函数与方程学案
§3.1 函数与方程
1．函数零点的概念
对于函数y＝f(x) (x∈D)，我们把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x) (x∈D)的零点．注意以下两点：
(1)方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．
(2)函数零点的求法：
代数法：求方程f(x)＝0的实数根；
几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y＝f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．
2．函数零点的判断
一般地，如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是f(x)＝0的根．我们不妨把这一结论称为零点存在性定理．
对函数零点存在性定理的理解
(1)并不是所有的函数都有零点，如函数y＝.
(2)函数y＝f(x)如果满足：①函数在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，②f(a)·f(b)<0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点．
(3)对于有些函数，即使它的图象是连续不断的，当它通过零点时，函数值也不一定变号．如函数y＝x2有零点x0＝0，但显然函数值没有变号．但是，对于任意一个函数，相邻的两个零点之间所有的函数值保持同号．
(4)函数在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且在区间(a，b)上单调，若f(a)·f(b)<0，则函数y＝f(x)在(a，b)内有且只有一个零点．
但要注意：如果函数y＝f(x)在[a，b]上的图象是连续不断的曲线，且x0是函数在这个区间上的一个零点，却不一定有f(a)·f(b)<0.
3．二分法
所谓二分法，就是通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法．
用二分法求函数零点近似值的注意点
(1)在第一步中要使：
①区间[a，b]的长度尽量小；
②f(a)、f(b)的值比较容易计算，且f(a)·f(b)<0.
(2)根据函数的零点与相应方程根的关系，求函数的零点与求相应方程的根是等价的．对于求方程f(x)＝g(x)，可以构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，函数F(x)的零点即为方程f(x)＝g(x)的根.
题型一 判断零点所在区间
根据表格中的数据，可以判定方程ex－x－2＝0的一个根所在的区间是________.
x
－1
0
1
2
3
14
ex
0.37
1
2.72
7.39
20.09
x＋2
1
2
3
4
5
解析 令f(x)＝ex－x－2，由图表知f(－1)＝0.37－1＝－0.63<0，f(0)＝1－2＝－1<0，f(1)＝2.72－3＝－0.28<0，f(2)＝7.39－4＝3.39>0，f(3)＝20.09－5＝15.09>0，由于f(1)·f(2)<0，所以根所在的区间为(1,2)．
答案 (1,2)
点评 解题的关键是ex与x＋2差的符号，构造函数f(x)＝ex－x－2，将求方程ex－x－2＝0的根所在的区间转化为求函数的零点问题，通过函数零点的判断使问题获解．
题型二 判断零点个数
定义在R上的奇函数f(x)满足：当x>0时，f(x)＝2 008x＋log2 008x，则函数f(x)的零点的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．2 006
解析 因为函数f(x)为R上的奇函数，所以f(0)＝0，
因为log2 008＝－1,2 008>1，
所以f＝2 008＋log2 008>0，
所以，当x>0时，f(x)＝2 008x＋log2 008x，
函数在区间内存在零点，
又根据单调函数的定义可证明f(x)在(0，＋∞)上为增函数，因此在(0，＋∞)内有且仅有一个零点．
根据对称性可知函数在(－∞，0)内有且仅有一个零点，从而函数在R上零点的个数为3，故选C.
答案 C
点评 认识函数的性质是问题获解的关键，奇偶性保证函数的对称性，换句话说，有奇偶性的函数的零点(除原点外)是成对出现的．注意到函数为奇函数且在原点有定义，因此有f(0)＝0.其次是函数的单调性，保证了函数零点在单调区间内的唯一性，当然零点的判定方法也是问题获解不可或缺的部分．
题型三 用二分法求方程的近似解
求方程x2＝2x＋1的一个近似解(精确度0.1)．
解 设f(x)＝x2－2x－1.
∵f(2)＝－1<0，f(3)＝2>0，
∴在区间(2,3)内，方程x2－2x－1＝0有一解，记为x0.
