布列的均值与方差、n次独立重复试验的模型及二项分布这几个基本知识交叉考查．　　‎ 第一讲 随机变量与分布列 题型(一)‎ 离散型随机变量的分布列及其期望 ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　主要考查特殊事件的概率求解以及分布列与期望的求解.‎ ‎[典例感悟]‎ ‎[例1]　 (2018·无锡期末)某公司有A，B，C，D四辆汽车，其中A车的车牌尾号为0，B，C两辆车的车牌尾号为6，D车的车牌尾号为5，已知在非限行日，每辆车都有可能出车或不出车．其中A，D两辆汽车每天出车的概率为，B，C两辆汽车每天出车的概率为，且四辆汽车是否出车是相互独立的．该公司所在地区汽车限行规定如下：‎ 汽车车牌尾号 车辆限行日 ‎0和5‎ 星期一 ‎1和6‎ 星期二 ‎2和7‎ 星期三 ‎3和8‎ 星期四 ‎4和9‎ 星期五 ‎(1)求该公司在星期四至少有两辆汽车出车的概率；‎ ‎(2)设X表示该公司在星期一和星期二两天出车的车辆数之和，求X的分布列和数学期望．‎ ‎[解]　 (1)记该公司在星期四至少有两辆汽车出车为事件A，则 为该公司在星期四最多有一辆汽车出车．‎ P()＝22＋C2＋C·2＝.‎ 所以P(A)＝1－P()＝.‎ 所以该公司在星期四至少有两辆汽车出车的概率为.‎ ‎(2)由题意，X的可能值为0,1,2,3,4.‎ P(X＝0)＝22＝；‎ P(X＝1)＝C2＋C·2＝；‎ P(X＝2)＝22＋22＋C·C＝；‎ P(X＝3)＝2C＋2C·＝；‎ P(X＝4)＝22＝.‎ 所以X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P E(X)＝＋2×＋3×＋4×＝.‎ 所以X的数学期望为.‎ ‎ [方法技巧]‎ 求离散型随机变量分布列及期望的关键和步骤 由于离散型随机变量的数学期望是根据其分布列运用相应公式求解，因而解决这种问题的关键是求离散型随机变量的分布列，而分布列是由随机变量及其相应的概率值构成的，所以这类问题主要就是求随机变量取各个值的概率．具体步骤如下：‎ ‎[演练冲关]‎ ‎(2018·扬州考前调研)某校举办校园科技文化艺术节，在同一时间安排《生活趣味数学》和《校园舞蹈赏析》两场讲座．已知A，B两学习小组各有5位同学，每位同学在两场讲座任意选听一场．若A组1人选听《生活趣味数学》，其余4人选听《校园舞蹈赏析》；B组2人选听《生活趣味数学》，其余3人选听《校园舞蹈赏析》．‎ ‎(1)若从此10人中任意选出3人，求选出的3人中恰有2人选听《校园舞蹈赏析》的概率；‎ ‎(2)若从A，B两组中各任选2人，设X为选出的4人中选听《生活趣味数学》的人数，求X的分布列和数学期望E(X)．‎ 解：(1)设“选出的3人中恰有2人选听《校园舞蹈赏析》”为事件M，则P(M)＝＝，故选出的3人中恰有2人选听《校园舞蹈赏析》的概率为.‎ ‎(2)X可能的取值为0,1,2,3，‎ P(X＝0)＝＝，‎ P(X＝1)＝＝，‎ P(X＝2)＝＝，‎ P(X＝3)＝＝，‎ 所以X的分布列为：‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 所以X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.‎ 题型(二)‎ n次独立重复试验的模型及二项分布 ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　主要考查对n次独立重复试验的模型的识别以及二项分布模型公式的应用.‎ ‎ [典例感悟]‎ ‎[例2]　(2018·南京、盐城一模)某年级星期一至星期五每天下午排3节课，每天下午随机选择1节作为综合实践课(上午不排该课程)，张老师与王老师分别任教甲、乙两个班的综合实践课程．