高中数学第7章三角函数课时分层作业30蝗制含解析苏教版必修第一册

高中数学第7章三角函数课时分层作业30蝗制含解析苏教版必修第一册

课时分层作业(三十)　弧度制 ‎(建议用时：40分钟)‎ 一、选择题 ‎1．若角α的终边在直线y＝－x上，则角α的取值集合为(　　)‎ A．{α|α＝k·360°－45°，k∈Z}‎ B． C． D． D　[由图知，角α的取值集合为 ∪‎ ‎＝∪＝．]‎ ‎2．集合中的角所表示的范围(阴影部分)是(　　)‎ A　　　　 B　　　　　C　　　　D C　[当k＝2n(n∈Z)时，2nπ＋≤α≤2nπ＋，此时α表示的范围与≤α≤表示的范围一样；当k＝2n＋1 (n∈Z)时，2nπ＋π＋≤α≤2nπ＋π＋，此时α表示的范围与π＋≤α≤π＋表示的范围一样，故选C．]‎ ‎3．下列表示中不正确的是(　　)‎ A．终边在x轴上的角的集合是{α|α＝kπ，k∈Z}‎ B．终边在y轴上的角的集合是 C．终边在坐标轴上的角的集合是 D．终边在直线y＝x上的角的集合是 D　[D错误，终边在直线y＝x上的角的集合是．]‎ ‎4．圆弧长度等于圆弧所在圆的内接正三角形的边长，则圆弧所对圆心角的弧度数为(　　)‎ - 6 -‎ A．120° B． ‎ C． D．2‎ C　[设圆的半径为R，则圆的内接正三角形的边长为R，弧长等于R的圆心角的弧度数为α＝＝．]‎ ‎5．如图，点A，B，C是圆O上的点，且AB＝4，∠ACB＝，则劣弧的长为(　　)‎ A． B．π C． D． A　[如图，连接AO，OB．‎ 因为∠ACB＝，所以∠AOB＝，△AOB为等边三角形，故圆O的半径r＝AB＝4，劣弧的长为·r＝．]‎ 二、填空题 ‎6．已知角α的终边与的终边相同，在[0,2π)内终边与角角的终边相同的角为　　　　．‎ ，π，π　[由题意得α＝2kπ＋(k∈Z)，‎ 故＝＋(k∈Z)，‎ 又∵0≤<2π，所以当k＝0,1,2时，‎ 有＝，π，π满足题意．]‎ ‎7．如图，已知圆的半径为5，圆内阴影部分的面积是　　　　．‎ - 6 -‎ 　[∵40°＝40×＝，30°＝30×＝，‎ ‎∴S＝r2·＋r2·＝．]‎ ‎8．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，成于公元一世纪左右，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就．其中《方田》一章中记载了计算弧田(弧田就是由圆弧和其所对弦所围成的弓形)的面积所用的经验公式：弧田面积＝(弦×矢＋矢×矢)，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差．现有圆心角为，弦长为‎40 m的弧田，其实际面积与按照上述经验公式计算出弧田的面积之间的误差为　　　　 m2．(其中π≈3，≈1．73)‎ ‎16　 [因为圆心角为，弦长为‎40 m，所以圆心到弦的距离为‎20 m，半径为‎40 m，因此根据经验公式计算出弧田的面积为(40×20＋20×20)＝(400＋200)m2，实际面积等于扇形面积减去三角形面积，为××402－×20×40＝m2，因此两者之差为－400－(400＋200)≈‎16 m2‎．]‎ 三、解答题 ‎9．将下列各角化成弧度制下的角，并指出是第几象限角．‎ ‎(1)－1 725°；(2)－60°＋360°·k(k∈Z)．‎ ‎[解]　(1)－1 725°＝75°－5×360°＝－5×2π＋＝－10π＋，是第一象限角．‎ ‎(2)－60°＋360°·k＝－×60＋2π·k＝－＋2kπ(k∈Z)，是第四象限角．‎ ‎10．如图所示，用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分的角的集合．‎ - 6 -‎ ‎[解]　(1)将阴影部分看成是由OA逆时针转到OB所形成．故满足条件的角的集合为 ．‎ ‎(2)若将终边为OA的一个角改写为－，此时阴影部分可以看成是OA逆时针旋转到OB所形成，故满足条件的角的集合为．‎ ‎(3)将图中x轴下方的阴影部分看成是由x轴上方的阴影部分旋转π rad而得到，所以满足条件的角的集合为．‎ ‎(4)与第(3)小题的解法类似，将第二象限阴影部分旋转π rad后可得到第四象限的阴影部分，所以满足条件的角的集合为．‎ ‎1．已知某机械采用齿轮传动，由主动轮M带着从动轮N转动(如图所示)，设主动轮M的直径为‎150 mm，从动轮N的直径为‎300 mm，若主动轮M顺时针旋转，则从动轮N逆时针旋转(　　)‎ A． B． ‎ C． D．π B　[设从动轮N逆时针旋转θ，由题意，知主动轮M与从动轮N转动的弧长相等，所以×＝×θ，解得θ＝，故选B．]‎ ‎2．角α的终边与的终边关于直线y＝x对称，且α∈(－4π，4π)，则α＝　　　　．‎ ‎－π，－π，，π　[与α终边相同的角的集合为．∵α∈(－4π，4π)，∴－4π＜2kπ＋＜4π，‎ 化简得：－＜k＜，∵k∈Z，∴k＝－2，－1,0,1，‎ ‎∴α＝－π，－π，，π．]‎ ‎3．中国扇文化有着深厚的文化底蕴，文人雅士喜在扇面上写字作画．如图，是书画家唐寅(1470～1523)的一幅书法扇面，其尺寸如图所示，则该扇面的面积为　　　　cm2．‎ - 6 -‎ ‎704　[如图，设∠AOB＝θ，OA＝OB＝r，由题意可得：解得：r＝，‎ 所以，S＝S扇形OCD－S扇形OAB＝×64×－×24×＝‎704 cm2．]‎ ‎4．已知集合A＝{x|2kπ≤x≤2kπ＋π，k∈Z}，集合B＝{x|－4≤x≤4}，则A∩B＝　　　　．‎ ‎[－4，－π]∪[0，π]　[如图所示 ‎∴A∩B＝[－4，－π]∪[0，π]．]‎ ‎5．已知扇形AOB的圆心角为120°，半径长为6，求：‎ ‎(1)弧AB的长；‎ ‎(2)扇形所含弓形的面积．‎ ‎[解]　(1)因为120°＝π＝π，‎ 所以l＝α·r＝π×6＝4π，‎ 所以弧AB的长为4π．‎ ‎(2)因为S扇形AOB＝lr＝×4π×6＝12π，‎ 如图所示，过点O作OD⊥AB，交AB于D点，‎ 于是有S△OAB＝AB·OD＝×2×6cos 30°×3＝9．‎ 所以弓形的面积为S扇形AOB－S△OAB＝12π－9．‎ - 6 -‎ - 6 -‎