取2与3的平均数2.5，∵f(2.5)＝0.25>0，
∴2
0.
∵|2.375－2.437 5|＝0.062 5<0.1，
∴方程x2＝2x＋1的一个精确度为0.1的近似解可取为2.437 5.
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点评 对于求形如f(x)＝g(x)的方程的近似解，可以通过移项转化成求形如F(x)＝f(x)－g(x)＝0的方程的近似解，然后按照二分法求函数零点近似值的步骤求之．
函数f(x)＝x＋的零点个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
错解 因为f(－1)＝－2，f(1)＝2，且x<0时，f(x)<0，x>0时，f(x)>0，所以y＝f(x)有一个零点，故选B.
错因分析 函数的定义域决定了函数的一切性质，分析函数的有关问题时必须先求定义域．通过作图可知函数f(x)＝x＋的图象不是连续不断的，因而零点存在性定理不能使用．
正解 函数的定义域为x∈R，且x≠0，当x>0时，f(x)>0，当x<0时，f(x)<0，所以函数没有零点，故选A.
本节在高考中充分地体现了函数与方程的思想，即在研究函数的零点时，利用图象来研究函数的零点或方程的根．
1．(山东高考)设函数y＝x3与y＝x－2的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是( )
A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)
解析 数形结合可知，交点横坐标在(1,2)内．
答案 B
2．(江苏高考)二次函数y＝ax2＋bx＋c (x∈R)的部分对应值如下表：
x
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
y
6
0
－4
－6
－6
－4
0
6
则使ax2＋bx＋c>0成立的自变量x的取值范围是______________．
解析 由表中数据可知f(－2)＝0，f(3)＝0，因此函数的零点有两个是－2和3.这两个零点将x轴分成三个区间(－∞，－2]，(－2,3]，(3，＋∞)．在区间(－∞，－2]中取特殊值－3，表中数据有f(－3)＝6>0，因此根据二次函数零点的性质得：当x∈(－∞，－2)时，都有f(x)>0；同理可得：当x∈(3，＋∞)时也有f(x)>0.故使f(x)>0的自变量x的取值范围是x∈(－∞，－2)∪(3，＋∞)．
答案 (－∞，－2)∪(3，＋∞)
1．下列函数中不能用二分法求零点的是( )
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A．f(x)＝3x－1 B．f(x)＝x3
C．f(x)＝|x| D．f(x)＝lnx
答案 C
解析 对于选项C而言，令|x|＝0，得x＝0，
即函数f(x)＝|x|存在零点；
当x>0时，f(x)>0，当x<0时，f(x)>0，
∴f(x)＝|x|的函数值非负，即函数f(x)＝|x|有零点但零点两侧函数值同号，不能用二分法求零点．
2．若y＝f(x)在区间[a，b]上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是( )
A．若f(a)f(b)<0，不存在实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0
B．若f(a)f(b)<0，存在且只存在一个实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0
C．若f(a)f(b)>0，不存在实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0
D．若f(a)f(b)>0，有可能存在实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0
答案 D
解析 由零点存在性定理可知选项A不正确；
对于选项B可通过反例“f(x)＝x(x－1)(x＋1)在区间[－2，2]上满足f(－2)f(2)<0，但其存在三个零点：－1,0,1”推翻；
选项C可通过反例“f(x)＝(x－1)(x＋1)在区间[－2,2]上满足f(－2)f(2)>0，但其存在两个零点：－1,1”推翻．
3．方程2x＋x＝0在下列哪个区间内有实数根( )
A．(－2，－1) B．(0,1)
C．(1,2) D．(－1,0)
答案 D
解析 设函数f(x)＝2x＋x，其对应的函数值如下表：
x
－2
－1
0
1
2
f(x)
－
－
1
3
6
由于f(－1)f(0)<0，所以方程2x＋x＝0在(－1,0)内有实数根．
4．函数f(x)＝的零点是__________．
答案 －2
解析 本题易认为零点有两个，即由x2－4＝0求出x＝±2，事实上x＝2不在函数的定义域内．
5．设x0是方程lnx＋x＝4的根，且x0∈(k，k＋1)，求正整数k.