‎ ‎(1)求这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率；‎ ‎(2)设这两个班“在一周中同时上综合实践课的节数”为X，求X的概率分布与数学期望E(X)．‎ ‎[解]　(1)这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率为P＝1－＝.‎ ‎(2)由题意得X～B，‎ P(X＝k)＝Ck·5－k，k＝0,1,2,3,4,5.‎ 所以X的概率分布为：‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ P 所以X的数学期望为E(X)＝5×＝.‎ ‎ [方法技巧]‎ 二项分布的分布列及期望问题求解三步骤 第一步 判断 二项 分布 先判断随机变量是否服从二项分布，即若满足：①对立性：即一次试验中只有两种结果“成功”和“不成功”，而且有且仅有一个发生；②重复性：试验在相同条件下独立重复地进行n次，保证每一次试验中成功的概率和不成功的概率都保持不变，则该随机变量服从二项分布，否则不服从二项分布 第二步 求概率 若该随机变量服从二项分布，还需要通过古典概型或相互独立事件的概率计算公式计算出试验中“成功”“不成功”的概率分别是多少 第三步 求期望 根据二项分布的分布列列出相应的分布列，再根据期望公式或二项分布期望公式求期望即可 ‎[演练冲关]‎ ‎(2018·苏北四市三调)将4本不同的书随机放入编号为1,2,3,4的四个抽屉中．‎ ‎(1)求4本书恰好放在四个不同抽屉中的概率；‎ ‎(2)设随机变量X表示放在2号抽屉中书的本数，求X的分布列和数学期望E(X)．‎ 解：(1)将4本不同的书放入编号为1,2,3,4的四个抽屉中，共有44＝256种不同放法．‎ 记“4本书恰好放在四个不同抽屉中”为事件A，‎ 则事件A共包含A＝24个基本事件，‎ 所以P(A)＝＝，‎ 所以4本书恰好放在四个不同抽屉中的概率为.‎ ‎(2)法一：X的所有可能取值为0,1,2,3,4，‎ P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，‎ P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，‎ P(X＝4)＝＝.‎ 所以X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P 所以X的数学期望为E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝1.‎ 法二：每本书放入2号抽屉的概率为P(B)＝，P()＝1－＝.‎ 根据题意X～B，‎ 所以P(X＝k)＝Ck·4－k，k＝0,1,2,3,4，‎ 所以X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P 所以X的数学期望为E(X)＝4×＝1.‎ 题型(三)‎ 概率与其他知识的综合 主要考查与概率或期望有关的综合问题或在复杂背景下的概率与期望的综合问题.‎ ‎[典例感悟]‎ ‎[例3]　(2018·南通调研)甲、乙两人进行围棋比赛，共比赛2n(n∈N*)局．根据以往比赛胜负的情况知道，每局甲胜的概率和乙胜的概率均为.如果某人获胜的局数多于另一人，则此人赢得比赛．记甲赢得比赛的概率为P(n)．‎ ‎(1)求P(2)与P(3)的值；‎ ‎(2)试比较P(n)与P(n＋1)的大小，并证明你的结论．‎ ‎[解]　(1)若甲、乙比赛4局甲赢，则甲在4局比赛中至少胜3局，‎ 所以P(2)＝C4＋C4＝，‎ 同理P(3)＝C6＋C6＋C6＝.‎ ‎(2)在2n局比赛中甲赢，则甲胜的局数至少为n＋1局，‎ 故P(n)＝C2n＋C2n＋…＋C2n ‎＝·2n ‎＝·2n ‎＝·2n ‎＝，‎ 所以P(n＋1)＝.‎ 又＝＝ ‎＝＝＞1，‎ 所以＞，所以P(n)＜P(n＋1)．