2020_2021学年新教材高中数学第6章幂函数指数函数和对数函数6

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文档介绍

2020_2021学年新教材高中数学第6章幂函数指数函数和对数函数6

- 1 - 第 2 课时 对数函数的图象与性质的应用 学 习 目 标 核 心 素 养 1.能正确判断图象之间的变换关系.(重点) 2.理解并掌握对数函数的单调性.(重点) 3.会用对数函数的相关性质解综合题.(难点) 通过学习本节内容,提升学生的直观 想象、逻辑推理、数学运算的核心素 养. 画出对数函数 y=log2x,y=log x 的图象,说出该函数的性质,探究对数型函数 y= loga(x2-2x-3)的一般性质(定义域、值域、单调性等). 1.平移变换 当 b>0 时,将 y=logax 的图象向左平移 b 个单位,得到 y=loga(x+b)的图象;向右平 移 b 个单位,得到 y=loga(x-b)的图象.当 b>0 时,将 y=loga x 的图象向上平移 b 个单位, 得到 y=logax+b 的图象,将 y=logax 的图象向下平移 b 个单位,得到 y=logax-b 的图 象. 2.对称变换 要得到 y=loga 1 x的图象,应将 y=loga x 的图象关于 x 轴对称. 为了得到函数 y=lg x+3 10 的图象,只需把函数 y=lg x 的图象上所有的点 . 向左平移 3 个单位,再向下平移 1 个单位 [y=lg x+3 10 =lg (x+3)-1,故将 y=lgx 向左平移 3 个单位,再向下平移 1 个单位.] 对数函数的图象 【例 1】 作出函数 y=|log2 (x+2)|+4 的图象,并指出其单调增区间. [思路点拨] 可先作出 y=log2 x 的图象,再左移 2 个单位得到 y=log2 (x+2),通过翻 折变换得到 y=|log2 (x+2)|,再向上平移 4 个单位即可. [解] 步骤如下: (1)作出 y=log2 x 的图象,如图(1). (2)将 y=log2 x 的图象沿 x 轴向左平移 2 个单位得到 y=log2 (x+2)的图象,如图 - 2 - (2). (3)将 y=log2 (x+2)的图象在 x 轴下方的图象以 x 轴为对称轴翻折到 x 轴的上方,得到 y=|log2 (x+2)|的图象,如图(3). (4)将 y=|log2 (x+2)|的图象沿 y 轴方向向上平移 4 个单位,得到 y=|log2(x+2)|+4 的图象,如图(4). 由图可知,函数的单调增区间为[-1,+∞). 1.已知 y=f(x)的图象,求 y=|f(x+a)|+b 的图象步骤如下: y=f(x)→y=f(x+a)→y=|f(x+a)|→y=|f(x+a)|+b. 2.已知 y=f(x)的图象,求 y=|f(x+a)+b|的图象,步骤如下: y=f(x)→y=f(x+a)→y=f(x+a)+b→y=|f(x+a)+b|. 从上可以看出,作含有绝对值号的函数图象时,先将绝对值号内部的图象作出来,再进 行翻折,内部变换的顺序是先变换 x,再变换 y. [跟进训练] 1.(1)若函数f(x)=a-x(a>0,a≠1)是定义域为 R 的增函数,则函数 g(x)=loga (x+1) 的图象大致是(  ) (2)已知 lg a+lg b=0,则函数 f(x)=ax 与函数 g(x)=-logb x 的图象可能是(  ) - 3 - (1)D (2)B [(1)因为函数 f(x)=a-x 是定义域为 R 的增函数,所以 01;当 b>1 时,00⇒x2<9⇒-30. 又(2-x1)(2+x2)>0,(2+x1)(2-x2)>0, ∴ 2-x12+x2 2+x12-x2>1, ∴lg 2-x12+x2 2+x12-x2>0. 从而 f(x1)>f(x2),故 f(x)在(-2,2)上为减函数. 对数函数性质的综合应用 1常见的命题方式,对数函数常与函数的奇偶性、单调性、最大小值以及不等式 等问题综合命题,求解中通常会涉及对数运算. 2解此类问题的基本思路,首先要将所给的条件进行转化,然后结合涉及的知识点, 明确各知识点的应用思路、化简方向,与所求目标建立联系,从而找到解决问题的思路. [跟进训练] 3.已知函数 f(x)=loga (x+1)(a>1),若函数 y=g(x)图象上任意一点 P 关于原点对称 的点 Q 在函数 f(x)的图象上. (1)写出函数 g(x)的解析式; (2)当 x∈[0,1)时总有 f(x)+g(x)≥m 成立,求 m 的取值范围. [解] (1)设 P(x,y)为 g(x)图象上任意一点,则 Q(-x,-y)是点 P 关于原点的对称点, ∵Q(-x,-y)在 f(x)的图象上, ∴-y=loga(-x+1),即 y=g(x)=-loga(1-x). (2)f(x)+g(x)≥m,即 loga x+1 1-x≥m. - 6 - 设 F(x)=loga 1+x 1-x=loga(-1+ 2 1-x),x∈[0,1), 由题意知,只要 F(x)min≥m 即可. ∵F(x)在[0,1)上是增函数, ∴F(x)min=F(0)=0. 故 m 的取值范围为(-∞,0]. 解对数不等式(或方程) [探究问题] 1.对数函数的单调性,内容是什么? [提示] 对数函数 y=loga x,当 a>1 时,在(0,+∞)上单调递增,当 00 且 a≠1,x>0. 【例 4】 已知函数 f(x)=loga(1+x),g(x)=loga(1-x),其中(a>0 且 a≠1),设 h(x) =f(x)-g(x).求函数 h(x)的定义域,判断 h(x)的奇偶性,并说明理由. [思路点拨] 根据对数函数的单调性求解即可,但应注意定义域的限制,在底不确定时 应注意讨论. [解] ∵f(x)=loga(1+x)的定义域为{x|x>-1}, g(x)=loga(1-x)的定义域为{x|x<1}, ∴h(x)=f(x)-g(x)的定义域为{x|x>-1}∩{x|x<1}={x|-11),求 f(x)的定义域. [解] 因为 f(x)=loga 1+x 1-x, 所以 1+x 1-x>0,即Error!或Error! 所以-10,所以 f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)
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