解 设f(x)＝lnx＋x－4，则函数f(x)＝lnx＋x－4在正数范围内是单调递增的，故函数f(x)＝lnx＋x－4仅有一个零点，
∵f(1)＝ln1＋1－4<0，f(2)＝ln2＋2－4<0，
f(3)＝ln3＋3－4>0，
∴f(2)·f(3)<0，即k＝2.
6．求方程2x3＋3x－3＝0的一个近似解(精确度0.1)．
解 设f(x)＝2x3＋3x－3，经试算，f(0)＝－3<0，f(1)＝2>0，所以函数在(0,1)内存在零点，即方程2x3＋3x－3＝0在(0,1)内有实数解，
取(0,1)的中点0.5，经计算f(0.5)<0，又f(1)>0，所以方程2x3＋3x－3＝0在(0.5,1)内有解．
如此继续下去，得到方程的一个实数解所在的区间，如下表：
(a，b)
(a，b) 的中点
f(a)
f(b)
f
(0,1)
0.5
f(0)<0
f(1)>0
f(0.5)<0
(0.5,1)
0.75
f(0.5)<0
f(1)>0
f(0.75)>0
(0.5，0.75)
0.625
f(0.5)<0
f(0.75)>0
f(0.625) <0
(0.625，0.75)
0.687 5
f(0.625)<0
f(0.75)>0
f(0.687 5) <0
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因为|0.687 5－0.75|＝0.062 5<0.1，
所以方程2x3＋3x－3＝0的精确度为0.1的一个近似解可取为0.687 5.
7．如果函数f(x)＝ax－x－a (a>0且a≠1)有两个不同的零点，求a的取值范围．
解 研究函数f(x)＝ax－x－a (a>0且a≠1)的零点，即相当于研究方程ax＝x＋a的根．
(1)当a>1时，分别画出y＝ax与y＝x＋a的图象，如图(1)所示，
由于y＝ax恒过M(0,1)点，直线y＝x＋a过点N(0，a)，而a>1，所以点N在点M的上方，此时两者有两个交点，
即方程ax＝x＋a有两个根，函数f(x)＝ax－x－a (a>0且a≠1)有两个不同的零点；
(2)当00且a≠1)有一个零点；
综上所述，a的取值范围是(1，＋∞)．
3．1.1 方程的根与函数的零点
学习目标
1．能够结合二次函数的图象判断一元二次方程根的存在性及根的个数．
2．理解函数的零点与方程根的关系．
3．掌握函数零点的存在性的判定方法．
自学导引
1．对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
2．函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标．
3．方程f(x)＝0有实数根
⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点
⇔函数y＝f(x)有零点．
4．函数零点的存在性的判定方法：
如果函数y＝f(x)在[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根.
一、求函数的零点
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例1 求下列函数的零点：
(1)f(x)＝－x2－2x＋3；
(2)f(x)＝x4－1；
(3)f(x)＝x3－4x.
解 (1)由于f(x)＝－x2－2x＋3＝－(x＋3)(x－1)．
所以方程－x2－2x＋3＝0的两根是－3,1.
故函数的零点是－3,1.
(2)由于f(x)＝x4－1＝(x2＋1)(x＋1)(x－1)，
所以方程x4－1＝0的实数根是－1,1，
故函数的零点是－1,1.
(3)令f(x)＝0，即x3－4x＝0，
∴x(x2－4)＝0，即x(x＋2)(x－2)＝0.
解得：x1＝0，x2＝－2，x3＝2，
所以函数f(x)＝x3－4x有3个零点，分别是：－2,0,2.