‎ ‎[方法技巧]‎ 二项分布与二项式定理的交汇问题，其求解的一般思路是先利用二项分布求其P(n)和P(n＋1)，然后利用组合数的性质即可求得，概率还常与数列、函数、不等式、数学归纳法、立体几何等知识交汇命题．‎ ‎[演练冲关]‎ ‎1．(2018·常州期末)已知正四棱锥PABCD的侧棱和底面边长相等，在这个正四棱锥的8条棱中任取两条，按下列方式定义随机变量ξ的值：‎ 若这两条棱所在的直线相交，则ξ的值是这两条棱所在直线的夹角大小(弧度制)；若这两条棱所在的直线平行，则ξ＝0；若这两条棱所在的直线异面，则ξ的值是这两条棱所在直线所成角的大小(弧度制)．‎ ‎(1)求P(ξ＝0)的值；‎ ‎(2)求随机变量ξ的分布列及数学期望E(ξ)．‎ 解：根据题意，该四棱锥的四个侧面均为等边三角形，底面为正方形，容易得到△PAC，△PBD为等腰直角三角形．ξ的可能取值为0，，，共C＝28种情况，其中，ξ＝0时，有2种；‎ ξ＝时，两条棱所在直线相交时，4个侧面三角形，共4×3种，两条棱所在直线异面时，底面一条边与不相邻的两条侧棱，共4×2种，共有3×4＋2×4＝20(种)；‎ ξ＝时，两个等腰直角三角形，2种，底面正方形，4种，共有2＋4＝6(种)．‎ ‎(1)P(ξ＝0)＝＝.‎ ‎(2)P＝＝，‎ P＝＝.‎ 再根据(1)的结论，随机变量ξ的分布列为：‎ ξ ‎0‎ P E(ξ)＝0×＋×＋×＝π.‎ ‎2．(2017·江苏高考)已知一个口袋中有m个白球，n个黑球(m，n∈N*，n≥2)，这些球除颜色外完全相同．现将口袋中的球随机地逐个取出，并放入如图所示的编号为1,2,3，…，m＋n的抽屉内，其中第k次取出的球放入编号为k的抽屉(k＝1,2,3，…，m＋n).‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎…‎ m＋n ‎(1)试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p；‎ ‎(2)随机变量X表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，E(X)是X的数学期望，证明：E(X)<.‎ 解：(1)编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p为：‎ p＝＝.‎ ‎(2)证明：随机变量X的概率分布为：‎ X ‎…‎ ‎…‎ P ‎…‎ ‎…‎ 随机变量X的期望为：‎ E(X)＝· ‎＝·.‎ 所以E(X)< ‎＝ ‎＝(1＋C＋C＋…＋C)‎ ‎＝(C＋C＋C＋…＋C)‎ ‎＝(C＋C＋…＋C)‎ ‎＝…＝(C＋C)‎ ‎＝＝，‎ 即E(X)<.‎ A组——大题保分练 ‎1．(2018·南京学情调研)袋中有形状和大小完全相同的四种不同颜色的小球，每种颜色的小球各有4个，分别编号为1,2,3,4.现从袋中随机取两个球．‎ ‎(1)若两个球颜色不同，求不同取法的种数；‎ ‎(2)在(1)的条件下，记两球编号的差的绝对值为随机变量X，求随机变量X的概率分布与数学期望．‎ 解：(1)两个球颜色不同的情况共有C·42＝96(种)．‎ ‎(2)随机变量X所有可能的值为0,1,2,3.‎ P(X＝0)＝＝，‎ P(X＝1)＝＝，‎ P(X＝2)＝＝，‎ P(X＝3)＝＝.‎ 所以随机变量X的概率分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.‎ ‎2．某射击小组有甲、乙两名射手，甲的命中率为p1＝，乙的命中率为p2.在射击比赛活动中，每人射击两发子弹，则完成一次检测．在一次检测中，若两人命中次数相同且都不少于一发，则称该射击小组为“和谐组”．‎ ‎(1)若p2＝，求该小组在一次检测中荣获“和谐组”的概率；‎ ‎(2)若计划在2019年每月进行1次检测，记这12次检测中该小组获得“和谐组”的次数为X，如果E(X)≥5，求p2的取值范围．