人教A版选修1-13-1函数的单调性与导数（含答案）

人教A版选修1-13-1函数的单调性与导数（含答案）

§1．3．1 函数的单调性与导数（1 课时） 【学情分析】： 高一学过了函数的单调性，在引入导数概念与几何意义后，发现导数是描述函数在某一点的瞬时变化 率。在此基础上，我们发现导数与函数的增减性以及增减的快慢都有很紧密的联系。本节内容就是通过对 函数导数计算，来判定可导函数增减性。 【教学目标】： （1）正确理解利用导数判断函数的单调性的原理； （2）掌握利用导数判断函数单调性的方法 （3）能够利用导数解释实际问题中的函数单调性 【教学重点】： 利用导数判断函数单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间 【教学过程设计】： 教学环节 教学活动 设计意图 情景引入过程 从高台跳水运动员的高度 h 随时间 t 变化的函数： 2( ) 4.9 6.5 10h t t t    分析运动动员的运动过程： 上升→最高点→下降 运动员瞬时速度变换过程： 减速→0→加速 从实际问题中物理 量入手 学生容易接受 实际意义向函 数意义过渡 从函数的角度分析上述过程： ( )h t 先增后减 ' ( )h t 由正数减小到 0，再由 0 减小到负数 将实际的量与函数 及其导数意义联系 起来，过渡自然，突 破理解障碍 引出函数单调 性与导数正负 的关系 通过上述实际例子的分析，联想观察其他函数的单调性与其 导数正负的关系 '( ) 1 0f x  增函数 进一步的函数单调 性与导数正负验证， 加深两者之间的关 系 0 '( ) 2x<0f x  (- ，)减函数 (0 '( ) 2x 0f x   ，+ )增函数 20 0 '( ) 3x 0f x    (- , ) ( ,+ )增函数 2 10 '( ) <0f x x    (- ，)减函数 2 1'( ) <0f x x    (0，+ )减函数 我们能否得出以下结论： 在某个区间（a,b）内，如果 '( ) 0f x  ，那么函数 y=f(x) 在这个区间内单调递增；如果 '( ) 0f x  ，那么函数 y=f(x) 在这个区间内单调递减 答案是肯定的 从导数的概念 给出解释 0'( ) 0f x  表明函数在此点处的切线斜率是由左下向右 上，因此在 0x 附近单调递增 用导数的几何意义 理解导数正负与单 调性的内在关系，帮 助理解与记忆 0'( ) 0f x  表明函数在此点处的切线斜率是由左上向右下， 因此在 0x 附近单调递减 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( )'( ) 0 lim 0 0x x f x f x f x f xf x x x x x        所以，若 0x x ，则 0( ) ( )f x f x ，f(x)为增函数 同理可说明 0'( ) 0f x  时，f(x)为减函数 导数正负与函 数单调性总结 若 y=f(x)在区间（a,b）上可导，则 （1）在（a,b）内， '( ) 0f x   y=f(x)在（a,b）单调递增 （2）在（a,b）内， '( ) 0f x   y=f(x)在（a,b）单调递减 抽象概括我们的心 法手册（用以指导我 们拆解题目） 例题精讲 1、根据导数正负判断函数单调性 教材例 1 在教学环节中的处理方式： 以学生的自学为主，可以更改部分数据，让学生动手模仿。 小结：导数的正负→函数的增减→构建函数大致形状 提醒学生观察 '( ) 0f x  的点的图像特点（为下节埋下伏笔） 丢出思考题：“ '( ) 0f x  ”的点是否一定对应函数的最值 （由于学生尚未解除“极值”的概念，暂时还是以最值代替） 例题处理的目标就 是为达到将“死结 论”变成“活套路” 2、利用导数判断函数单调性以及计算求函数单调区间 教材例 2 在教学环节中的处理方式： 可以先以 3( ) 3f x x x  为例回顾我们高一判断函数单调 性的定义法；再与我们导数方法形成对比，体会导数方法的 优越性。 