点评 求函数的零点，关键是准确求解方程的根，若是高次方程，要进行因式分解，分解成多个因式积的形式且方程的另一边为零，若是二次方程常用因式分解或求根公式求解．
变式迁移1 若函数f(x)＝x2＋ax＋b的零点是2和－4，求a，b的值．
解 ∵2，－4是函数f(x)的零点．
∴f(2)＝0，f(－4)＝0.
即，解得.
二、判断函数在某个区间内是否有零点
例2 (1)函数f(x)＝lnx－的零点所在的大致区间是( )
A．(1,2) B．(2,3)
C.和(3,4) D．(e，＋∞)
(2)f(x)＝lnx－在x>0上共有________个零点．
分析 由题目可获取以下主要信息：本例为判断函数零点所在区间问题，且在选项中给出了待确定的区间．解答本题可从已知区间求f(a)和f(b)，判断是否有f(a)·f(b)<0，且注意该函数在定义域上为增函数．
答案 (1)B (2)1
解析 (1)∵f(1)＝－2<0，f(2)＝ln2－1<0，
∴在(1,2)内f(x)无零点，A不对；
又f(3)＝ln3－>0，∴f(2)·f(3)<0，
∴f(x)在(2,3)内有一个零点．
(2)∵f(x)＝lnx－在x>0上是增函数，
故f(x)有且只有一个零点．
点评 这是一类非常基础且常见的问题，考查的是函数零点的判定方法，一般而言只需将区间端点代入函数求出函数值，进行符号判断即可得出结论，这类问题的难点往往是函数符号的判断，可运用函数的有关性质进行判断，同时也要注意该函数的单调性．
变式迁移2 方程x2－3x＋1＝0在区间(2,3)内根的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．不确定
答案 B
解析 令f(x)＝x2－3x＋1，则f(2)·f(3)<0，
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∴(2,3)内仅有一个根．
三、已知函数零点的特征，求参数范围
例3 若函数f(x)＝ax2－x－1仅有一个零点，求实数a的取值范围．
分析 由题目可获取以下主要信息：已知函数f(x)零点特征，讨论函数表达式中字母的特征，解答本题可根据该字母对函数零点的影响入手，进行求解．
解 ①若a＝0，则f(x)＝－x－1，为一次函数，易知函数仅有一个零点；
②若a≠0，则函数f(x)为二次函数，若其只有一个零点，则方程ax2－x－1＝0仅有一个实数根，
故判别式Δ＝1＋4a＝0，a＝－.
综上，当a＝0或a＝－时，函数仅有一个零点．
变式迁移3 已知在函数f(x)＝mx2－3x＋1的图象上其零点至少有一个在原点右侧，求实数m的范围．
解 (1)当m＝0时，f(0)＝－3x＋1，直线与x轴的交点为，即函数的零点为，在原点右侧，符合题意．
图(1)
(2)当m≠0时，∵f(0)＝1，
∴抛物线过点(0,1)．
若m<0，f(x)的开口向下，如图(1)所示．
二次函数的两个零点必然是一个在原点右侧，一个在原点左侧．
图(2)
若m>0，f(x)的开口向上，如图(2)所示，要使函数的零点在原点右侧，当且仅当
9－4m≥0即可，解得00，也不说明函数y＝f(x)在区间(a，b)上无零点，如二次函数y＝x2－3x＋2在[0,3]上满足f(0)·f(3)>0，但函数f(x)在区间(0,3)上有零点1和2.
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3．函数的零点是实数而不是坐标轴上的点．
一、选择题
1．若函数f(x)唯一的零点在区间(1,3)，(1,4)，(1,5)内，那么下列说法中错误的是( )
A．函数f(x)在(1,2)或[2,3)内有零点
B．函数f(x)在(3,5)内无零点
C．函数f(x)在(2,5)内有零点
D．函数f(x)在(2,4)内不一定有零点
答案 C
2．函数f(x)＝log3x－8＋2x的零点一定位于区间( )
A．(5,6) B．(3,4) C．(2,3) D．(1,2)
答案 B
解析 f(3)＝log33－8＋2×3＝－1<0，
f(4)＝log34－8＋2×4＝log34>0.