‎ 解：(1)记该小组在一次检测中荣获“和谐组”的概率为P，‎ 则P＝＋×·×＝.即该小组在一次检测中荣获“和谐组”的概率为.‎ ‎(2)该小组在一次检测中荣获“和谐组”的概率为 P＝×Cp2(1－p2)＋p ‎＝p2－p.‎ 因为该小组在这12次检测中获得“和谐组”的次数X～B(12，P)，所以E(X)＝12P.‎ 由E(X)≥5得12≥5，‎ 解得≤p2≤.‎ 因为p2≤1，所以p2的取值范围为.‎ ‎3．从集合M＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}中任取三个元素构成子集{a，b，c}．‎ ‎(1)求a，b，c中任意两数之差的绝对值均不小于2的概率；‎ ‎(2)记a，b，c三个数中相邻自然数的组数为ξ(如集合{3,4,5}中3和4相邻，4和5相邻，ξ＝2)，求随机变量ξ的概率分布及其数学期望E(ξ)．‎ 解：(1)从9个不同的元素中任取3个不同元素，其基本事件总数为n＝C.‎ 记“a，b，c中任意两数之差的绝对值均不小于2”为事件A.‎ 由题意，a，b，c均不相邻，可利用插空法．假设有6个元素排成一列，则6个元素之间和两端共有7个空位，现另取3个元素插入空位，共有C种插法，然后将这9个元素，从左到右编号，依次为1,2,3，…，9，则插入的这3个元素中任意两者之差的绝对值均不小于2，所以事件A包含的基本事件数m＝C.‎ 故P(A)＝＝.‎ 所以a，b，c中任意两数之差的绝对值均不小于2的概率为.‎ ‎(2)ξ的所有可能取值为0,1,2.‎ P(ξ＝0)＝，P(ξ＝1)＝＝，‎ P(ξ＝2)＝＝.‎ 所以ξ的概率分布为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P 数学期望E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝.‎ ‎4．已知某种植物的种子每粒发芽的概率都为，某实验小组对该种植物的种子进行发芽试验，若该实验小组共种 植四粒该植物的种子(每粒种子的生长因素相同且发芽与否相互独立)，用ξ表示这四粒种子中发芽的种子数与未发芽的种子数的差的绝对值．‎ ‎(1)求随机变量ξ的概率分布和数学期望；‎ ‎(2)求不等式ξx2－ξx＋1>0的解集为R的概率．‎ 解：(1)由题意知，这四粒种子中发芽的种子数可能为0,1,2,3,4，对应的未发芽的种子数为4,3,2,1,0，‎ 所以ξ的所有可能取值为0,2,4，‎ P(ξ＝0)＝C×2×2＝，‎ P(ξ＝2)＝C×3×1＋C×1×3＝，‎ P(ξ＝4)＝C×4×0＋C×0×4＝.‎ 所以随机变量ξ的概率分布为 ξ ‎0‎ ‎2‎ ‎4‎ P 数学期望E(ξ)＝0×＋2×＋4×＝.‎ ‎(2)由(1)知ξ的所有可能取值为0,2,4，‎ 当ξ＝0时，代入ξx2－ξx＋1>0，得1>0，对x∈R恒成立，即解集为R；‎ 当ξ＝2时，代入ξx2－ξx＋1>0，得2x2－2x＋1>0，‎ 即22＋>0，对x∈R恒成立，即解集为R；‎ 当ξ＝4时，代入ξx2－ξx＋1>0，得4x2－4x＋1>0，其解集为x≠，不满足题意．‎ 所以不等式ξx2－ξx＋1>0的解集为R的概率P＝P(ξ＝0)＋P(ξ＝2)＝.‎ B组——大题增分练 ‎1．(2018·镇江期末)某学生参加4门学科的学业水平测试，每门得A等级的概率都是，该学生各学科等级成绩彼此独立．规定：有一门学科获A等级加1分，有两门学科获A等级加2分，有三门学科获A等级加3分，四门学科获A等级则加5分．记X1表示该生的加分数，X2表示该生获A等级的学科门数与未获A等级学科门数的差的绝对值．‎ ‎(1)求X1的数学期望；‎ ‎(2)求X2的分布列．‎ 解：(1)记该学生有i门学科获得A等级为事件Ai，i＝0,1,2,3,4.‎ X1的可能取值为0,1,2,3,5.