引导学生逐步贯彻落实我们之前准备的“心法手册” 判断单调性→计算导数大小→能否判断导数正负 →Y，得出函数单调性； →N，求“导数大于（小于）0”的不等式的解集→得出单调 区间 补充例题： 已知函数 y=x+ x 1 ，试讨论出此函数的单调区间. 解：y′=(x+ x 1 )′=1－1·x－2= 22 2 )1)(1(1 x xx x x  令 2 )1)(1( x xx  ＞0. 解得 x＞1 或 x＜－1. ∴y=x+ x 1 的单调增区间是(－∞，－1)和(1，+∞). 令 2 )1)(1( x xx  ＜0，解得－1＜x＜0 或 0＜x＜1. ∴y=x+ x 1 的单调减区间是(－1，0)和(0，1) 要求根据函数单 调性画此函数的 草图 -2 2 -1 1 f x  =x+ 1 x x O y 3、实际问题中利用导数意义判断函数图像 教材例 3 的处理方式： 可以根据课程进度作为课堂练习处理 同时还可以引入类似的练习补充（如学生上学路上，距离学 校的路程与时间的函数图像） 堂上练习 教材练习 2——由函数图像写函数导数的正负性 教材练习 1——判断函数单调性，计算单调区间 针对教材的三个例 题作知识强化练习 内容总结 体会导数在判断函数单调性方面的极大优越性 体会学习导数的重 要性 课后练习： 1、函数 3y x x= + 的递增区间是（ ） A ),0(  B )1,( C ),(  D ),1(  答案 C ' 23 1 0y x= + > 对于任何实数都恒成立 2、已知函数 1)( 23  xaxxxf 在 ),(  上是单调函数,则实数 a 的 取值范围是（ ） A ),3[]3,(   B ]3,3[ C ),3()3,(   D )3,3( 答案 B ' 2( ) 3 2 1 0f x x ax     在 ),(  恒成立， 24 12 0 3 3a a        3、函数 xxy 14 2  单调递增区间是（ ） A ),0(  B )1,( C ),2 1(  D ),1(  答案 C 令 3 ' 2 2 2 1 8 1 18 0,(2 1)(4 2 1) 0, 2 xy x x x x xx x          4、对于 R 上可导的任意函数 ( )f x ，若满足 '( 1) ( ) 0x f x  ，则必有（ ） A (0) (2) 2 (1)f f f  B (0) (2) 2 (1)f f f  C (0) (2) 2 (1)f f f  D (0) (2) 2 (1)f f f  答案 C 当 1x  时， ' ( ) 0f x  ，函数 ( )f x 在 (1, ) 上是增函数；当 1x  时， ' ( ) 0f x  ， ( )f x 在 ( ,1) 上是减函数，故 ( )f x 当 1x  时取得最小值，即有 (0) (1), (2) (1),f f f f  得 (0) (2) 2 (1)f f f  5、函数 32 xxy  的单调增区间为 ，单调减区间为___________________ 答案 2(0, )3 2( ,0),( , )3   ' 2 23 2 0, 0, 3y x x x x     或 6、函数 5523  xxxy 的单调递增区间是___________________________ 答案 5( , ),(1, )3    ' 2 53 2 5 0, , 13y x x x x      令 得 或 7、已知 cbxaxxf  24)( 的图象经过点 (0,1) ，且在 1x  处的切线方程是 2y x  （1）求 )(xfy  的解析式；（2）求 )(xfy  的单调递增区间 解：（1） cbxaxxf  24)( 的图象经过点 (0,1) ，则 1c  ， ' 3 '( ) 4 2 , (1) 4 2 1,f x ax bx k f a b      切点为 (1, 1) ，则 cbxaxxf  24)( 的图象经过点 (1, 1) 得 5 91, ,2 2a b c a b      得 4 25 9( ) 12 2f x x x   （2） ' 3 3 10 3 10( ) 10 9 0, 0,10 10f x x x x x      或 单调递增区间为 3 10 3 10( ,0),( , )10 10  