又f(x)在(0，＋∞)上为增函数，
所以其零点一定位于区间(3,4)．
3．函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若f(1)>0，f(2)<0，则f(x)在(1,2)上零点的个数为( )
A．至多有一个 B．有一个或两个
C．有且仅有一个 D．一个也没有
答案 C
解析 若a＝0，则f(x)＝bx＋c是一次函数，
由f(1)·f(2)<0得零点只有一个；
若a≠0，则f(x)＝ax2＋bx＋c为二次函数，如有两个零点，则必有f(1)·f(2)>0，与已知矛盾．
4．已知f(x)是定义域为R的奇函数，且在(0，＋∞)内的零点有1 003个，则f(x)的零点的个数为( )
A．1 003 B．1 004 C．2 006 D．2 007
答案 D
解析 因为f(x)是奇函数，则f(0)＝0，且在(0，＋∞)内的零点有1 003个，所以f(x)在(－∞，0)内的零点有1 003个．
因此f(x)的零点共有1 003＋1 003＋1＝2 007个．
5．若函数y＝f(x)在区间[0,4]上的图象是连续不断的曲线，且方程f(x)＝0在(0,4)内仅有一个实数根，则f(0)·f(4)的值( )
A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．无法判断
答案 D
解析 考查下列各种图象
上面各种函数y=f(x)在(0,4)内仅有一个零点，
但是(1)中，f(0)·f(4)>0，
(2)中f(0)·f(4)<0，
(3)中f(0)·f(4)＝0.
二、填空题
6．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c中，a·c<0，则函数的零点有________个．
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答案 2
解析 ∵Δ＝b2－4ac>0，∴方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根，即函数f(x)有2个零点．
7．若函数f(x)＝ax＋b (a≠0)有一个零点是2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是__________．
答案 0，－
解析 由2a＋b＝0，得b＝－2a，g(x)＝bx2－ax
＝－2ax2－ax，令g(x)＝0，得x＝0或x＝－，
∴g(x)＝bx2－ax的零点为0，－.
8．方程2ax2－x－1＝0在(0,1)内恰有一个实根，则实数a的取值范围是____________．
答案 (1，＋∞)
解析 令f(x)＝2ax2－x－1，a＝0时不符合题意；
a≠0且Δ＝0时，解得a＝－，
此时方程为－x2－x－1＝0，也不合题意；
只能f(0)·f(1)<0，解得a>1.
三、解答题
9．已知函数f(x)＝3x－x2，问：方程f(x)＝0在区间[－1,0]内有没有实数解？为什么？
分析 函数f(x)只要满足①f(－1)·f(0)<0；②在[－1，0]内连续，则f(x)＝0在[－1,0]内必有实数解．
解 ∵f(－1)＝3－1－(－1)2＝－<0，
f(0)＝30－02＝1>0.且函数f(x)＝3x－x2的图象是连续曲线，∴f(x)在区间[－1,0]内有零点，
即f(x)＝0在区间[－1,0]内有实数解．
10．若函数y＝3x2－5x＋a的两个零点分别为x1，x2，且有－20，且函数y＝x3－x－1的图象是连续的曲线，所以它在区间[1,1.5]内有零点，用二分法逐次计算，列表如下：
区间
中点值
中点函数近似值
(1,1.5)
1.25
－0.3
(1.25,1.5)
1.375
0.22
(1.25,1.375)
1.312 5
－0.05
(1.312 5,1.375)
1.343 75
0.08
由于|1.375－1.312 5|＝0.062 5<0.1，
所以函数的一个近似零点为1.312 5.