‎ 则P(Ai)＝Ci4－i，‎ 即P(A0)＝，P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝，P(A4)＝，则X1的分布列为 X1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎5‎ P 所以E(X1)＝0×＋1×＋2×＋3×＋5×＝.‎ ‎(2)X2的可能取值为0,2,4，则 P(X2＝0)＝P(A2)＝；‎ P(X2＝2)＝P(A1)＋P(A3)＝＋＝；‎ P(X2＝4)＝P(A0)＋P(A4)＝＋＝.‎ 所以X2的分布列为 X2‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎4‎ P ‎2.(2018·南京、盐城、连云港二模)甲、乙两人站在点P处分别向A，B，C三个目标进行射击，每人向三个目标各射击一次．每人每次射击每个目标均相互独立，且两人各自击中A，B，C的概率分别为，，.‎ ‎(1)设X表示甲击中目标的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；‎ ‎(2)求甲、乙两人共击中目标数为2个的概率．‎ 解：(1)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.‎ P(X＝0)＝××＝，‎ P(X＝1)＝××＋××＋××＝，‎ P(X＝2)＝××＋××＋××＝，‎ P(X＝3)＝××＝.‎ 所以随机变量X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. ‎ ‎(2)设Y表示乙击中目标的个数，‎ 由(1)可知，P(Y＝0)＝，P(Y＝1)＝，P(Y＝2)＝.‎ 则P(X＝0，Y＝2)＝×＝，‎ P(X＝1，Y＝1)＝×＝，‎ P(X＝2，Y＝0)＝×＝， ‎ 所以P(X＋Y＝2)＝P(X＝0，Y＝2)＋P(X＝1，Y＝1)＋P(X＝2，Y＝0)＝.‎ 所以甲、乙两人共击中目标的个数为2的概率为. ‎ ‎3.如图，设P1，P2，…，P6为单位圆上逆时针均匀分布的六个点，现任选其中三个不同点构成一个三角形，记该三角形的面积为随机变量S.‎ ‎(1)求S＝的概率；‎ ‎(2)求S的分布列及数学期望E(S)．‎ 解：(1)从六个点中任选三个不同点构成一个三角形共有C种不同选法，其中S＝的为有一个角是30°的直角三角形(如△P1P4P5)，共6×2＝12种，‎ 所以P＝＝.‎ ‎(2)S的所有可能取值为，，.S＝的为顶角是120°的等腰三角形(如△P1P2P3)，共6种，‎ 所以P＝＝.‎ S＝的为等边三角形(如△P1P3P5)，共2种，‎ 所以P＝＝.‎ 又由(1)知P＝＝，‎ 故S的分布列为 S P 所以E(S)＝×＋×＋×＝.‎ ‎4．一个摸球游戏，规则如下：在一不透明的纸盒中，装有6个大小相同、颜色各异的玻璃球．参加者交费1元可玩1次游戏，从中有放回地摸球3次．参加者预先指定盒中的某一种颜色的玻璃球，然后摸球．当所指定的玻璃球不出现时，游戏费被没收；当所指定的玻璃球出现1次，2次，3次时，参加者可相应获得游戏费的0倍，1倍，k倍的奖励(k∈N*)，且游戏费仍退还给参加者．记参加者玩1次游戏的收益为X元．‎ ‎(1)求概率P(X＝0)的值；‎ ‎(2)为使收益X的数学期望不小于0元，求k的最小值．‎ 解：(1)事件“X＝0”表示“有放回的摸球3回，所指定的玻璃球只出现1次”，‎ 则P(X＝0)＝3××2＝.‎ ‎(2)依题意得，X的可能值为k，－1,1,0，‎ 且P(X＝k)＝3＝，P(X＝－1)＝3＝，P(X＝1)＝3×2×＝，‎ 结合(1)知，参加游戏者的收益X的数学期望为 E(X)＝k×＋(－1)×＋1×＝，‎ 为使收益X的数学期望不小于0元，‎ 所以k≥110，即kmin＝110.‎ 故k的最小值为110.‎