点评 由于用二分法求函数零点的近似值步骤比较繁琐，因此用列表法往往能比较清晰地表达．事实上，还可用二分法继续算下去，进而得到这个零点精确度更高的近似值．
变式迁移2 求函数f(x)＝x3＋2x2－3x－6的一个正数零点(精确度0.1)．
解 由于f(1)＝－6<0，f(2)＝4>0，可取区间(1,2)作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，列表如下：
区间
中点
中点函数值
(1,2)
1.5
－2.625
(1.5,2)
1.75
0.234 4
(1.5,1.75)
1.625
－1.302 7
(1.625,1.75)
1.687 5
－0.561 8
(1.687 5,1.75)
1.718 75
－0.170 7
由于|1.75－1.687 5|＝0.062 5<0.1，
所以可将1.687 5作为函数零点的近似值．
三、二分法的综合运用
例3 证明方程6－3x＝2x在区间[1,2]内有唯一一个实数解，并求出这个实数解(精确度0.1)．
分析 由题目可获取以下主要信息：①证明方程在[1,2]内有唯一实数解；②求出方程的解．解答本题可借助函数f(x)＝2x＋3x
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－6的单调性及根的存在性定理证明，进而用二分法求出这个解．
证明 设函数f(x)＝2x＋3x－6，
∵f(1)＝－1<0，f(2)＝4>0，
又∵f(x)是增函数，所以函数f(x)＝2x＋3x－6在区间[1,2]内有唯一的零点，
则方程6－3x＝2x在区间[1,2]内有唯一一个实数解．
设该解为x0，则x0∈[1,2]，
取x1＝1.5，f(1.5)＝1.33>0，f(1)·f(1.5)<0，
∴x0∈(1,1.5)，
取x2＝1.25，f(1.25)＝0.128>0，
f(1)·f(1.25)<0，∴x0∈(1,1.25)，
取x3＝1.125，f(1.125)＝－0.445<0，
f(1.125)·f(1.25)<0，∴x0∈(1.125,1.25)，
取x4＝1.187 5，f(1.187 5)＝－0.16<0，
f(1.187 5)·f(1.25)<0，
∴x0∈(1.187 5,1.25)．
∵|1.25－1.187 5|＝0.062 5<0.1，
∴1.187 5可以作为这个方程的实数解．
点评 用二分法解决实际问题时，应考虑两个方面，一是转化成函数的零点问题，二是逐步缩小考察范围，逼近问题的解．
变式迁移3 求的近似解(精确度为0.01并将结果精确到0.01)．
解 设x＝，则x3－2＝0.
令f(x)＝x3－2，则函数f(x)的零点的近似值就是的近似值，以下用二分法求其零点的近似值．
由于f(1)＝－1<0，f(2)＝6>0，故可以取区间[1,2]为计算的初始区间．
用二分法逐步计算，列表如下：
区间
中点
中点函数值
[1,2]
1.5
1.375
[1,1.5]
1.25
－0.046 9
[1.25,1.5]
1.375
0.599 6
[1.25,1.375]
1.312 5
0.261 0
[1.25,1.312 5]
1.281 25
0.103 3
[1.25,1.281 25]
1.265 625
0.027 3
[1.25,1.265 625]
1.257 812 5
－0.01
[1.257 812 5,1.265 625]
1.261 718 75
0.008 6
由于|1.265 625－1.257 812 5|＝0.007 81<0.01，
所以函数f(x)零点的近似值是1.26，
即的近似值是1.26.
1．能使用二分法求方程近似解的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用．
2．二分法实质是一种逼近思想的应用．区间长度为1时，使用“二分法”n次后，精确度为.
3．求函数零点的近似值时，所要求的精确度不同，得到的结果也不相同．精确度为ε，是指在计算过程中得到某个区间(a，b)后，若其长度小于ε，即认为已达到所要求的精确度，可停止计算，否则应继续计算，直到|a－b|<ε为止．
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一、选择题
1．下列函数中不能用二分法求零点的是( )
A．f(x)＝2x＋3 B．f(x)＝lnx＋2x－6
C．f(x)＝x2－2x＋1 D．f(x)＝2x－1
答案 C
解析 因为f(x)＝(x－1)2≥0，即含有零点的区间[a，b]，不满足f(a)·f(b)<0.
2．设f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在x∈(1，2)内近似解的过程中得f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程的根落在区间( )
A．(1,1.25) B．(1.25,1.5)
C．(1.5,2) D．不能确定
答案 B
解析 1.5为区间(1,2)的中点，且f(1)<0，f(1.5)>0，
∴方程的根x0∈(1,1.5)，又1.25是(1,1.5)的中点且f(1.5)>0，f(1.25)<0，∴x0∈(1.25,1.5)．
3．函数f(x)＝x2－5的正零点的近似值(精确到0.1)是( )
A．2.0 B．2.1 C．2.2 D．2.3
答案 C
4．方程2x－1＋x＝5的解所在的区间是( )
A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)
答案 C
5．用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经计算f(0)<0，f(0.5)>0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________．以上横线上应填的内容为( )
A．(0,0.5)，f(0.25) B．(0,1)，f(0.25)
C．(0.5,1)，f(0.25) D．(0,0.5)，f(0.125)
答案 A
解析 ∵f(0)<0，f(0.5)>0，∴f(0)·f(0.5)<0，
故f(x)在(0,0.5)必有零点，利用二分法，
则第二次计算应为f＝f(0.25)．
二、填空题
6．在用二分法求方程f(x)＝0在[0,1]上的近似解时，经计算，f(0.625)<0，f(0.75)>0，f(0.687 5)<0，即可得出方程的一个近似解为____________(精确度为0.1)．
答案 0.75或0.687 5
解析 因为|0.75－0.687 5|＝0.062 5<0.1，
所以0.75或0.687 5都可作为方程的近似解．
7．用二分法求方程x2－5＝0在区间(2,3)的近似解经过________次二分后精确度能达到0.01.
答案 7
解析 区间(2,3)的长度为1，当7次二分后区间长度为
＝<＝0.01.
8．用二分法求函数的零点，函数的零点总位于区间[an，bn] (n∈N)上，当|an－bn|0，
所以函数在(1,2)内存在零点．
取(1,2)的中点1.5，经计算f(1.5)＝0.625>0，
故函数在(1.5,2)内存在零点，如此继续下去，得到函数的一个零点所在的区间.
(a，b)
(a，b) 的中点
f(a)
f(b)
f
(1,2)
1.5
f(1)<0
f(2)>0
f(1.5)>0
(1,1.5)
1.25
f(1)<0
f(1.5)>0
f(1.25) <0
(1.25，1.5)
1.375
f(1.5)>0
f(1.25)<0
f(1.375) <0
(1.375，1.5)
1.437 5
f(1.5)>0
f(1.375) <0
f(1.4375>0)
(1.375，1.437 5)
1.375－1.437 5|＝0.062 5<0.1
所以原函数的一个正实数零点的近似解可取为1.437 5.
10．利用计算器，求方程lgx＝2－x的近似解(精确度为0.1)．
解
作出y=lgx，y=2-x的图象，可以发现，方程lgx=2-x有唯一解，记为x0，并且解在区间(1,2)内．
设f(x)=lgx+x-2，用计算器计算得f(1)<0，
f(2)>0⇒x∈(1,2)；
f(1.5)<0，f(2)>0⇒x∈(1.5,2)；
f(1.75)<0，f(2)>0⇒x∈(1.75,2)；
f(1.75)<0，f(1.875)>0⇒x∈(1.75,1.875)；
f(1.75)<0，f(1.812 5)>0⇒x∈(1.75,1.812 5)
∵|1.812 5－1.75|＝0.062 5<0.1，
所以方程的近似解可取为1.812 5.
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